Pré requis:
ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif précédent 1°)les positions de plans dans l’espace 2°)La
sphère |
DOSSIER « GEOMETRIE DANS L ESPACE »:
I ) LES POLYEDRES (définition et
classification)
II) LES POLYEDRES REGULIERS.
III) Le « TETRAEDRE ».
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TEST |
COURS |
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Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
On
retiendra :
1. Polyèdre. — On appelle polyèdre tout solide limité par
des polygones plans ayant deux â deux un côté commun.
2. Polyèdre convexe. — Un polyèdre est
convexe lorsqu’il est tout entier d’un même côté du plan de chacune de ses faces .
3. Polyèdre régulier. — Un polyèdre convexe
est régulier lorsque toutes ses faces sont des polygones réguliers
égaux.
On démontre que les angles polyèdres d’un tel polyèdre sont égaux entre
eux de même que ses angles dièdres.
On démontre aussi qu’il existe seulement cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre
régulier limité par 4 triangles équilatéraux égaux, l’hexaèdre régulier ou
cube limité par 6 carrés égaux, l’octaèdre régulier limité par 8
triangles équilatéraux égaux, le dodécaèdre régulier limité par 12
pentagones réguliers égaux et l’icosaèdre régulier limité par 20
triangles équilatéraux égaux.
COURS
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I ) LES POLYEDRES |
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Définition :
Polyèdre : un polyèdre est un solide limité par des polygones plans
(faces) ,ayant deux à deux un côté
commun On dit qu’il est « convexe »
lorsqu’il est tout entier d’un
même côté du plan de chacune de ses faces
et par rapport à n’importe qu’elle face .
Caractéristiques du Polyèdre
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Un polyèdre est un solide limité par des plans. Ces plans sont
appelés : « faces » du polyèdre ( exemple
ABC ; BDEC ; FDE ;ACEF) L’intersection de deux de ses faces s’appelle « arête » (exemple :
AB ;BD ; BC ;..) Les points de rencontre de ses arêtes se nomment
« sommets » (exemples : A ;B ;c
etc..) |
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Un polyèdre est un solide borné de toutes part par des facettes planes.
Exemple : un cube , une pyramide.
Nous ne considérerons guère que des polyèdres
« convexes » , c’est à dire tels que chaque
facette ne soit traversée ni par une autre facette ni par une autre facette ni
par le prolongement d’aucune autre .
Il existe cependant des polyèdres concaves et des
polyèdres enchevêtrés.
Eléments
principaux d’un polyèdre.
Dans l’étude d’un polyèdre il y aura lieu de
considérer :
1°) le nombre F des « facettes » ;
chaque facette est un polygone dont on observera la nature ( triangle
, quadrilatère , etc. ) ;et parfois la forme spéciale ( parallélogramme ,
polygone régulier, etc. )
2°) le nombre A des « arêtes » ;chaque arête est l’arête d’un dièdre
, dont la grandeur est parfois remarquable (dièdre droit notamment
) ;
3°) le nombre S des sommets : chacun est le
sommet d’un angle polyédral : on appelle
ainsi la figure formée par les arêtes
aboutissant au même sommet , arêtes dont on pourra
compter le nombre.
4°) les diagonales et
plans diagonaux. Une diagonale est un segment , autre
qu’une arête , joignant deux sommets du polyèdre. On pourra distinguer les
diagonales de facettes , joignant deux sommets d’une
même facette , et les diagonales libres. Les plans diagonaux sont les plans
contenant trois sommets (ou davantage) n’appartenant pas à une même facette.
Les
polyèdres convexes et concaves :
Un polyèdre est convexe lorsqu’il est tout entier
d’un même côté du plan de chacune de ses faces. (le
tétraèdre est un polyèdre convexe.)
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Dans le cas contraire le polyèdre est
« concave ».
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Les faces d’un polyèdre convexe sont des polygones
convexes car elles sont situés en entier dans l’un des
demi - plans limités par chacun de leurs
côtés. On voit de même que les sections planes d’un polyèdre convexe sont des
polygones convexes.
Une droite ne peut couper la surface qui limite un
polygone convexe en plus de deux points , sinon tout
plan passant par cette droite couperait ce polyèdre suivant un polygone
concave.
Il faut noter que tout polyèdre non convexe peut
être décomposé en deux ou plusieurs polyèdres convexes.
Classification
des polyèdres.
Un polyèdre a au moins quatre faces car trois plans
ne limitent pas un solide. On classe les polyèdres d’après le nombre de leurs
faces.
Une première classification se base sur le nombre
des facettes ; d’après ce nombre , voici les noms
donnés aux polyèdres les plus usuels :
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Tétraèdre
(4 faces et 4 sommets) |
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Pentaèdre (5 faces et …….sommets ) |
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Hexaèdre (parallélépipèdes
) (6 faces , 8 sommets) |
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Octaèdre (8 faces et 6 sommets) |
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Dodécaèdre (12 faces et 20 sommets) |
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Icosaèdre (20 faces et 12 sommets) |
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Cette classification est insuffisante, et devra
être complétée en tenant compte de la nature des facettes .
►Polyèdres de forme spéciale.
Nous considérerons trois classes de
polyèdres :
Les prismes , et notamment les « parallélépipèdes » ;
Les pyramides ;
Les polyèdres réguliers.
Cette dernière n’exclut pas les autres , car
deux polyèdres réguliers sont des variétés de prisme ou de pyramide.
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II ) Les polyèdres réguliers. |
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Définition : On appelle
« polyèdre régulier » un polyèdre dont toutes les faces sont des
polygones réguliers égaux , et dont tous les dièdres
sont égaux. Tous ses angles polyédraux sont égaux.
On démontre qu’il existe seulement cinq polyèdres
réguliers :
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le tétraèdre régulier limité par 4 triangles équilatéraux
égaux,
-
l’hexaèdre régulier ou cube limité par 6 carrés
égaux,
-
l’octaèdre régulier limité par 8 triangles
équilatéraux égaux,
-
le dodécaèdre régulier limité par 12 pentagones
réguliers égaux et l’icosaèdre régulier limité par 20
triangles équilatéraux égaux.
Construction.
Sur papier il faut dessiner des polygones réguliers égaux juxtaposés, et , par des pliages, chercher à construire des polyèdres
réguliers convexes.
Polyèdres à facette triangulaires ;
Autour d’un
sommet « S » peuvent s’assembler :
1°) Trois triangles équilatéraux, cet assemblage,
complété par un 4ème donne un tétraèdre régulier.
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Les
polyèdres réguliers |
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Intérêts des
polyèdres réguliers : outre leur intérêt théorique
, signalons que :
1°) on trouve dans les êtres vivants : des
petits animaux microscopiques ont des formes très exactes d’octaèdres
, de dodécaèdres et d’icosaèdres.
2°)On les trouve dans le
règne minéral : les cristaux d’alun font de parfaits octaèdres réguliers.
3°)leurs multiples
symétries les font employer comme motifs de décoration.
4°) le cube , l’icosaèdre
sont employés dans certains jeux (dés , etc.)
Exemples de polyèdres réguliers et semi -réguliers
dessinés par Léonard de Vinci le De Divina proportione du mathématicien italien Fra Luca Pacioli .
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BN. Roger-Viollet
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III ) Le tétraèdre. |
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Vue
en transparence |
Vue
de dessus |
Vue
perspective. |
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Description :
le tétraèdre est un
solide borné par 4 facettes planes, et de quatre manières, une pyramide
triangulaire.
Il a 4 facettes,
qui sont des triangles ; 4 sommets, qui sont des sommets de
trièdres ; et 6 arêtes, deux à deux opposées, aucune diagonale.
Quelques propriétés du tétraèdre quelconque. Souvent , mais pas toujours, les propriétés du tétraèdre
rappellent celles des triangles, et se démontrent de façon analogue.
On s’assurera que :
1°) les six plans médiateurs des arêtes concourent
en un même point O, qui sera centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.
2°) Les six plans bissecteurs intérieurs des dièdres concourent en un même point « I » ,
qui sera centre d’une sphère inscrite.
Il y a aussi des sphères exinscrites, mais elles
sont difficiles à étudier correctement.
3°) les quatre tétramèdianes
( nous appelons ainsi les segments joignant un des
sommets au point de concours des médianes de la facette opposée) concourent en
un même point « G » , situé au quart de chacune d’elles à partir de
la base. Ce point « G » est le centre de gravité
de tétraèdre solide homogène.
4°) Par contre, les quatre hauteurs ne se coupent pas , en général, en un même point : il n’y a pas
d’orthocentre.
Tétraèdre spéciaux.
Voici ,
entre autres, quelques tétraèdres remarquables.
1°) Le tétraèdre trirectangle, qu’on obtient en
tronquant un cube. Un des trièdres , A, est
trirectangle ; la facette opposée BCD s’appelle « hypoténuse ».
IL a quelques propriétés rappelant celles du triangle rectangle. Toutefois, il
n’est pas inscriptible dans une demi- sphère.
2°)Le tétraèdre régulier,
la seule pyramide qui soit vraiment un polyèdre régulier : ses quatre
facettes sont des triangles équilatéraux ; il a trois axes d’opposition,
quatre axes de rotation à 120°, six plan de symétrie.
Remarque : pour bien se
rendre compte il est conseillé de construire, en papier fort ou en carton, des
modèles de ces divers solides : tétraèdres scalène, trirectangle,
régulier, les arêtes mesurant de 10 à 15 cm . environ.
Observer les images ci dessous :
Elles vont par paire : l’une représente le
solide en « transparence » l’autre
représente le solide « plein »
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
1°) Donner une définition de « polyèdre ».
2°) Quelles sont les caractéristiques d’un
polyèdre ?
3°) savoir
nommer les polyèdres réguliers et leurs caractéristiques (nombres de faces et
de sommets.)
4°) Qu’est ce qu’un tétraèdre ?
Dessiner en perspective les polyèdres
réguliers.