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Auteur :
WARME R. ( revu : le 28/09/06)
INFORMATIONS sur
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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En
RESUME : (niv V)
Notion
de volume. — Tout
solide occupe une portion déterminée de l’espace appelée « volume de ce
solide ».
L’égalité
de deux volumes, les diverses opérations sur les volumes se définissent comme
cela a été fait pour les surfaces planes. Ainsi, le volume du polyèdre obtenu après
juxtaposition de deux polyèdres donnés et suppression de la portion de face
commune est, par définition, la somme des volumes de ces deux polyèdres. Cette
juxtaposition peut se réaliser d’une infinité de façons et les divers polyèdres
ainsi obtenus ne sont pas égaux, mais ont même volume, ils sont dits
équivalents.
Deux polyèdres équivalents sont deux polyèdres
qui ont même volume.
Unité
de volume. — Les
volumes sont donc des grandeurs mesurables.
On
choisit pour unité de volume le volume du cube ayant pour arête l’unité de
longueur.
A chaque
unité de longueur correspond ainsi une unité de volume. L’unité principale de
volume est le mètre cube (m3); on peut aussi utiliser le décimètre
cube (dm3), le centimètre cube (cm3), etc.
Dans les
énoncés relatifs aux mesures des volumes nous conviendrons que
1°) Toutes les longueurs sont mesurées avec la même
unité. (dans un calcul il faut
« homogénéiser » les dimensions , Càd les
exprimer dans la même unité de mesure)
2°) Les surfaces et les volumes sont mesurés avec
les unités de surface et de volume correspondant à l’unité de longueur adoptée.
Il
n’existe pas de mot pour désigner la mesure d’un volume ( tel que le mot « aire » pour
la mesure d’une surface). Nous conviendrons, dans ce qui suit, que l’expression
« volume d’un solide désigne en réalité la mesure de son volume de même
que tout « segment» désigne la mesure de ce segment.
On
retiendra le Théorème suivant
Le
volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois
dimensions.
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Leçon |
Titre |
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N°19 |
GEOMETRIE ESPACE et "AIRE et VOLUME de solides usuels" |
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CHAPITRES |
:Info + Cd |
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I )
Les Unités de volume : le mètre cube ( solide ) et le litre ( liquide). |
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II )Les
conversions : de « litre »
Þ en « cube » ; de « cube »Þ en
« litre » . |
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1°) description |
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2°) représentation en
perspective cavalière . |
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3°) développement |
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4°) Aire et volume. |
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1°) description |
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2°) représentation en
perspective cavalière . |
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3°) développement |
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4°) Aire et volume. |
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1°) description |
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2°) représentation en
perspective cavalière . |
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3°) développement |
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4°) Aire et volume. |
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Dictionnaire : voir la définition de parallélépipède , parallélépipédique ,
i : Les deux unités de mesure de volume à
connaître sont : le mètre cube (ses
multiples et ses sous multiples) utilisé pour mesurer les volumes des
solides et le litre unité
utilisé pour mesurer les volumes des liquides , ou matière en poudre ou
granulée ( farine , les céréales……) .
Lire : « m » pour « mètre »
a) L'unité principale est le « mètre cube » : symbole m 3 Lire : Exposant « 3 » ,ou puissance « 3 » ou « au cube »
( le mètre cube est un cube de 1 mètre
de côté ) 
D’autres unités sont utilisées dans la vie
courante sont les sous multiples :
le décimètre cube : dm3 (c'est
un cube de 1 dm d'arête)
le centimètre cube : cm3
(c'est un cube de 1 cm
d'arête)
le millimètre cube : mm3
(c'est un cube de 1 mm
d'arête)
1b ) L’unité de capacité :
les mesures de capacités sont utilisées pour mesurer des
volumes occupés par les liquides.
L'unité de capacité est le
litre ; c'est le volume occupé par 1 kilogramme d'eau pure à son maximum de densité. Le litre correspond
au volume occupé par un cube de un
décimètre de côté .
1 mètre cube vaut donc 1 000
litres .(ou 1 kilolitre)
il faut savoir que 1 décimètre cube ( dm3) contient un volume
équivalent à 1 litre d’eau pur à 4° Centigrade .
· mesures
équivalentes :
1dm3 = 1 l ; Un litre = 100 cl ; 100 cl = 1 dm3 = 1000 cm3 donc 1cl
= 10 cm3
et 1m3 = 1000
dm3 = 1 000
litres .
i
les 2
unités de base utilisées
au quotidien sont :
|
B ) Le
décimètre cube : (
symbole : dm3 ) et le
litre ( l ) |
iDans la vie quotidienne : contenance de matériel de cuisine ( verre
, bouteille , flacon ) , dans les recettes de cuisine ( mélange , et proportion
de liquide et solide ) , dans le commerce des produits liquides ( sauce
,boissons, parfum ou autres liquides ),
, on utilise couramment et indifféremment le décimètre cube et ses sous
multiples ( le centimètre cube et le
millimètre cube ) et le litre et ses
sous multiples ( décilitre , centilitre , millilitre ).
Souvent il est nécessaire de savoir
passer de l’une à l’autre de ces unités ( on dit « convertir » ) , au risque de ne pas
réussir soit une recette ,soit un achat et donc d’être mécontent .
Voir i Cd
sur le : « Décimètre » et le « cube »
=Ci dessous nous montrons que le
« décimètre cube » contient 1000 cubes ayant chacun 1 cm d'arête .
|
A) Soit un cube de 1 cm de
côté . |
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B) 10 cubes de 1cm d'arête forment
une barrette de 1 dm de longueur. ( 10 cm = 1dm) |
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C ) 10 barrettes
forment une plaque carré de 1 dm de côté . Cette plaque contient 100
cubes de 1 cm d'arête. |
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D ) 10 plaques de 1cm d'épaisseur , mesure un
décimètre de hauteur. Ces 10 plaques contiennent
chacune 100 cubes de 1 cm d'arête. Le cube de 1 dm d'arête
contient donc 10 fois 100 cubes de 1cm cube . soit
1000 cm cube. Donc : 1 dm 3 =
1 000 cm3 |
|
En utilisant la
démonstration ci dessus nous pourrions montrer ainsi que 1 cm3
contient 1000 cubes de 1 mm
de côté.
(
1 cm3
= 1000 mm3 )
Avec
les exemples précédents , il nous
est possible d'obtenir ce tableau :
|
Symbole |
Correspondance en m3 en
valeur décimale et sous forme de puissance de 10 |
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Kilomètre cube |
km3 ( = 1000m)3 |
1 km3 =1 000 000 000 m3 = 1 ´ 10 9 m3 |
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Hectomètre cube |
h m3 ( = 100m)3 |
1 h m3 = 1 000 000 m3
= 1 ´ 10 6 m3 |
|
Décamètre cube |
da m3 ( = 10m)3 |
1da m3 = 1 000 m3 = 1 ´ 10 3 m3 |
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Mètre cube |
m3 ( = 1m)3 |
1 m3 = 1´ 10 0 m3 |
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Décimètre cube |
d m3 ( = 0,1m)3 |
1 d m3 =
0 , 001 m3 = 1 ´ 10 -3 m3 |
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Centimètre cube |
c m3 ( = 0,01m)3 |
1 c m3 =
0, 000 001 m3 = 1 ´ 10 -6 m3 |
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Millimètre cube |
m m3 ( = 0,001m)3 |
1 m m3 = 0 , 000 000 001m3 =
1 ´
10-9 m3 |
( cliquer
ici : pour voir les unités de volume et
l'utilisation des puissances de dix)
Dans le cadre des calculs on
utilisera les puissances de dix , dans le cadre de
conversion on utilisera plus facilement le tableau de conversion ci dessous .
|
II )LE TABLEAU DE conversion . ( volumes et
capacité ) |
i Ci dessous est tracé le tableau qui permet d’effectuer les conversions des unités de volume couramment utilisées , tableau qu’il faut savoir construire sur feuille , et utiliser : Prendre une ligne par exercice !
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km3 |
hm3 |
dam3 |
m3 |
dm3 |
cm3 |
mm3 |
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kl |
hl |
dal |
l |
dl |
cl |
ml |
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3 |
2 |
2 |
4 |
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3 |
2 |
2 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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Remarquez que chaque
colonne principale exprimée
en « cube » (exemple : dm3 ) est subdivisée en 3 sous
colonnes , les unités de capacité occupe une colonne , réparties de chaque côté de l’unité « litre »
, qui occupe la première sous- colonne des dm3
Pour les besoins de
compréhension ce cours vous propose deux La démarche
( I )
concernant l’explication de la
conversion avec un tableau dit
« simplifié » doit vous servir à comprendre le déplacement de la
virgule ,mais vous retiendrez la
démarche du chapitre II ( il faut savoir dessiner le tableau et énoncer la procédure de conversion ) .
|
II - 1 ) Première
démarche explicative sur la méthode de conversion en utilisant le tableau « non
simplifié » : |
œ |
A) Tableau de type
« non simplifié » : « à gauche » de la virgule se trouve l'unité choisie (ou
désignée) à droite de la virgule se trouve la partie décimale de l'unité
choisie ou désignée )
Pour
apprendre l’exploitation du tableau , on applique,
dans ce qui suit, la méthode utilisée
dans les conversions d’aire.
Ici une sous- colonne "virgule" sépare les « unités », dans cette colonne se déplace la virgule.
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km3 |
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hm3 |
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dam3 |
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m3 |
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dm3 |
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cm3 |
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mm3 |
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B ) Procédure
permettant de transformer l '
unité de volume en multiples ou sous
multiples à partir d'une grandeur donnée. |
Exemple de conversion 32,24
dam3= ? ……..dm3
Pour remplir le tableau en vue de faire une
conversion il faut respecter la procédure
suivante:
1°) placer la virgule du
nombre donné sur le trait vertical "droit" de l'unité donnée.( da m3 , )
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km3 |
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hm3 |
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dam3 |
, |
m3 |
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dm3 |
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cm3 |
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mm3 |
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2°) placer les chiffres du
nombre dans en respectant l ' ordre donné :
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km3 |
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hm3 |
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dam3 |
, |
m3 |
|
dm3 |
|
cm3 |
|
mm3 |
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0 |
0 |
3 |
2 |
2 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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i maintenant que la
"grandeur" est placée dans le tableau ,la conversion peut se faire
simplement:
3°) il faut déplacer le virgule ; la mettre sur le trait vertical
"droit" de l' unité "demandée " (d m3
, ) compléter de "zéros"
éventuellement !
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km3 |
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hm3 |
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dam3 |
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m3 |
|
dm3 |
, |
cm3 |
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mm3 |
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0 |
0 |
3 |
2 |
2 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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4° )
il suffit de reporter le
résultat , (lu sur le tableau )
32 , 24 dam
3 = 32 240 000 , 0 soit
32 240 000 dm3
remarque : la virgule est dite
« flottante » ;elle se trouve toujours sur le trait vertical
"limite droite" de l 'unité concernée.
|
II - 2 ) Procédure à retenir sur l ’
exploitation du tableau pour
effectuer une conversion: |
œ |
Dans le tableau type suivant , la virgule
se déplace sur le trait vertical
séparant les colonnes .
Exemple : faire la conversion 32,74
dam ² = …? ……..dm²
Solution
: il faudra
respecter l’ordre chronologique suivant :
Partie entière Partie décimale km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Reprise
de l’activité précédente :
Convertir 32 , 74 dam 3
en ….. dm3
procédure : Après avoir tracé le tableau :
1°) Placer la virgule sur le
trait vertical « droit » des dam 3
2°)
Placer les chiffres : 2 ; 3 ;
7 ; 4 (pour des raisons pratiques et
éviter des erreurs d’oubli il faut
placer les chiffres en partant de la virgule en allant de droite à gauche pour
la partie entière et de gauche à droite
pour la partie décimale )
3°) Remplir les cases vides
de « 0 »
4°) Déplacer la virgule sur le trait vertical
« droit » de l’unité demandée.
5°) Rendre compte .
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km3 |
hm3 |
dam3 |
m3 |
dm3 |
cm3 |
mm3 |
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(1) |
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3 |
2 |
7 |
4 |
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(2) |
(3) |
(4) |
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0 |
0 |
3 |
2 |
7 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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Résultat :
Mais aussi :
32,74 dam 3 = 32
740 000 dm3 = 32 740 m3 = 0,032 74 hm3 = 32 740 000 000 000 mm3
= 32 740 000 000 cm3
Activités 1 :
1°) Placer
1 765 , 798
m3 ; 5,3 m3 ; 78 507 dm3 ; 2854 cm3 ; 5 832 mm3
dans le tableau ci
- dessous : ( tracer autant de lignes que
d’exercices de conversion )
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km3 |
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hm3 |
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dam3 |
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m3 |
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dm3 |
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Cm3 |
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mm3 |
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|||||||
1 765 , 798 m3 ; 5,3 m3 ; 78 507 dm3 ; 2854 cm3 ; 5 832 mm3
Activités 2 :
Convertir :
1 765 , 798
m3 en ………………………………dm3
5,3 m3 = ………………………..dm3
78 507 dm3 = ……………………m 3
2854 cm3 = ……………………m3
5 832 mm3 = …………………….cm3
Activité 3 : Convertir successivement : ( il suffit pour trouver les conversions
successives de déplacer la
virgule et de relever le résultat .
1 765 , 798 m3 en ………………………………dm3
1 765 ,
798 m3 en
………………………………dam3
5,3 m3 = ………………………..dm3 = ……………………cm3 ;
78 507 dm3 = ……………………m 3 = ……………………cm3;
2854 cm3 = ……………………m3 =……………….dm3
= …………….mm3 ;
5 832 mm3 =
…………………….cm3 =
……………………………….dm3
= Préambule « CAPACITE » :puisque 1 dm 3
est égal à 1 litre , nous mémoriserons
le tableau des valeurs équivalentes ci dessous :
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dm3 |
cm3 |
mm3 |
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hl |
dal |
l |
dl |
cl |
ml |
|
|
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B ) Mesure de capacité : |
=Instruments
de mesure :
a ) Les mesurent pour les liquides
|
Les mesurent pour les
liquides sont en étain ; le cylindre a une hauteur double de son diamètre . Les dimensions du litre sont
« diamètre » : 86 millimètres ; hauteur :172 mm. |
|
b ) Les mesurent pour les matières sèches
|
Pour les matières sèches , telles que les grains , les mesures sont en bois
. La hauteur du cylindre est égale à son diamètre . La rafle
, est une planchette , elle sert à niveler , à retirer le surplus.
|
|
=Une
autre unité de volume est utilisée
pour mesurer des liquides . Cette unité de capacité
appelée : le
litre . 1 litre = 100 cl ( = 1 dm3
)
Le tableau de conversion :
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kl |
hl |
dal |
l |
dl |
cl |
ml |
|
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=
Activités : pour vous amuser vous rechercherez les volumes donnés pour les récipients ci dessous ,
ensuite vous les convertissez
dans l’autre unité :
|
Nom
du récipient |
Donnez
les capacités en : l
; dl , cl , ml |
|
Exemple :
1Demi de bière |
0,25 l ; 2,5
dl ; 25 cl ; 250 ml |
|
Une
cuillerée à café |
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|
Une
cuillerée à soupe |
|
|
Une
tasse à café |
|
|
Une
assiette à soupe |
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|
Un bol
|
|
|
Une
brique de jus de fruit. |
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|
Verre
à eau |
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|
Verre
à vin |
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|
Bouteille
de vin |
|
|
Bouteille
d’eau |
|
|
Flacon
de parfum |
|
|
Un
seau d’eau |
|
|
Une
baignoire |
|
|
Un cumuls d’eau chaude |
|
|
Un
réservoir de carburant. |
|
|
|
|
|
|
|
A vous de compléter le tableau
! ! !
puisque
1 l = 1 dm3 , nous
pouvons insérer le tableau précédent dans le tableau des
« volumes cubes»
|
m3 |
dm3 |
cm3 |
||||||
|
|
|
kl |
hl |
dal |
l |
dl |
||