Pré requis:

Travaux  niveau   VI Pré requis     :Dos 124 et 125   et  Dos 130 et 131
Les conversions des unités de  volume
Disques

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent : Le cylindre

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2°) les solides de révolutions

 

DOSSIER : LE   CYLINDRE de révolution. AIRES et VOLUME

 

TEST	COURS	Devoir  Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité		Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
			Travaux niv V. Dos 179	Interdisciplinarité  niv V Dos 188 Dos 219

 

COURS

Calculs :

 

I )  Surface latérale d’un cylindre droit

La surface latérale d’un cylindre droit est égale au produit de la longueur de la circonférence de sa base par sa hauteur :

 

1^ère traduction :

Surface latérale = Circonférence de la base x hauteur

2^ième traduction :

A = 2pr  x   h

 

Aire latérale d’un cylindre : En coupant un cylindre de révolution suivant une génératrice (AA’), on peut appliquer sa surface latérale sur un plan.
Si on développe la surface latérale  ‘ a )  on obtient un rectangle dont la largeur est égale à la hauteur  du cylindre et dont la longueur est égale à la longueur du cercle de base.

 

Application :  Calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution. ( rayon = 10m ; hauteur = 30m , pi = 3,1416 )

A = 2pr h

A = 23,1416 10m30m                      ; ( remarque :   m  x   m = m² )

 

II )  Surface totale :

 

 

La surface totale est la somme de la surface latérale ( Al)   et de la surface des deux bases  ( 2 B) . Soit :    A totale = A latérale  + 2 B =    2 p r x  h +  2 p r2   =   2 p r ( h + r ) Application :  Calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10m ; hauteur = 30m , pi = 3,1416 )   A totale = A latérale  + 2 B = 2pr h +2pr2 = 2pr  ( h+r)   A totale = 23,1416 10 m (30m + 10m ) ; remarque 30m + 10m = 40m

 

 

 

 

III ) VOLUME DU CYLINDRE

 

Volume d’un cylindre :
Le volume ( V ) d’un cylindre est égal au produit de l’aire de la base ( disque) multipliée par la hauteur. (précaution importante :prendre les mêmes unités de longueur) Formule : V = pR2 H

 

Application : trouver le volume d’un cylindre de 0,40 m de rayon et de 2 m de hauteur.

 

Volume :         V = p R² h    = 0,4m 0,4m3,1416 2  = 1,005312 m²

 

 

HAUTEUR :  On obtient la hauteur d’un cylindre en divisant le volume par la surface de base .

 

             h =   =

 

 

 

CYLINDRE CREUX ou MANCHON CYLINDRIQUE

 

 

	Définition : On appelle manchon cylindrique  le volume  compris entre les parois latérales de deux cylindres concentriques de même hauteur. La base du manchon cylindrique est une couronne    ( Info Plus ++++)
	Le volume du manchon cylindrique est égal au produit de la surface de sa base  (couronne) par sa hauteur. V = p (R2 – r2 ) h

 

 

 

 

Application :

Calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux . .( Rayon  = 10 m ;rayon = 8m  ; hauteur = 30m  , pi = 3,1416 )

Réponse :

V = p (RR – rr ) h 

V = 3,1416  (1010 – 88 ) 30

V =  3,1416  (100 m²– 64m² ) 30m

V = 3392,928 m³

 

 

Autres calculs :

 

Quel diamètre convient-il  de donner à un cylindre de 1,50 m de haut pour obtenir une capacité de 25 hectolitres ?

 

a)      il faut  convertir l'unité de capacité en unité de volume métrique .

 

( à savoir :        1 hl = 100 litres ;                            1 litre = 1 dm ³ ;                       1000 litres = 1000 dm³  = 1 m³  )

 

25 hectolitres

25 00 litres

25 00 décimètres cubes

2 , 500 m3

 

b)

On sait que le volume d'un cylindre se calcule  avec la formule : V =  ; on cherche "D"
Procédure :  sur les transformations successives.	on cherche "D"
1°)  On transforme : ( on multiplie les deux membres par "4" )	4V = 3,14 D2h
2°)   On en déduit , par transformation que  l’  : On divise les deux membres par  3,14 h	D2 =
3° )  Pour que l'égalité reste vraie  on fait la racine carrée des deux membres donc	=
Puisque   = D  on peut écrire      :	D  =
On remplace les lettres par les valeurs données .	D =
Résultat	D = 1,456 m

 

 

 

Activités  1:

Un cylindre a pour  dimensions : h = 110 mm  et     R =  52 mm  ; prendre pi = 3,14

Calculer L'aire latérale  ( en mm² et cm² ) ; L'aire de la base ( en mm² et cm² ); L'aire totale ( en mm² et cm² ); le volume ( en mm³ et cm³ ).

Solution :

a) L'aire latérale :

  A _l = 2p R h .  ; A _l = 2 3,14  52  110   =   35921,6 mm² ou   359 , 216 cm²

b) L'aire de la base ( et de la face supérieure ) :

 A  _b = 2p R ²  ; = 2 3,14  52  52  = 16981,12  mm² soit   169 ,8112 cm²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°)Donner la formule permettant de calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution.

 

2°)Donner la formule permettant de calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution.

 

3° ) Donner la formule permettant de calculer  le volume  d’un cylindre de révolution.

 

4° ) Donner la formule permettant de calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux .

 

5°)

Une couronne circulaire de rayons R et 3R  a pour aire 120 cm 2 . Quel est l’aire du petit disque ?

6°)

De combien doit – on diminuer le diamètre ( 50 mm) d’un cylindre pour réduire sa masse de 10 % ?

 

 

EVALUATION

Pour les calculs suivants on considérera que les longueurs sont exprimées dans la même unité : le centimètre « cm »

1°) Calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution.( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

2°) Calculer  la surface totale d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

3° ) Calculer  le volume  d’un cylindre de révolution. .( rayon = 10 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

4° ) Calculer  le volume  d’un manchon ou cylindre creux . .( Rayon  = 10 ;rayon = 8 ; hauteur = 30 , pi = 3,1416 )

 

CONTROLE CONTINU :

1°)

Le volume d’un cylindre  est donné par :  V2 = p r2  h On désigne  « r »  le rayon , « h » la hauteur ; Faire deux calculs le premier avec p = 3,14 et le second avec le p  de la calculatrice .
Calculer V2en dm3 ; pour r = 15,3 dm  et h =12,05 dm . Puis donner le résultat en m3    et sa capacité en hl.

2°)

Calculer : -l ’aire de la surface latérale -l ‘aire totale - le volume du cylindre  avec les données suivantes : h = R =

3°)

Calculer : -l ’ aire de la surface latérale -l ’aire totale - le volume du « manchon »  avec les données suivantes : h = R = r =

4°)

Calculer la hauteur d’un cylindre de 20 mm de diamètre  et de 25 120 mm3 de volume .

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

1°) On fait creuser un puits de 12 m de profondeur sur 1,50 de diamètre.

Quel est le volume de terre extrait ?

2° ) Dans un vase plein d’eau , on plonge un lingot d’or de forme irrégulière. Sachant  que l’eau sortie remplit exactement un verre cylindrique de 4émm de diamètre et de 8 cm de hauteur, trouver le volume du lingot ( prendre pi = 22/7)

 

3°) On veut creuser un bassin circulaire de 0,60 m de profondeur qui contienne 215 hl d’eau . Quel est le rayon de ce bassin ?

 

4°)On creuse un puits cylindrique de 8 m de profondeur et de 2,40 m de diamètre. Quel est le volume de terre enlevée ? La terre remuée augmente son volume de 1/5 . Combien faudra-t-il de tombereaux de 2 m³  pour évacuer la terre provenant du puits ? On l’épand sur un jardin de 25 a ; quelle sera l’épaisseur moyenne de la couche ainsi obtenue ?

5°) On creuse un puits cylindrique de 8,50 m de profondeur. La maçonnerie des parois à 28 cm d’épaisseur et le diamètre intérieur  du puits et de 1,22 m.

A combien revient ce puits si les travaux de terrassement et d’enlèvement de la terre reviennent à 56,4 € par mètre cube et si le mètre cube de maçonnerie revient à  450 € ?