Pré requis

Rappel : système décimal

Cour traité en 5ème collège en  1960

Lecture : notion de numération et grandeur

 

Les nombres entiers divisibles par « 2 » ; par « 3 » ; par « 5 » ;..

 

Les nombres divisibles par 10 ; par 100 ; par ……;

 

La division en parts égales

 

 La mesure du temps et les nombres dits « complexes »

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

Index warmaths

Objectif précédent :

)Le dixième

2°) le centième

)le millième

4°) la fraction (nomenclature)

5°) Travaux  pré requis  Dossier : 48 - 49

Objectif suivant :

1°) Arrondir ou troncature

)fractions simplifiées

3°) le nombre décimal

4°) la fraction arithmétique.

5°) Voir les opérations avec les nombres décimaux.

  Liste des cours sur le calcul numérique

Tableau

 

     Sphère metalliqueSommaire : les fraction

·       Sommaire n°2

 

6°) Nombre décimal et fraction décimal : def. Calculs

6°) Nombre décimal et fraction décimal : def. Les  Calculs avec des fractions décimales

 

« 

Boule verte

DOSSIER :              LA FRACTION dite « DECIMALE »  et   FRACTION  dite « RATIONNELLE »

 

 

 

 

I )  LA FRACTION dite « DECIMALE »

 

 

1°)  Approche .

 

 

2°) Définition .

 

 

3°)  Fraction décimale et nombre décimal »

 

 

4°) Conversion d’une fraction décimale en nombre décimal ( vis versa) et

 

 

 

II ) FRACTION (numérique)  dite  « RATIONNELLE »

 

 

1°) Conversion exacte  ou conversion approchée d’une fraction ordinaire en nombre décimal en valeur exacte ou approchée.

Voir « fraction périodique »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité                         Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

Travaux niv VI et V

 

 

 

 

 

 

Dos. 150.

Valeur décimale d’une fraction.

Dos : 151.

La fractions décimale.

 

 

 

 

 

 

 

 

Objectifs de cette leçon :

 

 

Objectif 1: Ecrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal :

Objectif  2 : Ecrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale .

 

 

Objectif 3 : Faire la différence entre : une fraction décimal et une fraction rationnelle.

 

 

I )  LA FRACTION DECIMALE

 

 

Rappel : un nombre décimal est un alignement horizontal de chiffre (s) séparé ou non par une virgule.  ( 0, 5    ;     1   ;   1,25  sont des nombres décimaux . Les nombres  sont toujours séparés par des points virgules. ( Info plus sur les conventions !!!)

 

 

 

COURS

1°)   approche  : 

On a vu qu’une fraction décimale du mètre  est une ou plusieurs parties de l’unité du mètre divisée (s)  en 10 ; 100 ; 1000.

Généralisons :

            Une fraction décimale est une ou plusieurs parties de l’unité divisée (s)  en 10 ; 100 ; 1000.

 

Une fraction décimale  peut s’écrire sous deux formes :

 

)par convention :  sous forme dite « nombre décimal » : exemple  0 , 35

2°) sous forme de fraction « ordinaire » : exemple : 

 

Pour écrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal , on écrit  le numérateur  , à la droite duquel on sépare , par une virgule , autant  de chiffres décimaux qu’il y a de zéros au dénominateur .

Exemples :

 

 

   s’ écrit   3 , 425

     s’écrit 0,0017

 

 

 

Vu en primaire :  Pour écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale , on supprime la virgule , on prend pour numérateur de la fraction le nombre ainsi obtenu , et pour dénominateur l’unité suivie d’autant de éros qu’il y a de chiffres décimaux dans le nombre décimal donné . 

Exemples :

 

 

0,0019    s’ écrit    

6,25     s’ écrit   

 

 

 

 

 

2°)  Définition :

 

 

On appelle « fraction décimale » une fraction dont le dénominateur est une puissance de « 10 » , c'est-à-dire « 10 » ; « 100 » ; « 1 000 » ; «  10 000 » ; etc….

 

 

 

 

 

 

La fraction décimale «  » est une unité décimale du premier ordre ou  « dixième »

 

 

La fraction décimale «  » est une unité décimale du second  ordre ou  « centième »

 

 

La fraction décimale «  » est une unité décimale du troisième  ordre ou  « millième »

 

 

On voit que :

Dix unités décimales d’un ordre quelconque égalent l’unité décimale de l’ordre immédiatement supérieur.

 

 

 

 

 

 

3°)  Fraction décimale et nombre décimal »

 

 

Soit  la fraction décimale :  , on a    =  

 

 

Que l’on peut écrire  =

 

 

On convient d’écrire la fraction décimale sous la forme d’un nombre décimal :  =  8 , 345

 

 

Dans cette convention : Tout chiffre placé à gauche d’un autre représente des unités de l’ordre immédiatement supérieur.

 

 

Donc :

Pour obtenir le nombre décimal égal à une fraction décimale donnée on sépare par une virgule , à la droite du numérateur , autant de chiffres qu’il y a de zéros au dénominateur ;

 

 

Réciproquement le nombre décimal « 8,345 » est égal à la fraction décimale . Et par suite :

 

La fraction décimale égale à un nombre décimal donné est une fraction dont le numérateur est le nombre entier obtenu en supprimant la virgule et dont le dénominateur est l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de chiffres décimaux après la virgule dans le nombre donné.

 

 

Exemple :  =  0,5

 

 

 

 

 

Remarque :    Un nombre rationnel représenté par une fraction décimale peut s’écrire sous forme de nombre décimal :

 

Exemple :  a =

  Solution 1 : 

                             a =   =   =    + +  + 

          ainsi

 

                               a = 30  + 5  +  + 

 

 

Solution 2 :  en utilisant les puissances de dix :

 

 a =   =   =      =

 

   a =    +   +  + 

  

   a  =   310     + 5       +      +   

ou  

    a  =   30    +   5    +   4 10-1   +  8 10-2

 

avec «  la convention de la virgule » entre le chiffre des unités et le terme en 10-1  , on obtient l’écriture commode :   a =   35 , 48

 

 

 

 

 

 

Objectif 3 : Conversion d’une fraction ordinaire en nombre décimal en valeur exacte ou « approchée.  ( voir « arrondir à tant prés »)

 

Définition :

 

Convertir une fraction « ordinaire » en nombre décimal ; c’est chercher un nombre égal a la fraction ordinaire  ou qui en diffère de moins de 1 dixième , de 1 centième , etc .

 

Soit convertir    et   en nombre décimal. et

 

 =   0, 4375    à 0, 0001 près . ;  =  0,2727  environ ;

 

 

 

 

 

 

Règle :

Pour convertir une fraction ordinaire en nombre décimal on divise le numérateur par le dénominateur .

Si l’opération donne pour reste 0 , la conversion est exacte et le quotient décimal trouvé est égal à la fraction ordinaire . ( =  0,5)

Si l’on ne peut obtenir pour reste 0 , ou si l’on arrête la division avant d’obtenir pour reste 0 , la conversion n’est qu’approchée et le quotient décimal diffère  de la fraction de 1 dixième ; de 1 centième ;de  1 millième , etc. …..

(voir ci-dessous)

 

 

 

II ) FRACTION  représentée   par un nombre  dit : « RATIONNEL »

 

 

Voir  La « fraction périodique »  et   « fraction rationnelle»

 

La fraction « périodique » n’est pas une fraction décimale .

C’est ainsi 

Conversion approchée :  ( pour en savoir plus : voir l’ensemble des nombres rationnels)

 

Lorsque la conversion exacte est impossible  , on aperçoit au quotient décimal un ou plusieurs chiffres qui se produisent constamment dans le même ordre .

Ainsi en divisant 3 par 11 , nous trouvons  le quotient décimal 0 , 27272727..

On dit que 0,27272727…  est un nombre  décimal périodique  et que 27 est la période ;

 

On appelle : « période » la série  des chiffres qui se reproduisent sans cesse ;

 

    Le  nombre  représentant une fraction décimale périodique  est une « conversion approchée » .

 

 

 

 

 

 

Activité : On peut donner  deux énoncés  pour obtenir  une réponse équivalente.

1°) Calculer  « 3 : 7 »  ( que constate – t- on ? )

2°) Donnez la valeur décimale de la fraction :  .  Questions : peut-on donnez la valeur décimale «  NON » ; alors on donnera une valeur approchée…

 

 

((tests :info sur la division)

 

 

Calcul de la division de «  3 : 7 » :  =  0 , 42 8 57 1 42……….

 

Vous constatez que cette division ne se termine pas. (expliquez oralement pourquoi).

 

  ne peut pas s’écrire sous forme de nombre à virgule car il aurait une infinité de chiffres après la virgule.

 

Réponse : «  3 : 7   =  0 , 42 8 57 1 42………(n’a pas de fin) . »

Mais on continue d’écrire que le quotient de « 3 » par « 7 » est .

 n’est pas un nombre décimal.  ( on lui donnera le nom de « rationnel »)

3

0

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

0,42857142

 

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS/

CONTROLE :

 

1°) Qu’appelle – t – on  « fraction décimale »  ?

2°) de combien de formes peut s’écrire une fraction décimale ?

3°) Comment doit-on faire pour écrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal ?:

4° ) Comment doit-on faire pour  écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale .

5°) Que signifie l’expression  : Convertir une fraction ordinaire en nombre décimal ?.

6°)  Comment  procède – t – on  pour convertir une fraction ordinaire en nombre décimal ?

7°)  Qu’est qu’une « conversion approchée » ?

8°)  Qu’appelle  -t –on  «  période » ?

 
EVALUATION

 

1°) écrire sous forme  de nombres décimaux : série 1

 

 

 

 

Série 2

 

 

2°) Ecrire sous forme de fraction ordinaire :

 

0,2

0,07

0,404

0,25

0,011

0,1006

0,164

0,009

0,0307

 

3°) Donner la conversion  exacte ou approchée au centième des fractions ordinaires  suivantes :

 

série 1

 

Série 2

5

3

4

3

8

 

 

 

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