Pré requis:

Travaux  niveau   VI Pré requis     :Dos 124 et 125   et  Dos 130 et 131  

 

Les conversions des unités de  volume

3D Diamond

Disques

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index         Boule verte

Objectif précédent :

Le cylindre  Sphère metallique

Objectif suivant :

1°) liste des cours sur   les volumes  Sphère metallique

2°) les solides de révolutions

 

2°) les solides de révolutions

 

DOSSIER : LE   CYLINDRE de révolution.

Calculs  d’ AIRES et de VOLUME

acyl3

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

Travaux niv V.

Dos 179

Interdisciplinarité  niv V

Dos 188

Dos 219

 

 

 

 

COURS

Calculs :

 

I )  Surface latérale d’un cylindre droit

La surface latérale d’un cylindre droit est égale au produit de la longueur de la circonférence de sa base par sa hauteur :

 

1ère traduction :

Surface latérale = Circonférence de la base x hauteur

2ième traduction :

A = 2pr  x   h

 

Aire latérale d’un cylindre : En coupant un cylindre de révolution suivant une génératrice (AA’), on peut appliquer sa surface latérale sur un plan.

Si on développe la surface latérale  a )  on obtient un rectangle dont la largeur est égale à la hauteur  du cylindre et dont la longueur est égale à la longueur du cercle de base.

cylin1

 

Application :  Calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution. ( rayon = 10m ; hauteur = 30m , pi = 3,1416 )

A = 2pr h

A = 23,1416 10m30m                      ; ( remarque :   m  x   m = m2 )

 

II )  Surface totale :

 

 

 

La surface totale est la somme de la surface latérale ( Al)   et de la surface des deux bases  ( 2 B) .

Soit :    A totale = A latérale  + 2 B =    2 p r x  h +  2 p r2   =   2 p r ( h + r )

Application :

 Calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10m ; hauteur = 30m , pi = 3,1416 )

 

A totale = A latérale  + 2 B = 2pr h +2pr2 = 2pr  ( h+r)

 

A totale = 23,1416 10 m (30m + 10m ) ; remarque 30m + 10m = 40m

 

 

 

 

 

 

III ) VOLUME DU CYLINDRE

 

Volume d’un cylindre :

 

Le volume ( V ) d’un cylindre est égal au produit de l’aire de la base ( disque) multipliée par la hauteur. (précaution importante :prendre les mêmes unités de longueur)

Formule :

V = pR2 H

cyl

 

Application : Trouver le volume d’un cylindre de 0,40 m de rayon et de 2 m de hauteur.

 

Volume :         V = p R2 h    = 0,4m 0,4m3,1416 2  = 1,005312 m2

 

 

HAUTEUR :  On obtient la hauteur d’un cylindre en divisant le volume par la surface de base .

 

             h =   =

 

 

 

CYLINDRE CREUX ou MANCHON CYLINDRIQUE

 

 

 

Définition : On appelle manchon cylindrique  le volume  compris entre les parois latérales de deux cylindres concentriques de même hauteur.

La base du manchon cylindrique est une couronne    ( Info Plus ++++)

 

S69

 

Le volume du manchon cylindrique est égal au produit de la surface de sa base  (couronne) par sa hauteur.

V = p (R2r2 )

 

 

 

 

 

 

Application :

Calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux . .( Rayon  = 10 m ;rayon = 8m  ; hauteur = 30m  , pi = 3,1416 )

Réponse :

V = p (RR – rr )

V = 3,1416  (1010 – 88 ) 30

V =  3,1416  (100 m264m2 ) 30m

V = 3392,928 m3

 

 

Autres calculs :

 

Quel diamètre convient-il  de donner à un cylindre de 1,50 m de haut pour obtenir une capacité de 25 hectolitres ?

 

a)     il faut  convertir l'unité de capacité en unité de volume métrique .

 

( à savoir :        1 hl = 100 litres ;                            1 litre = 1 dm 3 ;                       1000 litres = 1000 dm3  = 1 m3  )

 

25 hectolitres

25 00 litres

25 00 décimètres cubes

2 , 500 m3

 

b)

On sait que le volume d'un cylindre se calcule  avec la formule : V =  ; on cherche "D"

 

Procédure :  sur les transformations successives.

on cherche "D"

1°)  On transforme : ( on multiplie les deux membres par "4" )

            

4V = 3,14 D2h

2°)   On en déduit , par transformation que  l’  :

On divise les deux membres par  3,14 h

D2 =

 

3° )  Pour que l'égalité reste vraie  on fait la racine carrée des deux membres

donc

=

 

 Puisque   = D  on peut écrire      :

D  = 

 

On remplace les lettres par les valeurs données .

D =

 

Résultat

D = 1,456 m

 

 

 

Activités  1:

Un cylindre a pour  dimensions : h = 110 mm  et     R =  52 mm  ; prendre pi = 3,14

Calculer L'aire latérale  ( en mm² et cm² ) ; L'aire de la base ( en mm² et cm² ); L'aire totale ( en mm² et cm² ); le volume ( en mm3 et cm3 ).

Solution :

a) L'aire latérale :

  A l = 2p R h .  ; A l = 2 3,14  52  110   =   35921,6 mm² ou   359 , 216 cm²

b) L'aire de la base ( et de la face supérieure ) :

 A  b = 2p R ²  ; = 2 3,14  52  52  = 16981,12  mm² soit   169 ,8112 cm²

 

          Exemple de situation problème :  On construit un réservoir cylindrique pour une commune de 1 800 habitants. On estime à 35 L d’eau par jour la consommation de chaque habitant. a) Quel doit être le volume du réservoir pour que la réserve d’eau soit assurée pour 3 jours? b) Le réservoir ayant 6 m de diamètre, quelle sera alors, à 1 cm près, la hauteur de l’eau?

 

1.     Consommation pour un jour :  1800 fois 35 L=63 000 L ;

2.     Consommation pour 3 jours : 63 000 fois 3 = 189 000 L

3.     Volume d’eau :  189 000 L = 189 000 dm3 = 189 m3

4.     Surface de base du réservoir :  3,14 fois 3 fois 3 = 28,26 m².

5.     Hauteur de l’eau dans le réservoir : 189 m3/ 28,26 m² = 6,6878  soit au cm prés : 6,69 m

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

)Donner la formule permettant de calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution.

 

)Donner la formule permettant de calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution.

 

3° ) Donner la formule permettant de calculer  le volume  d’un cylindre de révolution.

 

4° ) Donner la formule permettant de calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux .

 

5°)

Une couronne circulaire de rayons R et 3R  a pour aire 120 cm 2 . Quel est l’aire du petit disque ?

 

6°)

De combien doit – on diminuer le diamètre ( 50 mm) d’un cylindre pour réduire sa masse de 10 % ?

 

 

 

EVALUATION

Pour les calculs suivants on considérera que les longueurs sont exprimées dans la même unité : le centimètre « cm »

1°) Calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution.( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

2°) Calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

3° ) Calculer  le volume  d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

4° ) Calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux . .( Rayon  = 10 ;rayon = 8 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

 

CONTROLE CONTINU :

1°)

Le volume d’un cylindre  est donné par :

 V2 = p r2  h

On désigne  « r »  le rayon , « h » la hauteur ;

Faire deux calculs le premier avec p = 3,14 et le second avec le p  de la calculatrice .

 

cylin1

Calculer V2en dm3 ; pour r = 15,3 dm  et h =12,05 dm .

Puis donner le résultat en m3    et sa capacité en hl.

 

2°)

Calculer :

-l ’aire de la surface latérale

-l ‘aire totale

- le volume

du cylindre  avec les données suivantes :

h =

R =

S68

3°)

Calculer :

-l ’ aire de la surface latérale

-l ’aire totale

- le volume

du « manchon »  avec les données suivantes :

h =

R =

r =

S69

4°)

Calculer la hauteur d’un cylindre de 20 mm de diamètre  et de 25 120 mm3 de volume .

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

1°) On fait creuser un puits de 12 m de profondeur sur 1,50 de diamètre.

Quel est le volume de terre extrait ?

2° ) Dans un vase plein d’eau , on plonge un lingot d’or de forme irrégulière. Sachant  que l’eau sortie remplit exactement un verre cylindrique de 4émm de diamètre et de 8 cm de hauteur, trouver le volume du lingot ( prendre pi = 22/7)

 

3°) On veut creuser un bassin circulaire de 0,60 m de profondeur qui contienne 215 hl d’eau . Quel est le rayon de ce bassin ?

 

)On creuse un puits cylindrique de 8 m de profondeur et de 2,40 m de diamètre. Quel est le volume de terre enlevée ? La terre remuée augmente son volume de 1/5 . Combien faudra-t-il de tombereaux de 2 m3  pour évacuer la terre provenant du puits ? On l’épand sur un jardin de 25 a ; quelle sera l’épaisseur moyenne de la couche ainsi obtenue ?

5°) On creuse un puits cylindrique de 8,50 m de profondeur. La maçonnerie des parois à 28 cm d’épaisseur et le diamètre intérieur  du puits et de 1,22 m.

A combien revient ce puits si les travaux de terrassement et d’enlèvement de la terre reviennent à 56,4 € par mètre cube et si le mètre cube de maçonnerie revient à  450 € ?

bsp;?