|
|
||
|
La projection orthogonale |
|
|
|
les angles |
|
|
|
Les triangles (égaux, semblables,
homothétiques) |
|
|
|
le triangle rectangle ; |
|
|
|
les triangles rectangles égaux , semblables , homothétiques |
|
|
|
le triangle rectangle et
relations trigonométriques |
||
|
Les systèmes de numération :
décimal et sexagésimal
; (conversion) |
||
|
L'égalité de deux fractions ;
produit en croix ) ; ( |
||
|
Les proportions : égalité d’une
fraction avec un nombre ;( |
|
|
|
Les transformations d’égalités) ;du type : |
||
|
Expression d’un résultat (savoir « arrondir » ) |
||
|
Objectif précédent : Présentation |
Objectif suivant : |
DOSSIER : SINUS d'un angle
|
|
COURS
|
Devoir Contrôle |
INTERdisciplinarité |
|
Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Relation
trigonométrique dans le triangle rectangle : Le SINUS.
a
Le sinus d’un angle :
a
symbole
« sinus » est
« sin »
b’
L’angle
b = l ’angle
b’
b
« a » ; « b » , « c » sont les longueurs des cotés
du triangle rectangle ;
le coté
« c » est le coté opp à l’angle a
le coté
« a » est le coté opp. à l’angle b
c
b
« b » est
l’hypoténuse.
Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles
exprimés en degré )
l
‘ angle « alpha » a
pour symbole : 
l ’
angle « bêta » a
pour symbole : 
L’écriture
« sin » ;lire « sinus de
l’angle alpha »
L’écriture
« sin » lire
« sinus de l’angle bêta »
|
Par définition : Le
sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du
coté opposé sur la longueur de l’hypoténuse. |
Traduction : : sin = 
i Le sinus est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Ce nombre est obtenu en faisant une
division .Cette valeur obtenue par calcul est convertie en degré d’angle à
l’aide d ’une table dite « de
trigonométrie. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a « en
mémoire » cette table.
On
fait donc des conversions de nombres en
degrés ou de degrés en nombres
CONVERSION D ‘ UN « SINUS » ( exprimé en nombre
décimal) en valeur d’ ANGLE ( degré
) ;et inversement :
Il existe deux possibilités pour connaître la valeur d’un angle à partir de son sinus et
inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.
|
avec une table numérique appelée « table de
trigonométrie » |
|
|
avec la calculatrice (voir le livret fourni par le fabriquant ) |
|
I)
Pour les tables @ : lire la
notice d’utilisation
II ) UTILISATION de la
CALCULATRICE :
Mise en marche de la calculatrice AC ; Mettre
en MODE 4 (mode Degré)
Passage de
« Degré » en
« sinus » :
Afficher le
nombre de degrés :
exemple 5 2
Taper sur la touche Sin
Lire sur l ’écran : (valeur du sinus) : 0 , 7880107
Si l’on tape sur : INV
SIN alors s’affiche le Nbre
degrés
Lire sur l’écran : 52
(vérification : tracer un triangle rectangle
dont l’ hypoténuse vaut 100 mm ; le coté opposé vaut 78,8 mm ;
terminer le tracé du triangle , mesurer avec un rapporteur l’angle obtenu par
l’hypoténuse et son coté adjacent …….)
Passage de sinus en degrés (toujours
dans le même mode)
Afficher
la valeur du sinus :
exemple : 0,540
Taper
sur les touches : INV ensuite
SIN
Lire
à l’écran : 32,68363885
Arrondir : 32° ,
68.... ( le
« 68 » correspond a un 
de degré )
le résultat
est exprimé en valeur décimale
Résultat
par encadrement : sinus
32 ° < 0,540
< sinus 33°
Remarques :
Suivant les types de calculatrice vous pouvez
passer d’une expression de la valeur
d’un angle en valeur
« décimale » en une expression
de la valeur de l’angle en valeur « sexagésimale »
.
Ce qui signifie que l’on peut « rentrer »
- en système
sexagésimal 20° 30’
- ou système décimal :
20, 5
Puis avoir la conversion en système sexagésimal , c’est à dire la valeur de l’angle
est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),
Si cela est possible :
Taper :
|
INV |
Et |
° ‘ ‘’ |
Affichage à l’écran :
|
Degré ° |
minute ’ |
seconde ’’ |
i les
affichages sont différents suivant les
calculatrices , les affichages sont
« vrais » suivant les performances d’affichage de la
calculatrice .
Taper : sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale
Exercices :
Nous
travaillons toujours en mode « degré » ,avec
la calculatrice.
1
Cas :
Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître son
sinus :
On
connaît la valeur de l’angle ( en degré ) :
le
sinus est un nombre que l’on obtient en consultant la table numérique sur les sinus des angles.
Exemple :
le sinus de 53° se note sin 53° ; d’après la table numérique (ou avec
l’aide de la calculatrice ) je trouve :
0,800 ;
en
résumé on écrira : sin 53° = 0,800
Autres exemples : sin 54° = 0,809
sin
35° 20’ = 0,578
sin
72° 13’ » 72° 10’ = 0,952
2 Cas :
Quand
on connaît le sinus d’un angle ,on peut connaître l ’ angle concerné par cette valeur
on donne le sinus de l’angle ; alpha vaut
0,8 ;(traduction : Sin a = 0,8 )
trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle
sera obtenue en consultant la
table de « trigo » sur les
sinus ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).
Réponse : si
Sin a = 0,8 alors ;d’après la table numérique a = 53°
Autres exemples :
sin a =
0,857 ; a =
59°
sin x
= 0,433 ;
x = 25 °40’
sin
a =
0,511 ; a =30°
40’
Que ce soit avec la table numérique ou la
calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.
Remarque :à ce niveau
d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table
numérique.
Soit un triangle rectangle :
a b
Traduction mathématique : sin a =
Attention :
le coté opposé et l’hypoténuse sont des grandeurs qui doivent avoir la même unité .
(ce sont des longueurs exprimées soit en mm ;en cm , .....)
Si on applique cette égalité au triangle rectangle ,dessiné
ci-dessus :
sin b = donne
sin b =
( reste à connaître les valeurs de
« a » et « b » pour effectuer le calcul du sinus)
sin a = donc
sin a =
Dans le triangle rectangle : la longueur de
l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du
coté
opposé ; donc dans le rapport « coté opposé sur hypoténuse » ,le nombre
est toujours supérieur à 0
et inférieur à 1.
Traduction : 0
sin.
1
; sinus 0° = 0 ;
sinus 90° = 1
Le modèle mathématique ( l’outil
) du calcul du sinus d’un angle est une division :
exemple :
soit
3 = 
; deux
transformations de cette égalité sont possibles ;
on peut en déduire que
si
3 = alors
6 = 3 
2
ou alors que
2 = 
ainsi à partir de cet exemple (qui est vrai) on peut écrire que si :
sin a =
alors par transformation coté opposé =
sin a
hypoténuse
et que ,toujours ,par
transformation :
hypoténuse = 
Dans un triangle rectangle il est
toujours possible ,si on connaît deux valeurs
numériques sur trois ,de retrouver la troisième par calcul .
APPLICATIONS :
Soit un triangle rectangle :
a
EXERCICE RESOLU N° 1
Calcul
d’un coté dans un triangle
rectangle :
On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92
mm........ et
l’angle a =
...60°..........................
Question :
Calculer la longueur de
« b »
Solution :
1°) On sait
que : sin a = 
on sait ( d’après la
table ou la calculatrice ) que la valeur de sin 60° =
0.866
on sait que l ‘
hypoténuse = 103,92mmm ;
on sait que le coté
opposé s ’ appelle « b »
2°) on remplace dans la formule (1°)
0 ,866 = 
3°) Calcul :
0 ,866
= 
on
transforme : 
On fait le produit en croix : 0,866
103,92 =
b 1
89,999472 = b
Résultat : b = 90 mm (au mm prés
)
EXERCICE RESOLU N° 2
Calcul
d’un coté dans un triangle rectangle :
On donne : longueur du coté opposé à b = 100 mm ........ l’angle b = ...35°
Calculer : la longueur de L’hypoténuse
Corrigé :
sin b = devient : 0,573
= 
Calcul : 
=
0,573
x = 100
1
donc x =
100 : 0,573
x= 174,52
Résultat :
l’hypoténuse à pour longueur : 175 mm
EXERCICE RESOLU N° 3
Calcul
d’un angle dans un triangle rectangle :
Soit un triangle rectangle :
a b
On
donne : l’hypoténuse égale à :.54,83 mm........ ; le coté b = 42 mm
Question :
rechercher l’angle : a
Corrigé :
d’après la relation
sin a =
on remplace les mots par leur valeur : sin a = 
on fait la division : 
=
0,766 004012
sin a = 0,766 004012
On cherche la valeur de l’angle :
d’après la calculatrice a » 49°,9963....
Conclusion a = 50°
( à 0,01 près )
Remarque : si dans un triangle rectangle je connais
deux angles , j’en déduis le troisième
(
somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais
aussi la longueur (ou mesure) d’un coté
, je peux ,en utilisant la relation sur le sinus trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis
du troisième.
Suite de l’exercice N ° 3
L’angle a = 50° ; j’en déduis que l’angle
b = 90 -50 ; l’angle b = 40°
ensuite
j’applique la relation : sin b = ;
soit
sin 40° =
ce qui donne
après transformation :
0,643 54,83 = 35,25569
Donc « a » = 35,26 mm
Récapitulatif de
l’exercice N°3 : Dans un triangle rectangle ;
connaissant deux mesures (La longueur de
l’hypoténuse et la longueur d’un coté du
triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du
triangle :
Avec : (deux mesures) l’hypoténuse égale à :.54,83
mm. ; le coté
b = 42 mm
j’ai
calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a = 50°
;
puis de l’angle b = 90 -50
= 40°
ce qui m’a permis de calculer la valeur de « a » = 35,26 mm
Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .
TRAVAIL à
faire :
Soit un triangle rectangle :
a b
I ) Compléter le
tableau : (
prendre a = 60° )
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
|
b |
|
|
1
,25 |
|
|
sin
a |
|
|
|
|
II ) Compléter le tableau suivant : (
prendre a = 60° )
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
sin
a |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1
m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
sin
a |
|
|
|
|
|
sin
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|
Traduire en langage littéral :
sin a
sin b
Traduire en symbole mathématique :
« sinus de l’angle
alpha »
« sinus de l’angle bêta »
Traduire en langage littéral :
sin a =
Traduire en langage mathématique
« Le sinus d’un angle ; dans un triangle
rectangle ; est égal au rapport de
la longueur du coté
opposé
sur la longueur de l’hypoténuse. »
Compléter la phrase :
Le sinus est un nombre qui n’a pas
................. ;Donnez ses valeurs
limites ; précisez en fonction de l’angle ............
Quand on connaît le sinus d’un angle
...........................................
Quand on connaît la valeur d’un
angle .........................................
*Donnez la définition littérale d’un
« sinus »
(traduire ensuite en langage mathématique)
Compléter le
tableau suivant :
Avec la table :
|
a |
15°
30’ |
27°.. |
45°
30’ |
60° |
77° |
|
sin
a |
|
|
|
|
|
|
Sinus
15° 30’ Sinus
15° = 0,2588 Sinus
16 ° = 0,2756 Moyenne :
( 0,2588 + 0,2756 ) : 2 = 0,2672 |
Avec la calculatrice : au
1 / 1000 prés
|
a |
10,5 |
24,00 |
58,50 |
74° |
82,5° |
|
sin
a |
|
|
|
|
|
Au choix
(calculatrice ou table) ( donner la forme décimale , et éventuellement la
forme sexagésimale si votre calculatrice le permet )
|
sin
a |
0,122 |
0,3826 |
0,6427 |
0,9366 |
0,9945 |
|
a |
|
|
|
|
|
Soit un triangle rectangle :
a b
I
) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
|
|
b |
|
|
1 ,25 |
1,5 |
|
sin a |
|
|
|
|
II
) Compléter
le tableau suivant :
l’angle a = 60°
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
sin a |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau :
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1
m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
sin a |
|
|
0,707 |
|
|
sin b |
|
|
0,707 |
|
|
b |
|
|
45° |
|
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|