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Ne pas confondre !!!   « cercle »  et « disque » ces deux mots désignent des « objets » différents.

CERCLE : une ligne particulière

DISQUE : une surface plane délimitée par une ligne particulière.

Pré requis:

Notions : plan –ligne – point

 

Matériel de traçage

 

Le nombre "pi"

La ligne courbe

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Classe 6ème

Objectif précédent  

1°) Le cercle ( vu en primaire)

Objectif suivant :

1°)Les disques

2°) détermination du centre

3°) positions relatives de deux cercles

4°) positions relatives d’un cercle et d’une droite

5°) Cercle et symétrie.

6°) « Cercle » « disque » et « isométrie »

tableau   

1°) Géométrie présentation

 

2°) Cours de niveau V

 

3°) Info complémentaires.

 

DOSSIER : LE CERCLE  (suite) :

Ses caractéristiques et « positions d’un point ou d’une droite par rapport au cercle ».

1 ° ) Définitions (caractéristiques)

2 ° )Position relative d’un point / au cercle

3° ) Position relative d’une droite / cercle :

 

A ) Extérieur 

 

B ) Tangente

 

C) Sécante

 

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

 Sciences     

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

1°) Situation problèmes.

2°) Fiches  module 5 : ……arithmétique.

3°) Fiche spécifique :…

 

 

 

Fiche : cercle et dessins.

Fiche : le cercle et le tracé  

Fiche : cercle « exercices »

Fiche :cercle et problème.

Fiche : cercle et son périmètre.

 

 

 

 

 

 

 

 

Lecture : Rappels : les figures géométriques sont    limitées par des lignes .

  Ces lignes sont « droites » (tracée à la règle) , soit « courbe » (tracée au compas ) .

 

 Mesure de la longueur d’une ligne :

« Ligne droite »

Mesure de la longueur d’une droite : directement avec une règle graduée ;

La mesure de la longueur d’une droite  s’obtient par calcul :

  voir « calcul de la mesure d’un segment sur un axe » 

ou « calcul de la mesure d’un segment dans un repère. »

 

« ligne courbe » :

                     sa longueur peut s’obtenir par mesure : on pose un fil sur la ligne courbe ; puis on la tend  ce fil , on mesure à la règle .

                    Si la courbe est un cercle : faire le calcul  de la longueur de la circonférence.

                    Si la courbe est un arc de cercle : on peut obtenir la longueur par calcul  : il faut connaître le rayon du cercle ,la longueur de l’arc en degré ,la relation mathématique qui lie le calcul du périmètre du cercle et la partie d’un angle d’un arc.

 

COURS

 

1°) 

Résumé sur  les  CARACTERISTIQUES du cercle .

 

Termes employés :

centre 

Est un point intérieur du disque  situé à égal distance de la  circonférence.

On dit aussi : Centre : le centre du cercle est le point situé à égale distance de tous les points qui « cernent » ce point.  On le désigne couramment par la lettre  O.

cercle 

Le cercle est une ligne fermée , c’est un ensemble de points .

Ces points sont  situés dans un plan à la distance « R » d’un point « O ».

 

Cette ligne est mesurable (technique : on pose un fil sur  le cercle, puis on mesure la longueur du fil tendu avec une règle).

(on parle de mesure du développé du  cercle )

Le cercle est  aussi  la frontière du disque .  

Rayon 

La distance du centre O à un point quelconque du cercle est le rayon.

Le rayon est le segment de droit qui joint le centre  à un point quelconque du cercle .

Exemple : rayon OC.

Tous les rayons d’un même cercle sont égaux.

Diamètre

Le diamètre est une corde qui passe par le centre , sa mesure est le double de celle d’un rayon . Tous les diamètres sont isométriques .

( il partage le cercle ou disque en deux parties égales.)

Si « R » désigne la longueur du rayon et « D »  celle du diamètre , nous avons : D =  2R

circonférence

La circonférence est constituée par l’ensemble des points d’un plan situés à égale distance d’un point fixe appelé « centre ».

La longueur  du cercle est appelée « circonférence ». 

Elle peut se mesurer , en général , on calcule la longueur de  la circonférence , avec une formule . 

«  p »  lire « pi » , c’est un nombre dont la valeur  approchée est  « 3,14 ».

«  p »  lire « pi » :  c’est la lettre de l’alphabet grec « p »  qui correspond à la première lettre du mot « periphereia » qui signifie « contour ».

Formules :

C = 2 fois p fois R

Que l’on écrit :

            C = 2 p  R

Ou

C = p  fois D  que l’on écrit :

            C = p  D 

 

disque

Un disque est constitué par l’ensemble des points de  la circonférence et de sa région intérieure. On réserve le nom de « disque »  à la surface intérieure et de « cercle » à la courbe qui limite le disque

arc de circonférence

 AB

 

Noté :

Un arc de circonférence est une portion de circonférence limitée par deux points.

 

Attention : on calcule la longueur d’ un arc de circonférence . Cet arc  de cercle est engendré par un angle « au centre ».

Formule :

Ici : Info +++

corde

Une corde est un segment de droite joignant deux points de la circonférence .Une corde qui passe par le centre est un « diamètre ».

 

 

 

Angle au centre  

( « n »)

Un angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre du disque .

On dit que l’angle « intercepte l’arc compris entre ses cotés » .

« n » est la mesure de l’angle en degré .

« AB » est un morceau de la circonférence :

 

 


Récapitulatif  sur le nom des  droites dans le cercle :

Les droites dans le cercle .

 

TRACE d’un cercle :

Voir exercices CC

L’outil utilisé pour tracer un cercle est appelé : COMPAS

 

 

2°)   Positions relatives d’un point et d’un cercle 

 

Un cercle partage le plan en deux régions .

L’intérieur du cercle .

L’extérieur du cercle qui ne contient pas le centre. On voit sur la figure qu’un point est à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle suivant que sa distance au centre est inférieur ou supérieur au rayon.

Par contre tous les points du cercle ont la propriété commun d’être à la distance R du point O et ils sont  les seule points du plan qui possèdent cette propriété.

Pour cette raison on dit que le cercle de centre O et de rayon R est le lieu géométrique des points situés à la distance R  du point O .

Info plus…

 

3 °) Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Info plus….

 

Pour chaque cas étudié :  O étant un point extérieur à une droite D , menons la perpendiculaire OH à la droite D ; elle mesure la distance d du point O à cette droite. Décrivons un cercle de centre O et de rayon R .

Suivant les grandeurs relatives de R et de « d » , nous obtenons trois figures différentes.

 

 

 

a)  Droite extérieure :  « d » > R

le point H est extérieur au cercle O ; or c’est le point de la droite D le plus proche de O.

 Il en résulte que tous les points de D sont extérieurs au cercle. On dit que la droite D est extérieur au cercle .

 

B )  Cas  particulier : LA TANGENTE 

 « d » = R

le point H est sur le cercle O , or c’est le point de la droite D le plus rapproché de O .Il en résulte que tous les autres points de D sont extérieurs au cercle. La droite D et le cercle  O ont un seul point commun. On dit que la droite D est tangente au cercle O.

remarque : on peut dire indifféremment que la tangente à un cercle rencontre celui-ci en un seul point ou qu’elle rencontre en deux points confondus.

Si une droite est tangente à un cercle tous ses points , à l’exception du point de contact est donc le plus petit segment joignant le centre O à un point quelconque de la tangente ; il est donc perpendiculaire à celle-ci .

Remarque : Le rayon qui aboutit au point de contact est perpendiculaire à la tangente .

Constructions particulières 

B 1 ) Construction de la tangente à un cercle en un point A de ce cercle.

Théorème :la tangente est perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact. On ne peut mener qu’une perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon ; il en résulte que :

Théorème : par un point d’un cercle on ne peut mener qu’une tangente à ce cercle.

 

Tracer : à OA mener le rayon OA sur son prolongement ;tracer la perpendiculaire à ce rayon au point A .

 

 

B2 ) Cercles tangents aux deux cotés d’un angle.

Un point quelconque I de la bissectrice intérieure d’un angle xOy est équidistant des cotés de cet angle.

 IA = IB

Il en résulte que le cercle de centre I et de rayon IA = IB sera tangent aux cotés de l’angle x O y .il y a donc une infinité de cercles tangents aux cotés d’un angle ; on peut choisir le centre n’importe où sur la bissectrice de l’angle.

 

 

B3 ) Voir cercle inscrit dans un triangle                 ►►

  

 

 

C)  Droites sécantes :

 

« d » < R

le point H est intérieur au cercle O ; par conséquent lorsqu’un  point M se déplace sur D de part et d’autre de H , l’oblique OM augmente depuis la valeur  d(<R) jusqu’à une valeur aussi grande qu’on le veut .Il existe donc , de part et d’autre de H , deux positions M1 et M2 du point M pour lesquelles .  OM1 = OM2  = R

la droite D et le centre O ont deux points commun et ne peuvent en avoir davantage. On dit que la droite D est sécante au cercle O.

 

Voir ++« Ar» , « corde »  

Voir ++ « flèche »

 

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

I )  Donner les définitions des caractéristiques suivantes :

centre 

 

 

cercle 

 

 

Rayon 

 

 

diamètre

 

 

circonférence

 

 

disque

 

 

arc de circonférence

 

 

corde

 

 

Angle au centre

 

 

II) Quelles sont les positions d’un point par rapport à un cercle. ?

 

III) Quelles sont les positions d’une droite par rapport à un cercle ?.

 

IV) Quand dit - on que droite est tangente à un cercle ?

EVALUATION :

 

1°)Tracer un cercle et   tracer et nommer la flèche ; la corde , le diamètre , le centre, le rayon , une tangente et une sécante

 

2°) D’un point situé à 12 cm du centre d’un cercle de  6cm de rayon , on mène deux tangentes à ce cercle. Quel est leur angle ?

 

3°)  devoir   de   tracés : cliquez ici

 ( à imprimer )