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Doc revu en avril 2020.

Les triangles quelconques.

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

 

 

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Objectif précédent :  Sphère metallique

Relations métriques dans le triangle rectangle .

Objectif suivant

1°) Suite : relation trigonométrique dans le triangle quelconque…

 

Info Générales :

  1. Pythagore
  2. Géométrie.
  3. Les sinus.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER : LES RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE.

 

 

Vous avez étudier l’objectif précédent ,nous allons élargir , compléter cette étude appliquée aux triangle quelconque…

 

 

 

 

 

1.     Relation de  PYTHAGORE  ( Les vecteurs et la relation de  PYTHAGORE )

 

 

 

 

 

2.    Relation des trois sinus

 

 

                              Aire du triangle : cas 1 et cas 2

 

 

 

 

 

3.    Proportionnalité des longueurs des côtés aux sinus des angles opposés

 

 

 

 

 

4.    Relation avec le rayon du cercle circonscrit .

 

 

 

 

 

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COURS

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Interdisciplinarité

     Voir applications en arpentage .                 

 

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Ces relations trigonométriques dans le triangle quelconque vont permettre  de calculer la longueur  ou la valeur d’un angle

 

 


 

 

COURS

 

 

 

 

 

Relation de  PYTHAGORE : généralisation

 

 

SOS rappels

 

 

 

 

 

1°)  Les vecteurs et la relation de  PYTHAGORE :

 

 

 

 

 

( Relation de Châles )  (info relation de Châles)

 

 

 

 

 

 

On transforme , on peut écrire ( en conservant l’égalité )

 

 

On élève les deux membres au « carré »

 

 

 

on développe le deuxième membre ( et on regroupe les termes ) :

 

 

qcq6

 

 

*lire « produit scalaire »

 

 

 

A propos de

 

 

 

 

 

 …. On remplace dans l’égalité ci-dessus ; pour obtenir :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aussi :

 

 

 

 

 

Si dans un triangle quelconque on désigne  par « a » ; « b » ; « c » les longueurs des côtés opposés aux sommets A ; B ; C

 

Par A ; B  et C  une mesure des angles  ;   et  du triangle , on obtient  ( on écrit)  : 

 

 

 

 

 

 

 

 

Par permutation circulaire nous obtenons les relations suivantes :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

remarque : si l’angle    est droit  ( 90°) , le cosinus   ,

 

on retrouve  la relation de Pythagore du triangle rectangle     

 

 

 

 

 

 

2°) Relation des trois sinus

 

 

 

 

 

a) Calcul de l’  Aire du triangle : cas 1

 

 

 

 

 

 

 

soit  « S »  l’aire du triangle ABC.

 

H  est sur [BC] , donc

            

 

 

-         Dans le triangle rectangle

 

On remarque que :      et que

 

 

 

 

Ce qui permet d’écrire que

 

    et 

 

Aussi dans le calcul de l’aire du triangle « S »  devient :

 

 

AH = c sin B  et  BC = a

Ainsi en remplaçant dans  :

 

devient l’égalité :

 

 

                          

 

qcq3

 

 

 

 

 

 

b)  Aire du triangle : cas 2

 

 

 

 

Le point « H » est extérieur à [BC] , donc :

L’aire du triangle ABC   ( notée : S )  est égale à l’aire du triangle AHC plus l’aire du triangle AHB.

Soit  :           

Nota :

D’ou       

Rappels sur « sinus d’un angle ».

-        

On en déduit que la hauteur     

Ou alors :   

 Et on sait aussi que 

:   :

On peut aussi écrire que

D’où  le calcul suivant de « S »  ( nous en déduisons que …)  :

S est égale à la base par la hauteur divisées par 2 .

En appliquant la démarche ci-dessus :

De même  nous pourrions trouver :

       ; et  

qcq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°)  Proportionnalité des longueurs des côtés aux sinus des angles opposés

 

 

 

 

 

Ci-dessus nous avons montré que nous pouvions trouver « S » de 3 façons différentes.:

 

 

 

qcq5

 

 

Aussi :

  

 

 

 

Après simplification , on en déduit que

 

 

  

 

 

en divisant les membres  de ces égalités par le produit « abc » :nous obtenons la suite d’ égalité suivante :

 

 

 

 

 

 

 

Après simplification :

 

 

 

 

 

 

 

En conclusion on trouvera souvent l’égalité suivante :

 

 

 

 

 

 

 

5°) Relation avec le rayon du cercle circonscrit .

 

 

 

 

 

Soit le cercle circonscrit au triangle ABC .Nous désignons par « O » son centre et par « R » son rayon.

 

 

 

 

 

Nous plaçons sur la circonférence  le point « D »  diamétralement opposé au point « B »

 

Les angles BAC et BDC intercepte la même corde sur le cercle .

Ces angles sont égaux

 

Ces angles sont supplémentaires

 

Les angles BAC et BDC intercepte la même corde sur le cercle

qcq2

 

 

 

 

 

 

Ces angles sont supplémentaires

Les angles BAC et BDC intercepte la même corde sur le cercle

qcq1

 

 

 

Dans les deux cas  le sinus de l’angle BDC ( à noter :  )  est égal au  sinus le l’angle BAC ( à noter :  ) qui est égal au  sinus  de l’angle A ;( à noter :  )

Le triangle BDC est rectangle en C , alors  :

   

En conclusion :

 

 

 

                     Ce chapitre fait souvent l’objet d’un devoir  pour aider à  montrer qu’un triangle est rectangle , que le point « O »  est le milieu de l’ hypoténuse  .