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Objectif :
Expression d’un résultat |
Cours basique |
Pré requis:
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Valeur
approchée et approximation |
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La division décimale « troncature » |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif précédent Le nombre décimal . 1°)
conversion approchée d’une
fraction 2°)Tableau de numération d’un « décimal ». |
1°) INFO sur les nombres
décimaux 2°) encadrement
et valeur approchée 3°) expression d’un résultat ( opérations avec des longueurs ) |
Leçon très importante : vue et revue dans toutes les
classes, à chaque fois que le résultat d’un calcul doit être exprimé à
« tant prés » |
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|
||||||
A « tant » près.
( à 0,1 prés
ou à 0,01 prés ou à 0,001 prés;….)
TRONQUER
ou ARRONDIR ?
Nous avons vu
la : Division dans l ‘ensemble des nombres décimaux.
Exemple 1: 30 divisé par 5 =
6 ; le reste de la division est égal à
« 0 » : on dit que « 6 » est le quotient exact de la
division 30 par 5 ( « exact » parce que le reste de la division vaut
« 0 »)
Exemple 2: 17 divisé par 3 = 5, …….
; le reste de la division est différent de « 0 » : on dit que
« 5,…. » est le quotient « inexact » de la division 17 par
3 ( « inexact » parce que le reste de la division ne vaut pas
« 0 », le résultat exact de la
division ne peut être écrit
)
Ainsi : soit la division a : b
Il arrive
que le reste de la division d ’ un nombre
« a » par un
nombre « b » ne soit
pas nul ; alors le quotient , écrit comme résultat , ne peut s’appeler « quotient exact »
.Pourtant , une valeur sera donné pour exprimer le résultat de la division.
Il
arrive qu ‘ en effectuant une division nous ne parvenons pas à obtenir un
reste égal à zéro ;la division n’a
pas de fin , dans ce cas le quotient ne peut avoir une valeur
« finie » .
Ce quotient
qui sera donné comme « résultat
écrit » sera appelé : « quotient
approché par défaut » ou « d ‘ approximation décimale par
défaut » du dit « quotient ».
Pour
exprimer le résultat de ce type de division , on décidera d ’ effectuer une
« troncature » du résultat ou
pour des raisons de précision dans le résultat on décidera : « d ’
arrondir ».
I ) Troncature d ’ un
nombre:
On appelle une troncature le fait d ’
ignorer ou de « laisser
tomber » des décimales de rang ou
« ordre* donné » ; cet « ordre » ou
« grandeur » étant suggéré ou
imposé par l’exercice ,le problème ou la situation , donnés.
*voir numération des nombres.
|
Par
définition : On dit qu’un nombre est tronqué à une
certaine décimale ( à un certain rang décimal) si les décimales du ( ou des ) rang suivant sont ignorées . |
Exemples :
3,14159 est la valeur tronquée à 5 décimales de 3,141592254
3,1415 est la valeur tronquée à 4
décimales de 3,141592254
3,141 est la valeur tronquée à 3 décimales de 3,141592254
3,14 est la valeur tronquée à 2
décimales de 3,141592254
3,1 est la valeur tronquée à 1
décimales de 3,141592254
3, est la valeur tronquée à l’unité d’unité de
3,141592254
NB :
en informatique , l ‘ expression
« troncature » est remplacée par l’expression « approximation
par défaut » .
Exemple
pour la racine carrée de 10 ;
la
calculatrice affiche : 3 , 162 277
66 :
« 3 » ;
« 3,1 » ; « 3,16 » ; « 3,162 » ;
« 3,1622 » ;... sont autant de troncatures du nombre « 3 , 162 277 66 »
Le
nombre 3 , 162 277 66 est lui aussi une troncature ou résultat
approché ; l’affichage de la calculatrice étant limitée à sa capacité
d ’ écran..
Cas
courants d’ordre de troncature :soit
le nombre 3 , 162 277 66
à 1 prés ;
« 3 »
à
0,1 prés (dit aussi au dixième prés) ,
« 3,1 »
à 0,01 prés(dit aussi au centième prés) ; « 3,16 »
à
0,001 prés (dit aussi au millième prés). « 3,162 »
Procédure pour effectuer une troncature:
1°)
Repérer le rang décimal limite donné
2 °
) Supprimer tous les chiffres qui se trouvent à droite du chiffre limite de la troncature
3 ° ) Reporter le résultat
II
) ARRONDIR
A )
Arrondir par défaut :
« Arrondir par défaut »consiste à
effectuer une troncature
, on ne tient pas compte de la valeur décimale « abandonnée » immédiate après la
troncature .
Cas
courants d’arrondi par défaut à « tant » prés :
prenons
par exemple le nombre 3 , 162 277 66
à 1 prés ; « 3 »
à 0,1 prés (dit aussi : au
dixième prés) , « 3,1 »
à 0,01 prés(dit aussi : au
centième prés) ;
« 3,16 »
à 0,001 prés (dit aussi : au
millième prés). « 3,162 »
B )
Arrondir par excès :
Procédure :
- on
effectue une troncature , sur la
droite du rang imposé
ou demandé .
,ensuite ( il faut prendre en compte la
valeur du décimale
« abandonnée » immédiate après la troncature);
il faut ajouter « 1 »
au dernier chiffre ou dernière décimale conservée .
Exemples :
Cas
courants : on doit « arrondir par excès » à
1 ; 2 ou
3 rang décimal : (c’est le
cas à résoudre lorsque l’on veut un
résultat exprimé en « mètre » au centimètre prés ; ou exprimé en « mètre » au décimètre prés ;
ou exprimé en « mètre » au
millimètre prés ).
soit le nombre 3 , 162 277 66
nous aurons
3 , 162 277 66 à 1 prés est
( 3 + 1 ) :
« 4 »
3 , 162 277 66 à 0,1 prés (dit aussi au dixième
prés) est 3,1 + 0,1 soit « 3,2 »
3 , 162 277 66 à 0,01 prés(dit aussi au centième
prés) est 3 , 16
+ 0,01 soit « 3,17 »
3 , 162 277 66 à 0,001 prés (dit aussi au millième prés) est 3,162
+ 0,001 soit « 3,163 »
C )
Arrondir à « tant » près : (le cas le plus difficile parce que cette procédure demande un travail d’analyse)
)
Procédure :
1°)
effectuer une troncature dont la limite
est fixée par le rang décimal imposé ou demandé .
2°) Ensuite
et suivant le cas :
- si le
premier chiffre immédiat qui doit être
supprimé est 5 et
6 ;7 ;8 ;9 ; on
supprime ce chiffre (ainsi que ceux situés à sa droite) et on ajoute « 1 » au chiffre du
dernier rang décimal du nombre
conservé .
- si le chiffre supprimé est 0 ; 1 ;
2 ; 3 ; 4 , on se contentera
de la troncature simple .
Exemples :
on veut « arrondir « à ……….(tant prés) » :le
nombre 3 , 162 577 66
|
Arrondir : 3 , 162 277 66 |
Troncature |
Dernier chiffre supprimé |
Résultat |
|
à
1 prés |
3
, |
1 |
3 |
|
à
0,1 prés (dit aussi au
dixième prés) |
3
,1 |
6 |
3,2 |
|
à
0,01 prés(dit aussi au
centième prés) |
3,16 |
2 |
3,16 |
|
à
0,001 prés(dit aussi au
millième prés) |
3,162 |
5 |
3,163 |
· Arrondir un nombre à l’unité
Arrondir
un nombre à l’unité , c’est prendre le nombre entier le plus proche de ce
nombre.
Exemple :
l’arrondit à l’unité de 13,27 est
13 car 13,27 est plus proche de de 1 » que de 14 .
Règle :
-
si le premier chiffre après
la virgule est 0 ;
1 ;2 ;3 ;4 ; on prend la valeur entière par défaut .
-
si le premier chiffre après la virgule est 5 ; 6 ;7 ; 8 ; 9 ;
on prend la valeur entière par excès .
On retiendra :
|
Règle de l’arrondi à
l’unité : Arrondir un nombre « à l’unité »
c’est prendre le nombre entier le plus proche de ce nombre en
tenant compte de la valeur du
premier chiffre après la virgule : -Si le premier chiffre
après la virgule est 0 ;1 ;
2 ; 3 ; 4 ; ( les cinq premiers chiffres ) , on
prend la valeur entière par défaut. -Si le premier chiffre
après la virgule est 5 ; 6 ;
7 ; 8 ; 9 ; ( les cinq derniers chiffres) , on
prend la valeur entière par excès. |
On peut de même , en transposant la règle
précédente :
·Arrondir un nombre
au dixième ( ou à une décimale)
Exemples :
arrondir au dixième 6,44 et 3,85
L’arrondi d’un nombre au dixième
de 6,44 est 6,4 ;
l’arrondi au dixième de 3,85 est 3,9
L’arrondi d’une longueur , au décimètre (
L’arrondi au décimètre de
·Arrondir un nombre au
centième ( ou à deux décimales)
Exemples :
- arrondir
au centième 6,443 et 7,897
L’arrondi d’un nombre au centième
de 6,443 est 6,44 ; l’arrondi
au centième de 7,897 est 7,90
- L’arrondi
au centime d’euro , au déci euro ( 0,01 €)
de 12,572 €
L’arrondi au centime d’ euro de 12,572 €
est 12,57 € ; ( le centime est le centième d’euro )
·Arrondir un nombre
au millième ( ou à trois décimales)
Exemples :
- arrondir
au centième 6,443 7 et 7,897 2
L’arrondi d’un nombre au millième
de 6,443 7 est 6,444 ; l’arrondi au centième de
7,897 2 est 7,897
- L’arrondi
au gramme de 5,789 6 kg
L’arrondi au gramme 5,789 6 kg est
On retiendra :
|
Règle d’arrondi à la décimale
choisie ou imposée : Pour arrondir un nombre à une décimale imposée : -
on tronque le nombre à
droite de cette décimale . -
on s’interroge sur la valeur de la première
décimale que l’on supprime : si elle est supérieure ou égale à 5 on
ajoute « 1 » à la dernière décimale
écrite , sinon on garde la valeur tronquée du départ . |
Exemple :
Arrondir
à deux décimales le nombre : 23 , 4684
-
Troncature : le nombre sera 23, 4 6(8),
-
le (8) est le chiffre qui doit disparaître .ce
chiffre est supérieur à « 4 » , on ajoute « 1 » au « 6 » ; ( 6 +1 = 7 ) , 7 est le dernier chiffre retenu.
Ainsi :
arrondir à
deux chiffres décimales le nombre
« 23 , 4684 » donne
comme résultat : 23,47
c) Vocabulaire
|
Les expressions suivantes sont
équivalentes : |
Les expressions suivantes sont
équivalentes : |
Les expressions suivantes sont
équivalentes : |
|
« Arrondir un nombre à une décimale » . « Arrondir un nombre à 0,1 près » . » « arrondir à un chiffre après la
virgule » « arrondir à un rang décimal » |
« Arrondir un nombre à deux décimales » « Arrondir un nombre à 0,01 près » « arrondir à deux chiffres après la virgule »
» « arrondir au deuxième rang décimal » |
« Arrondir un nombre à trois décimales» « Arrondir
un nombre à 0,001 près » « arrondir à trois chiffres après la
virgule » « arrondir au troisième rang décimal ». |
Rappel sur
« NUMERATION » :
Convention fondamentale :
Dix
unités d’un ordre ( 9 + 1 ) quelconque
constituent une unité de l’ordre immédiatement supérieur.(voir principe du
système décimal )
A partir d ’ un calcul donné on peut ;pour rendre compte du
résultat , opérer sur lui :
·
Une troncature
·
l ‘
Arrondir par défaut :
·
l ‘ Arrondir par excès :
·
l ‘ Arrondir « à tant prés »
EXERCICES RESOLUS
:
le quotient
d’une division est de
:........61 ,91 683..............après avoir arrêter l ’ opération
à cinq chiffres après la virgule.
On demande d’ Exprimer le résultat: 61 , 91 683
|
Nombres |
troncature |
par excès |
par défaut |
au 0,01 près |
|
|
à :.....0,1............. |
à ...0 ,01 |
à 0 , 001 |
|
|
61, 91683 |
61, 9 |
61, 92 |
61, 916 |
|
|
61,95862 |
61,9 |
61,96 |
61,958 |
61,96 |
|
61, 96568 |
61, 9 |
61, 97 |
61, 965 |
61, 97 |
|
61,99231 |
61,9 |
62,00 |
61,992 |
61,99 |
|
|
|
|
|
|
|
ARRONDIR |
à 1 près |
à 0,1 près |
à 0, 01 près |
0,001 près |
|
61, 91683 |
62 |
61, 9 |
61, 92 |
61, 917 |
|
61,95862 |
62 |
62,0 |
61,96 |
61,959 |
|
61, 96568 |
62 |
62,0 |
61, 97 |
61, 966 |
|
61,99231 |
62 |
62,0 |
61,99 |
61,992 |
|
Les tables de trigonométrie (utilisation de la table
et de la calculatrice ) |
|
Voir les unités de mesure de :
|
Longueur |
|
|
Surface |
|
|
Volume |
|
Exemples
d ’ arrondi des unités d’aires et de
volumes .
Pour les aires
le résultat exprimé en m² : pour un résultat arrondi au dm² il faut 2 chiffres après la
virgule ; au cm² il faut 4
chiffres ; au mm² il faut 6
chiffres ! ! ! ! !
Voir avec les volumes ! ! ! !
Pour les volumes si le résultat exprimé
en m3 : pour un résultat
arrondi au dm3 il faut 3 chiffres après la virgule ; au
cm3 il faut 6 chiffres ;
au mm3 il faut 9
chiffres ! ! ! ! !
Exemple :
Procédure : on regarde le chiffre « derrière » le
« dm² » ( ici : 8 est derrière le 9 ) 135 , 69 8
m² ; et on arrondit soit
Conclusion : 135698200 mm² en
m² au dm² prés =
Et encore : 135698200 mm² en
dm² au cm² prés =
13569 ,82 dm²
1°) Arrondir les résultats des
calculs suivants au centimètre
carré :
|
783, |
® |
…………………… m² |
|
51,555674 dm² |
® |
…………………..
dm² |
|
128,699873452m ² |
® |
……………………. m ² |
|
1 099, 73 cm² |
® |
…………………….
cm² |
2°) Arrondir les résultats des
calculs suivants au décimètre
carré :
|
783, |
® |
……………… m² |
|
51,555674 dm² |
® |
……………. dm² |
|
128,699873452m ² |
® |
………………. m ² |
|
1 099, 73 cm² |
® |
………………. dm² |
Corrigé :
|
783, |
® |
783, |
|
51,555674 dm² |
® |
51,56 dm² |
|
128,699873452m ² |
® |
|
|
1 099, 73 cm² |
® |
1 100 cm² |
|
783, |
® |
783, |
|
51,555674 dm² |
® |
52 dm² |
|
128,699873452m ² |
® |
128,70 m ² |
|
1 099, 73 cm² |
® |
1 1 dm² |
TRAVAUX AUTO FORMATIFS /
1 )Que veut dire approximation" ?
Voir dictionnaire
2 )Qu'est ce qu'une valeur arrondie?
3 )Qu‘est ce qu‘une troncature ?
4 )En vous aidant du nombre suivant........... 61,
91683..................répondez aux questions suivantes :
5 ) Donner la procédure qui permet de faire une
troncature.
6 )Donner la procédure qui permet d ‘ arrondir par excès.
7 )Donner la procédure qui permet d ‘ arrondir par
défaut.
8 )Donner la procédure qui permet d ‘ arrondir
à « tant »près .
9 )Combien y a
t - il de façon de rendre compte
d’un résultat d ’ une opération (division ou « racine )».
Série 1 :
1°) Arrondir au dixième .
|
|
Arrondi |
|
|
Arrondi |
|
0,18 |
|
|
3,12 |
|
|
3,14 |
|
|
0,193 |
|
|
1,07 |
|
|
1,17 |
|
|
2,349 |
|
|
0,29 |
|
|
0,14 |
|
|
30,65 |
|
|
15,072 |
|
|
121,197 |
|
2°) Arrondir au centième .
|
|
Arrondi |
|
|
Arrondi |
|
3,576 |
|
|
124,785 |
|
|
12,356 |
|
|
9,949 |
|
|
1,593 |
|
|
65,964 4 |
|
|
30,576 1 |
|
|
1 264 , 789 |
|
|
45,964 |
|
|
698,978 |
|
|
2,333 |
|
|
0,046 |
|
3°) Arrondir au millième .
|
|
Arrondi |
|
|
Arrondi |
|
6,523 6 |
|
|
54 ,000 6 |
|
|
1,678 9 |
|
|
687,729 9 |
|
|
7,325 1 |
|
|
1,006 6 |
|
|
125,324 3 |
|
|
38 , 006 3 |
|
|
234 , 652 3 |
|
|
987,064 5 |
|
|
6,012 3 |
|
|
12,003 9 |
|
4°) Arrondir
les dimensions suivantes au centimètre :
|
783, |
® |
|
|
|
® |
|
|
|
® |
|
|
1 099, |
® |
|
5°) arrondir les sommes au centime :
|
3 543, 268 € |
® |
|
|
1 345 , 194 € |
® |
|
|
102 , 626 € |
® |
|
|
|
® |
|
Série 2
1°) Donner les valeurs arrondies de :
|
3,78 à 1 près |
|
|
14 , 071 à
0,01 près |
|
|
258,3 à 10
près |
|
|
0,43018
à 0,001 près |
|
|
174 328
à 1 000 près |
|
2°) compléter les tableaux suivants :
Tableau 1 :
|
ARRONDIR |
à :.....0,1............. |
à ...0 ,01 |
à 0 , 001 |
|
|
Nombres |
troncature |
par excès |
par défaut |
au 0,01 près |
|
61, 91683 |
|
|
|
|
|
61,95862 |
|
|
|
|
|
61, 96568 |
|
|
|
|
|
61,99231 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tableau 2 :
|
ARRONDIR |
à 1 près |
à 0,1 près |
à 0, 01 près |
0,001 près |
|
61, 91683 |
|
|
|
|
|
61,95862 |
|
|
|
|
|
61, 96568 |
|
|
|
|
|
61,99231 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°) Les valeurs
approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ;
1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres
décimaux successifs constituant une
suite de plus en plus longue de nombre
entier .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?
|
|
|
Arrondi à 1 près par défaut |
Arrondi à 1 près par excès |
A 1 prés |
A 0,1 prés |
A 0,01 prés |
A 0,001 prés |
|
A |
743,2473 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
743, 763 |
|
|
|
|
|
|