Niveau.  VI ; V

 Géométrie :  DOSSIER : LES     SYMETRIES   /  Objectif cours 20

 

Pré requis:

 

 

Les nombres opposés et leur symétriques O

 

 

 

Nombres  relatifs  « symétriques »   

 

 

 

Le point 

3D Diamond

 

 

Le cercle :et la symétrie centrale (centre)

3D Diamond

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

Index         Boule verte

Objectif précédent :

Les symétries ( généralités)

P5 :voir activité sur la fiche 2 :repérage et symétrie..

Objectif suivant :

La symétrie centrale ( cours N°2)

tableau :

  1°) la symétrie (présentation)

)liste des objectifs cours de géométrie plane.

 

 

DOSSIER : SYMETRIE CENTRALE N°1

 

 

 

1.   Généralités

 

 

 

 

2.   Définition

 

 

 

 

3.   Propriétés

 

 

 

 

4.   Figures simples possédant un centre de symétrie: (niveau classe 5e)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

 

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

 

 

 

COURS :

 

 

 

 

 

 

1 - Généralités :

 

dans « centrale » il y a « centre », le « centre » est assimilable à un « point »

 

 

 

 

 

 

 

 

Deux points possèdent un centre de symétrie.

 

 

 

 

 

 

 

Symétrie de deux points :

 

Deux points A et A'  sont dits "symétriques par rapport à un troisième point "O" , si le  troisième point "O" est le milieu des deux points A et A'

Symétrie d'une courbe quelconque :

 

Pour tracer une figure symétrique par rapport à un centre  (O) ,il faut déterminer des points ,tracer des droites passant par un point et le point O et reporter la même distance ( exemple OB = OB' )

 

 

 

2 - Définition :

 

 

    Soit un point M et un point O donné , on appelle symétrie centrale de centre O l’application du plan P dans le plan P   qui associe à tout point ( M ) le point ( M’) tel que O soit le milieu du segment  MM’ .

Notation :

So :  P  ®  P

      M  a   M  |  O = milieu [MM’]

 

( voir la symétrie de deux nombres relatifs  opposés )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Construction de l’image d’un point

 

 

L’image  du point ( M’) se trouve à l’intersection de la droite ( q  M) et de l’arc de cercle de centre  q   de rayon R =q M

sc1

 

 

3 - Propriétés d’une symétrie centrale :

 

 

 

Symétrie centrale d’une droite :  ( voir :info ++ :  image d’une droite dans une symétrie centrale )

 

 

 

L’image d’une droite  D est une droite D’  telle que D et D’ soient parallèles.

 

Une symétrie centrale conserve l’alignement.

 

      ( aussi peut-on y voir une rotation de 180 °  autour de q)

sc2

 

 

Symétrie centrale d’une distance :

 

 

Une symétrie centrale conserve les distances.

 

Exemple : d ( N,M ) =  d( M’, N)

sc3

 

 

Symétrie centrale du milieu :

 

 

L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment - image.

 

Si M est le milieu du segment AB , alors  M’ est le milieu du segment A’B’

sc4

 

 

Symétrie centrale des  Angles :

 

 

Une symétrie centrale conserve les angles .

sc5

 

 

Cas particulier : le point « A » ,    et « A’ » sont  communs en « O »

 

Les angles opposés :

AC   et  DB  sont opposés par le sommet

sécantangl

Figure : Symétrie centrale d’un triangle

L’image d’un triangle est un  triangle de mêmes dimensions  ( isométrique)

sc7

Figure : Symétrie centrale d’un quadrilatère

                 L’image d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions ( isométriques)

sc6

Figure : cercle ; Symétrie centrale d’un disque

L’image d’un cercle est un cercle de même rayon .

 

L’image d’un disque est un disque de même rayon .

sc8

 

Conclusions : retenons

 

Une symétrie centrale conserve l’alignement ; les longueurs et les angles .

 

Une symétrie centrale conservant  l’alignement ; les longueurs et les angles  , il en résulte que toute figure ( cercle ; triangle , quadrilatère )  à pour image une figure du même type  et de mêmes dimensions , donc de même aire .

 

IMPORTANT :    Une symétrie centrale conserve les aires .

 

 

 

 

(niveau classe 5e)

 

 

 

4 - Le centre de symétrie : Figures géométriques admettant et possédant un centre de symétrie .

Le parallélogramme admet un centre de symétrie , c’est le point d’intersection des diagonales .

csi5

Le rectangle admet un centre de symétrie , c’est le point d’intersection des diagonales

csi4

Le carré  admet un centre de symétrie , c’est le point d’intersection des diagonales

csi

Le losange admet un centre de symétrie , c’est le point d’intersection des diagonales

csi2

 

Le cercle    admet un centre de symétrie, son centre.

(toutes   droites diamétrales sont axes de symétrie)

csi1

 

Informations en complément sur le polygone :

 

Le cercle et le polygone régulier

Quand le nombre des cotés est pair , le centre du polygone est un centre de symétrie

Centre sym fig 2

NOTA:

 

 

Une figure plane qui a deux axes de symétrie perpendiculaires, a aussi un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ces deux axes:

 

 

Exemple:

 

 

doc1orthogonale

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'homme souvent copie la nature .pour rendre plus agréable à l'œil  et plus harmonieux ce qu'il bâtit.

La nature nous donne de nombreux exemples  de symétrie centrale:

 

 

Les cristaux se neige vus au microscope

sym2

La marguerite (voir)

 

Le tournesol   (voir)

 

L'orange ,le citron que nous coupons en deux

sym3

A vous de trouver d'autres exemples!!!!!

Applications : motifs architecturaux  tels les  "quatre feuilles"

 

sym1

symé1

 

Appliquer aux études de fonctions :

Exemple : si l’on observe le tracé de « x3 » ; on constate que

« O » est centre de symétrie

Fxxx

 

 

TRAVAUX AUTO –FORMATIF .

 

CONTROLE

 

1°) Qu’appelle-t-on : symétrie centrale ?

 

2°) Traduire la notation suivante :

Notation :

So :  P  ®  P

      M  a   M  |  O = milieu [MM’]

 

 

3°) Que conserve une  symétrie centrale ? .

 

4°) Quelles sont les figures qui admettent un centre de symétrie ?

 

)Compléter la phrase suivante : ( 5e)

le parallélogramme ; le rectangle ; le carré ; le losange admettent un centre de symétrie qui est le point …………….. 

 

6°) Le cercle  admet un pour centre de symétrie …… ……………..

 

EVALUATION

 

SERIE 1 :

1°) construire le symétrique de M par rapport à "O"

 

sym6

2°) construire le symétrique du segment AB  par rapport à "O"

 

 

 

 

sym5

 

 

3°) Construire le symétrique de  l'angle    par rapport à "O"

sym4

4°) construire le symétrique du polygone ( triangle)    par rapport à "O"

 

 

 

 

 

sym3

5°) construire le symétrique du cercle   par rapport à "O"

 

sym2

SERIE 2

 

 

Exercice N°1

En utilisant le quadrillage , dessiner l’image de la lettre « F » dans la symétrie centrale de centre O.

 

 

 

 

 

 

r10

 

Exercice N°2

En utilisant le quadrillage , dessiner l’image de la figure ci contre et reproduire son image  dans la symétrie centrale de centre I.

 

r11

 

Exercice N°3

Dessiner avec la règle et le compas la symétrie de la figure ci-contre  de centre E

 

r12

Exercice N°4

Dessiner avec la règle et le compas la symétrie de la figure ci-contre  de centre S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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