Pré requis:

Le cercle
Disque
Le cercle et disque
Circonférence

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent : Aire du disque ( primaire)

Objectif suivant

:Aires (présentation)    2°) exemples  de calculs 3°) Travaux sur les calculs d’aires

DOSSIER :    

Aire du disque ,

 Aire d’une couronne ;

  Aire d’un secteur circulaire

TEST	COURS	Devoir  Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité : 1°)Situations problèmes 2°) Sciences		Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				3°) Travaux dossiers.
				>>>Fiche de calculs

 

 

COURS

 

Par définition : Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence du cercle  et de sa région intérieur.

 

AIRE du disque :

Le disque est la surface colorée.

Appelée « aire »

noté :A_d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La mesure de cette surface se ferait après quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de « carrés » ;

         on obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation :  p ==   

Formule à retenir pour les cas courants:

 

L’Aire du disque est égale au produit de « pi » par le « carré du rayon ».

 

 

 

Modèle mathématique :      Ad = 3,14 R2     On peut aussi dire :   L’aire du disque est égale au produit de la longueur de la circonférence par le rayon divisé par « 2 »   A = 2p r =p r2

 

 

      Application :    trouver l’aire d’un disque de 3m de rayon.

 

A = 3²3,1416 =28 ,2744 m²

 

Aire de la couronne :	Info plus ++++
On appelle « couronne circulaire » la surface comprise entre deux circonférences concentriques. On obtient l’aire de la couronne en retranchant l’aire du petit disque à celle du grand disque.   A = p R2 - p r2     ( on factorise par « pi » )     Ce qui revient à multiplier par « pi » la différence des carrés des rayons.     A = p ( R2 - r2 )
R   r

 

Application : Trouver l’aire de la couronne , sachant que les rayons des cercles ont 8 cm et 6 cm

Solution 1 :

Aire du grand disque = 8² 3,1416  = 64 3,1416  = 201,0624 cm²

Aire du petit  disque = 6² 3,1416  = 36 3,1416  =113,0976  cm²

Aire de la couronne = 201,0624 cm²  -   113,0976  cm²   = 87,9648  cm²

Nota : en appliquant le deuxième formule , on arrive plus facilement au résultat :

A = p ( R² - r² )  A = p ( 8² - 6² )   =p ( 64 - 36 )  =28 3,1416= 87,9648  cm²
Exercices types sur le calcul d’aire :

 

1 )   Calculer l ‘ aire  du disque de   10 cm de rayon.

  Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R²        et     R =10 cm

 

b)  On remplace  dans A_d  la valeur de R : A_d = 3,14 10²

c)   Calcul : 3,1410 10 =     314 ; (10cm10 cm  donne 100 cm²)

 

 

      d) Conclusion :   l ‘ aire du  disque est de 314 cm²

 

 

2 )Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.

Corrigé :

      a )inventaire de ce que je connais : A_d = 3,14 R²     et    D =10  et  D = 2 R

  à ce niveau deux sont possibles :

          je cherche la valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » A_d = 3,14 ( D² / 4)    .Les deux démarches conduisent au même résultat.

 

b)  Je  calcule R :       R  = 10 :2     ;   R= 5 cm

c)    On remplace  dans A_d = 3,14 R²   ;    

                                     A_d = 3,14 5²

 

      d) Calcul : 3,145 5 =   78,5      ;  (  voir puissance 2  , N°68 :  cm ¹ cm¹ = cm²)

 

      e) Conclusion :   l ‘ aire du disque est de 78,5 cm²

 

 

AIRE D’UN  SECTEUR CIRCULAIRE

 

On obtient l’aire d’un secteur circulaire  en multipliant l’aire du disque  par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360.

 

 

Secteur circulaire :	SOS ARC et angle
On appelle « secteur circulaire » l’aire comprise entre un arc et les deux rayons ( OB et OA )  qui aboutissent à ses extrémités. Aire : on obtient l’aire d’un secteur circulaire en multipliant l’aire du disque par le nombre de degrés de l’angle du secteur et en divisant par 360.     A = p r2

 

Application Trouver l’aire d’un secteur circulaire dont le rayon du cercle a 5 m et dont l’angle du secteur égale 45°.

 

1° aire du disque = 5² 3,1416 = 78,54 m²

2° aire du secteur :  78,54 =  78,54 = 9,8175 m²

 

Segment circulaire	Info plus ++++
On appelle segment circulaire l’espace compris entre un arc et la corde qui la sous tend

 

 

 

 

 

 

 

Le secteur circulaire peut être ( très souvent le cas ) exprimé en degré ; ou en grade :

 

 

Calcul de l’aire d’un  secteur  circulaire  dont l’angle est exprimé en degrés :
Formule :  A  = °	On divise l’aire du disque en 360 parties égales ; pour multiplier par le nombre degrés de l’angle au centre de l’arc.
Si l’angle alpha(  )vaut 30 ° le rayon ( OA ou OB ) 35 mm :   On sait que A = ° ;   soit : A = ° =  641,08333   soit 641 mm2

 

 

En statistique une des représentations graphiques des pourcentages est le « diagramme circulaire » .  La circonférence est divisée en 100 parties égales ; Relation entre % et valeur en degré : 360° représente 100%   ;  soit  ;       Le 1% représente 3,6° d’angle      Relation entre % et valeur en grade :    400 gr. représente 100%   ;  soit  ; Le 1% représente 4 grades d’angle  .

INFO Plus ++++

 

 

 

Travaux auto – formatifs.

 

CONTROLE :

 

1 ) A quoi est égale l’ aire du disque  ?

 

2 ) Donner la formule permettant de calculer l’aire d’un disque (compléter avec un dessin coté )

 

EVALUATION

 

1°)  Donner les formules ; remplacer les lettres par les valeurs données , faire les calculs .

Compléter le tableau  suivant :

 

Cercle et disque	1 ( niv. 5e)	2	3	4
Rayon « R »	11 m
Diamètre « D »		63 cm
Périmètre « P »			32,342 dm
Aire « A »				124,6266 m2

 

2°) La quart d’un disque mesure 3,5 cm² .Calculer le diamètre du disque .

3°)

Calculer l’aire du segment hachuré.

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

La couronne . ( INFO plus en algèbre )

On note "R" le rayon moyen de la couronne circulaire ci contre . 1°) exprimer en fonction de "R" et "x" les rayons  extérieurs et intérieur  de la couronne . 2°) En déduire que l'aire de la couronne est égale à  2 p R x

 

 

Autres travaux : CALCULER LES AIRES  SUIVANTES. ( avec l’aide des carreaux)

 

 

 

N°3

 

N°4

 

 

N°5

 

N°6

 

II )   DETERMINATION DE L’AIRE par CALCULS :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calculer l’aire du triangle , l’aire du disque inscrit , l’aire de la surface colorée.

 

Un carré mesure 5 cm

Calculer l’aire du carré , l’aire du disque inscrit , l’aire de la surface colorée.

 

Evaluer l’aire en carré .

 

Série 3 :

1°) quelle est l’aire en mm² , puis en cm² ,d’un CD de 6 cm de rayon ?

 

2°) Quelle l’aire d’une piste de cirque de 11 m de diamètre ? donner le résultat en m² , arrondir au m² par excès ?

 

3°) Un bassin circulaire a une aire de  18 m² . quelle est  la mesure de son rayon , en m ? ( à 0,01 par excès)

 

Série 4 :

 

4°) Quelle est en mm la mesure du diamètre d’un disque dont l’aire est égale à 19 ,625 cm² ?

 

5°) Quelle est l’aire en m² du rond central d’un terrain de football  sachant que le diamètre mesure 18,3 m ? ( arrondir au m² par excès )

 

6°) Quelle est l’aire de verre nécessaire à la réalisation d’une table circulaire de 650 mm de rayon. ?  (Arrondir à 0,1 m² prés )