Objectif :           Expression d’un résultat

Cours basique

Pré requis:

Ordre  de grandeur d’un résultat

 

Valeur approchée  et approximation

 

Notion d’arrondis automatiques

 

La division décimale « troncature »

ICI :   ACTIVITES : pré requises. Dossier  48 - 49

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

Ici : Liste des cours en relation avec le calcul numérique

Index   : warmaths

Objectif précédent 

Le nombre décimal .

1°) conversion approchée d’une fraction

2°)Tableau de numération d’un « décimal ».

 

1°) INFO   sur les nombres décimaux           

2°) encadrement et valeur approchée

3°) expression d’un résultat (  opérations avec des longueurs )

4 °) Cours reprit au : niveau V

Tableau        45

 

Leçon très importante : vue et revue dans toutes les classes, à chaque fois que le résultat d’un calcul doit être exprimé à « tant prés »

 

"ARRONDIR" ou « TRONCATURE »

 

 

Troncature ( définition)

 

 

Arrondir :

 

 

  • Arrondir par défaut

 

 

  • Arrondir par excès

 

 

  • Arrondir à  « tant prés »

 

 

  • Arrondir à l’unité  ( au gramme prés…)

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST     

ICI :   ACTIVITES : pré requises.

COURS                

 

>>>Résumé du cours.

Devoir  Contrôle

1°) Devoir évaluation

Interdisciplinarité

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

Dossier  52-53

Et encore

 

 

A « tant »  près. 

 ( à 0,1 prés  ou à  0,01 prés  ou à 0,001 prés;….)

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


COURS

TRONQUER  ou   ARRONDIR ?

 

Nous avons vu  la : Division dans l ‘ensemble des nombres décimaux.

Exemple 1: 30 divisé par 5 = 6   ; le reste de la division est égal à « 0 » : on dit que « 6 » est le quotient exact de la division 30 par 5 ( « exact » parce que le reste de la division vaut « 0 »)

Exemple 2:   17 divisé par 3 =  5, …….   ; le reste de la division est différent de  « 0 » : on dit que « 5,…. » est le quotient « inexact » de la division 17 par 3 ( « inexact » parce que le reste de la division ne vaut pas « 0 », le résultat  exact de la division  ne peut  être écrit  )

Ainsi :           soit la division        a : b

 

Il arrive  que  le reste de la division  d ’ un nombre  « a » par  un nombre  « b »  ne soit  pas nul ;  alors  le quotient , écrit comme résultat  , ne peut s’appeler « quotient exact » .Pourtant , une valeur sera donné pour exprimer le résultat de la division.

 

Il arrive qu ‘ en effectuant une division nous ne parvenons pas à obtenir un reste  égal à zéro ;la division n’a pas de fin  ,  dans ce cas le quotient ne peut avoir une valeur « finie » .

 

Ce quotient  qui sera donné comme « résultat   écrit »  sera appelé : « quotient approché par défaut  » ou  «  d ‘ approximation décimale par défaut »  du dit  « quotient ».

 

Pour exprimer le résultat de ce type de division , on décidera d ’ effectuer une « troncature »  du résultat ou pour des raisons de précision dans le résultat on décidera :  « d ’ arrondir ».

 

I ) Troncature d ’ un nombre:

 

 

            On appelle une troncature le fait d ’ ignorer  ou de « laisser tomber »  des décimales de rang ou « ordre* donné » ; cet « ordre » ou « grandeur » étant  suggéré ou imposé par l’exercice ,le problème ou la situation , donnés.

*voir numération des nombres.

 

Par définition : On dit qu’un nombre est tronqué à une certaine décimale ( à un certain rang décimal) si les décimales du  ( ou des ) rang suivant sont ignorées .

 

 

Exemples :   

3,14159  est la valeur tronquée à  5 décimales de  3,141592254

3,1415    est la valeur tronquée à  4  décimales de  3,141592254

3,141      est la valeur tronquée à  3 décimales de  3,141592254

3,14        est la valeur tronquée à  2  décimales de  3,141592254

3,1          est la valeur tronquée à  1  décimales de  3,141592254

3,            est la valeur tronquée à  l’unité d’unité  de  3,141592254

 

 

NB : en informatique  , l ‘ expression « troncature » est remplacée par l’expression  « approximation par défaut » .

 

 

Exemple pour la racine  carrée de  10 ;

 

     la calculatrice affiche :  3 , 162 277 66 :

   

« 3 » ; « 3,1 » ; « 3,16 » ;  « 3,162 » ; « 3,1622 » ;... sont autant de troncatures du nombre   « 3 , 162 277 66 » 

 

  Le  nombre  3 , 162 277 66  est lui aussi une troncature ou résultat approché ; l’affichage de la calculatrice étant limitée à sa  capacité  d ’ écran.. 

 

Cas courants  d’ordre de troncature :soit le  nombre  3 , 162 277 66

          à 1 prés   ;                                                  « 3 » 

          à 0,1 prés (dit aussi au dixième prés) ,      « 3,1 » 

          à 0,01 prés(dit aussi au centième  prés) ; « 3,16 » 

          à 0,001 prés (dit aussi au millième prés). « 3,162 » 

 

Procédure pour effectuer une troncature:

                                            1°) Repérer le rang  décimal limite donné

                                            2 ° ) Supprimer tous les chiffres qui se trouvent à droite  du chiffre limite de la troncature

                                            3  ° ) Reporter le résultat

 

II ) ARRONDIR

 

A  )   Arrondir par défaut : 

 

 « Arrondir par défaut »consiste à effectuer une troncature , on ne tient pas compte de la   valeur décimale  « abandonnée » immédiate après la troncature .

 

 

Cas courants  d’arrondi par défaut  à « tant » prés  :

    prenons par exemple  le nombre  3 , 162 277 66

          à 1 prés   ; « 3 » 

          à 0,1 prés (dit aussi :   au dixième prés) , « 3,1 » 

          à 0,01 prés(dit aussi :    au centième  prés) ; « 3,16 » 

          à 0,001 prés (dit aussi :   au millième prés). « 3,162 » 

 

 

 

B  )   Arrondir par excès   : 

 

Procédure :

 

-  on effectue  une troncature  , sur la  droite  du rang  imposé  ou demandé .

 

,ensuite       (  il faut prendre en  compte la   valeur du décimale  « abandonnée » immédiate après la troncature);

 

                   il faut  ajouter « 1 » au dernier chiffre  ou  dernière décimale conservée .

 

Exemples :

Cas courants :     on doit     « arrondir  par excès »   à  1 ;   2   ou  3  rang  décimal  : (c’est le cas  à résoudre lorsque l’on veut un résultat exprimé en « mètre » au centimètre prés ; ou  exprimé en « mètre » au décimètre prés ; ou  exprimé en « mètre » au millimètre prés ). 

                     

                  soit  le nombre  3 , 162 277 66 

 

 

nous aurons

 

3 , 162 277 66   à 1 prés   est    ( 3 + 1 )   :     «  4   » 

3 , 162 277 66   à 0,1 prés (dit aussi au dixième prés) est  3,1 + 0,1   soit  « 3,2 » 

3 , 162 277 66  à 0,01 prés(dit aussi au centième  prés) est  3 , 16  + 0,01   soit   « 3,17 » 

3 , 162 277 66  à 0,001 prés (dit aussi au millième prés) est   3,162 + 0,001  soit  « 3,163 » 

 

 

C  )   Arrondir à « tant » près  :   (le cas le plus difficile  parce que cette procédure demande un travail d’analyse)

 

Procédure :

 1°) effectuer  une troncature dont la limite est   fixée par le  rang décimal imposé ou demandé  .

 2°) Ensuite et suivant le cas :

 - si le premier chiffre immédiat qui doit être  supprimé est   5  et  6 ;7 ;8 ;9   ; on supprime ce chiffre (ainsi que ceux situés à sa droite) et on ajoute  « 1 »  au chiffre du  dernier rang décimal du nombre  conservé .

 

- si le chiffre supprimé est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4   , on se contentera de la troncature simple  .

  

Exemples :   on veut « arrondir  « à ……….(tant prés)  » :le nombre  3 , 162 577 66

  

Arrondir :

3 , 162 277 66

Troncature

Dernier chiffre supprimé

Résultat

à 1 prés

3 ,

1

3

à 0,1 prés (dit aussi au dixième prés)

3 ,1

6

3,2

à 0,01 prés(dit aussi au centième  prés) 

3,16

2

3,16

à 0,001 prés(dit aussi au millième prés)

3,162

5

3,163

     

 

·  Arrondir un nombre à l’unité

          Arrondir un nombre à l’unité , c’est prendre le nombre entier le plus proche de ce nombre.

 

Exemple :

           l’arrondit à l’unité de  13,27 est 13 car  13,27 est  plus proche de de 1 » que de 14 .

Règle :

-         si le premier chiffre après la virgule  est 0 ; 1 ;2 ;3 ;4 ; on prend la valeur entière par défaut .

-         si le premier chiffre  après la virgule est  5 ; 6 ;7 ; 8 ; 9 ; on prend la valeur entière par excès .

 

On retiendra :

Règle de l’arrondi à l’unité :

 Arrondir un nombre «  à l’unité » c’est prendre le nombre entier le plus proche de ce nombre  en  tenant compte de la valeur  du premier chiffre après la virgule :

-Si le premier chiffre après la virgule est  0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 ;   ( les cinq premiers chiffres ) , on prend la valeur entière par défaut.

-Si le premier chiffre après la virgule est  5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;   ( les cinq derniers chiffres) , on prend la valeur entière par excès.

 

On peut de même , en transposant la règle précédente :

 

·Arrondir un nombre au dixième  ( ou à une décimale)

 

 Exemples : arrondir au dixième  6,44 et 3,85

L’arrondi d’un nombre  au dixième  de  6,44 est 6,4 ; l’arrondi  au dixième de 3,85 est 3,9

L’arrondi d’une longueur  , au décimètre  ( 0,1 m)  de 2,57 m

L’arrondi au décimètre  de 2,57 m est 2,6 m ; ( le décimètre est le dixième de mètre )

 

 

 

·Arrondir un nombre au centième  ( ou à deux décimales)

 

 Exemples :

-  arrondir au centième  6,443  et 7,897

 

          L’arrondi d’un nombre  au centième  de  6,443 est 6,44 ; l’arrondi  au centième de 7,897 est 7,90

  - L’arrondi au centime d’euro   , au déci euro  ( 0,01 €)  de 12,572 €

 

         L’arrondi au centime d’ euro de   12,572 €  est 12,57 € ; ( le centime est le centième d’euro )

 

·Arrondir un nombre au millième  ( ou à trois décimales)

 

 Exemples :

-  arrondir au millième   6,443 7  et 7,897 2

 

          L’arrondi d’un nombre  au millième  de  6,443  7 est 6,444  ; l’arrondi  au centième de 7,897 2 est 7,897

 

  - L’arrondi au gramme    de 5,789 6  kg

 

         L’arrondi au gramme 5,789 6  kg est  5,790 kg   ; ( le gramme est  le millième du kilogramme )

 

 

On retiendra :

Règle d’arrondi  à la décimale choisie ou imposée :

 Pour arrondir un nombre à une  décimale imposée :

-         on tronque le nombre à droite de cette décimale .

-         on  s’interroge sur la valeur de la première décimale que l’on supprime : si elle est supérieure ou égale à 5 on ajoute « 1 » à la dernière décimale  écrite , sinon on garde la valeur tronquée du départ .

 

Exemple :

 

Arrondir à deux décimales le nombre : 23 , 4684 

 

-         Troncature : le nombre sera  23, 4 6(8),

-         le (8)  est le chiffre qui doit disparaître .ce chiffre est supérieur à « 4 » , on ajoute « 1 »  au « 6 » ; ( 6 +1 = 7 ) , 7 est le dernier chiffre retenu.

    Ainsi :

arrondir  à deux chiffres décimales le nombre  « 23 , 4684 »  donne comme résultat : 23,47

 

 

 

c) Vocabulaire

 

 

Les expressions suivantes sont équivalentes :

Les expressions suivantes sont équivalentes :

Les expressions suivantes sont équivalentes :

« Arrondir un nombre  à une décimale » .

 « Arrondir  un nombre à 0,1 près » . »

« arrondir à un chiffre après la virgule »

«  arrondir à un rang décimal »

 

« Arrondir un nombre à deux  décimales »

 « Arrondir  un nombre à 0,01 près » 

« arrondir à deux chiffres après la virgule » »

«  arrondir au deuxième rang  décimal »

 

« Arrondir un nombre à trois  décimales» 

« Arrondir  un nombre à   0,001 près »

« arrondir à trois chiffres après la virgule »

«  arrondir au troisième rang  décimal ».

 

Rappel sur  « NUMERATION » :

Convention fondamentale :

                                 Dix unités d’un ordre (  9 + 1 ) quelconque constituent une unité de l’ordre immédiatement supérieur.(voir principe du système décimal )

 

A partir d ’ un calcul donné on peut ;pour rendre compte du résultat , opérer sur lui :

·        Une troncature

·       

 
l ‘ Arrondir par défaut :

·        l ‘ Arrondir par excès :

·        l ‘ Arrondir « à tant prés » 

 

EXERCICES RESOLUS   :

 le quotient d’une division est de  :........61 ,91 683..............après avoir arrêter l ’ opération à cinq chiffres après la virgule.

  On demande d’ Exprimer le résultat:        61 , 91 683

 

Nombres

troncature

par excès

par défaut

au 0,01 près

 

à :.....0,1.............

à  ...0 ,01

à 0 , 001

 

61, 91683

61, 9

61, 92

61, 916

61, 92

61,95862

61,9

61,96

61,958

61,96

61, 96568

61, 9

61, 97

61, 965

61, 97

61,99231

61,9

62,00

61,992

61,99

 

 

 

 

 

 

ARRONDIR

à  1 près

à 0,1 près

à 0, 01 près

0,001 près

61, 91683

62

61, 9

61, 92

61, 917

61,95862

62

62,0

61,96

61,959

61, 96568

62

62,0

61, 97

61, 966

61,99231

62

62,0

61,99

61,992

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Les tables de trigonométrie (utilisation de la table et de la calculatrice )

 

Voir les unités de mesure de :

Longueur

Surface

Volume

 

Exemples d ’ arrondi   des unités d’aires et de volumes .

 

Pour les aires  le résultat exprimé en m² : pour un résultat arrondi   au dm² il faut 2 chiffres après la virgule ; au cm² il faut  4 chiffres ; au mm²  il faut 6 chiffres ! ! ! ! !

Voir avec les volumes ! ! ! ! Pour les volumes si  le résultat exprimé en m3 : pour un résultat  arrondi au dm3 il faut 3 chiffres après la virgule ; au cm3 il faut  6 chiffres ; au mm3  il faut 9 chiffres ! ! ! ! !

Exemple :

 On  a calculé  et on a obtenu le résultat suivant  :  135 69 82 00 mm² ; on demande d’exprimer le résultat en m²  au dm² prés :

   Procédure :  on regarde  le chiffre « derrière » le « dm² » ( ici : 8 est  derrière le 9 ) 135 , 69  8 m² ; et on arrondit soit 135,70 m²  au dm² prés.

Conclusion :   135698200 mm²   en    au dm² prés  =  135,70 m²

 

Et encore :   135698200 mm²   en  dm²  au cm² prés  =  13569 ,82   dm²

 

1°) Arrondir les résultats  des  calculs  suivants au centimètre carré :

 

783, 4576589 m²

®

…………………… m²

51,555674 dm²

®

…………………..  dm²

128,699873452m ²

®

……………………. m ²

1 099, 73 cm²

®

…………………….  cm²

 

2°) Arrondir les résultats  des  calculs  suivants au décimètre carré :

 

 

783, 4576589 m²

®

……………… m²

51,555674 dm²

®

…………….   dm²

128,699873452m ²

®

……………….  m ²

1 099, 73 cm²

®

……………….  dm²

 

 

 

 

 

Corrigé :

783, 4576589 m²

®

783, 4577 m²

51,555674 dm²

®

51,56  dm²

128,699873452m ²

®

128,699873 m ²

1 099, 73 cm²

®

1 100  cm²

783, 4576589 m²

®

783, 46 m²

51,555674 dm²

®

52   dm²

128,699873452m ²

®

128,70  m ²

1 099, 73 cm²

®

1 1  dm²


 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS /

 

CONTROLE :Préparation

1 )Que veut dire approximation" ?

Voir dictionnaire

 

2 )Qu'est ce qu'une valeur arrondie?

 

3 )Qu‘est ce qu‘une troncature ?

 

4 )En vous aidant du nombre suivant........... 61, 91683..................répondez aux questions suivantes :

 

5 ) Donner la procédure qui permet de faire une troncature.

 

6 )Donner la procédure qui permet  d ‘ arrondir par excès.

 

7 )Donner la procédure qui permet d ‘ arrondir par défaut.

 

8 )Donner la procédure qui permet d ‘ arrondir   à « tant »près  .

 

9 )Combien y a  t - il  de façon de rendre compte d’un résultat d ’ une opération (division ou « racine )».

 

 

EVALUATION à préparer

Série 1 :

 

1°) Arrondir au dixième .

 

Arrondi

 

 

Arrondi

0,18

 

 

3,12

 

3,14

 

 

0,193

 

1,07

 

 

1,17

 

2,349

 

 

0,29

 

0,14

 

 

30,65

 

15,072

 

 

121,197

 

2°) Arrondir au centième .

 

Arrondi

 

 

Arrondi

3,576

 

 

124,785

 

12,356

 

 

9,949

 

1,593

 

 

65,964 4

 

30,576 1

 

 

1 264 , 789

 

45,964

 

 

698,978

 

2,333

 

 

0,046

 

3°) Arrondir au millième .

 

Arrondi

 

 

Arrondi

6,523 6

 

 

54 ,000 6

 

1,678 9

 

 

687,729 9

 

7,325 1

 

 

1,006 6

 

125,324 3

 

 

38 , 006 3

 

234 , 652 3

 

 

987,064 5

 

6,012 3

 

 

12,003 9

 

4°)  Arrondir les dimensions suivantes au centimètre :

783, 45 cm

®

 

51,55 cm

®

 

128,6 cm

®

 

1 099, 7 cm

®

 

5°) arrondir les sommes au centime :

3 543, 268 €

®

 

1 345 , 194 €

®

 

102 , 626 €

®

 

 

®

 

 

Série 2

1°) Donner les valeurs arrondies de :

3,78 à 1 près

 

14 , 071  à 0,01 près

 

258,3  à 10 près

 

0,43018  à  0,001 près

 

174 328  à  1 000 près

 

2°) compléter les tableaux  suivants :

Tableau 1 :

ARRONDIR

 à :.....0,1.............

à  ...0 ,01

à 0 , 001

 

Nombres

troncature

par excès

par défaut

au 0,01 près

61, 91683

 

 

 

 

61,95862

 

 

 

 

61, 96568

 

 

 

 

61,99231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tableau 2 :

ARRONDIR

à  1 près

à 0,1 près

à 0, 01 près

0,001 près

61, 91683

 

 

 

 

61,95862

 

 

 

 

61, 96568

 

 

 

 

61,99231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)  Les valeurs approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ; 1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres décimaux successifs  constituant une suite de plus en plus longue de  nombre entier .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?

 

 

Arrondi à 1 près par défaut

Arrondi à 1 près par

excès

A 1 prés

A 0,1 prés

A 0,01 prés

A 0,001 prés

A

743,2473

 

 

 

 

 

 

B

743, 763

 

 

 

 

 

 

 

y:Arial'>