DOSSIER : LES RELATIONS entre les éléments d’un TRIANGLE QUELCONQUE. Résolution des triangles quelconques.
CONTROLE :
Citer les 3 relations que l’on utilise pour résoudre les triangles quelconques en trigonométrie
Relation 1 : Règle des sinus :
Relation 2 : a = c cos + b cos
Relation 3 : a² = b² + c² - 2 c b cos
EVALUATION :
Application : On donne deux forces : si F1 = 15 N F 2 = 25 N et L’angle = 45° . 1°) Calculer la valeur de la résultante 2°) Donner la valeur de la direction de la résultante
							On peut établir la relation : R² = F1² + F 2² - 2 F1 ´ F 2 ( - cos ) Exemple : On trouvera : R² = 1380,25 R = 37 ,15 N
a) Valeur de la résultante : On considère par exemple Le triangle OAC : On établit la relation suivante , à partir de ce que nous avons vu précédemment : En remplaçant les segments précédents par leurs valeurs respectives et en remarquant que cos A = - cos O ( angles supplémentaires) , on a finalement : R² = F1² + F 2² - 2 F1 ´ F 2 ( - cos ) R² = F1² + F 2² + 2 F1 ´ F 2 ´ cos ( 1) Si par exemple : si F1² = 15 N F 2 = 25 N et L’angle = 45° . (d ‘après la table : cos 45° =0,707) , on remplace dans (1) On aura : R² = 15 ² + 25 ² + 2 ´ 15 ´ 25 ´ 0 ,707 R² = 225 + 625 + 750 ´ 0 ,707 R² = 850 + 750 ´ 0 ,707 On trouvera : R² = 1380,25 On fait ensuite la racine carrée de R² : R = 37 ,15 N
b) Direction de la résultante : La relation du sinus permet d’autre part de calculer l’inclinaison de la résultante par rapport à l’une quelconque des forces. Le triangle OAC donne en effet : Ou En remplaçant par les valeurs données ou calculées : et d’établir  l’égalité suivante : D ‘après la table (ou la calculatrice) : on trouvera  que le sinus de l’angle AOC = 28°20’ nota : En appliquant la vérification sur la somme des angles d’un triangle , on constatera que l’angle obtus supplément de l’angle AOC ne convient pas .
L’exemple précédent est un exemple de résolution d’un triangle quelconque connaissant deux côtés et l’angle compris . Les différents cas de résolution qui peuvent se présenter dans la pratique sont traités dans les pages suivantes.
Faire Les 4 EXERCICES types :
Premier cas : Résoudre un triangle quelconque dont on connaît un côté « a » et les deux angles adjacents et .
Les données sont : « a » = 83,25 m = 39° 30’ = 58° 20’		Les inconnues sont donc : « b » , « c » , et l’angle A.
Formules de résolution. A = 180° - ( + )
on en tire
Calcul de l’angle  :
= 180° - ( + )			= 180° - (39° 30’+ 58° 20’ )						= 82° 10’
Calcul de « b » : Sin 58° 20’ = 0,851 ; sinus 82° 10’= 0,991
Calcul de « c » : Sin 39° 30’ = 0,636 ; sinus 82° 10’= 0,991
Deuxième cas : Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux côtés « b » et « c » et l’angle .
Les données sont : « b » = 160,60 m « c » = 112 , 90 m = 26° 15		Les inconnues sont donc : « a » =  ? = ? =  ?
Formules de résolution.
a² = b² + c² - 2 c b cos (donnera « a » )
Dont on tire
Calcul de « a » : ( cos 26° 15 ‘ = 0,897) a² = ( 160,60 ) ² + ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´ cos 26° 15’ a² = ( 160,60 ) ² + ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´ 0,897 a² = 38538,77 - 32 528,34 = 6010,43 « a » = 77,50 m
Calcul de sinus de l’angle B pour en déduire l’angle B
Sin 26° 15’ = 0,442 sin = 0,916 On trouve = 66° 20 ‘ ou = 180 ° - 66° 20 ‘ = 113° 40’
Calcul de sinus de l’angle pour en déduire l’angle
sin = 0,644 ; d’où = 40° 5’ ou = 180° - 40° 5’ ; = 139° 55’
On vérifiera que «  + + = 180 ° » Les valeurs de = 66° 20 ‘ et = 139° 55’ sont à rejeter , car elles ne permettent pas de satisfaire à la relation + + = 180 °
Troisième cas : Résoudre un triangle quelconque dont on connaît les trois côtés « a » , « b » et « c » .
Les données sont : « b » =  118 m « c » =  65 ,90 m « a » =  80,55 m		Les inconnues sont donc : = ? =  ? = ?
Formules de résolution :
a² = b² + c² - 2 c b cos de cette formule on tire : 2 c b cos = b² + c² - a² et
trouvé dans la table , on en déduit et par la relation des sinus :
par transformation , on trouvera :
Calculs :
Calcul de l’angle  : pour 0,291 sur la table on lit : 73° 5’ et pour - 0,291 : l’angle = 180° - 73° 5’ = 106 ° 55 ‘ L’angle = 106 ° 55 ‘ pour le calcul de , sur la table on lira le sin = sin 106° 55’ = sin 73° 5’ ; et sinus 73° 5’ = 0,956
Calcul de l’ angle : on utilise la formule
Pour 0,534 l’ angle = 32 ° 17 ‘
Calcul de l’ angle : On utilise la formule
D ‘ après la calculatrice pour 0,653 on trouve l’angle C = 40 ° 45’ Nota : les suppléments des angles B et C ne conviennent pas . (voir vérification avec la somme des angles dans un triangle)
Quatrième cas : (deux exemples seront proposés : le premier débouche sur un ensemble de solutions . Le second exemple débouche sur deux ensembles de solutions possibles)
Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux.
Les données : « a » « b » l’angle A.	Les inconnues sont : L’angle B ; L’angle C « c »
Les formules de résolution sont :
( la valeur en degré de l’angle B s’obtient au moyen de la calculatrice ou d’une table.)
Puis l’angle = 180° - ( + )
Et
Exemple premier : un seul ensemble de solutions :
Exemple numérique : « a » = 95,75m « b » = 70,40 m = 49° 40’
Calcul de l’angle :
d’après la calculatrice : à 0,560 correspond l’angle  : 34°3’
Calcul de l’angle  :
= 180° - ( 49° 40’ + 34° 3’ ) soit = 96° 17’
Calcul de « c » :
Sin 96° 17’ = sin ( 180° - 96° 17’) = sin 83° 43’ (@ info. +) Et sin 83° 43’ = 0,994
le côté c = 124,90 m
Pour sinus B = 0,560 une deuxième valeur de B est 180° - 34° 3’ = 145° 57’. (@ info+)
Mais alors + + > 180° par suite cette deuxième valeur de B ne convient pas , ne répond pas à la question. Avec les données suivantes on peut voir que deux solutions sont acceptables.
Exemple second  : on peut proposer deux ensembles de solutions :
On donne : « a » = 77,95 m ; « b » = 98,10 m et l’angle A = 42°55’
Calcul de l’angle  :
Pour calculer l’angle on a besoin du sinus de l’angle  : sin 42°55’ = 0,681
pour 0,851 , on a ou = 59° ou = 121 ° (soit 2 possibilités)
Calcul de l’angle
2 cas
1°) = 180° - ( + ) avec = 59°
= 180° - ( 42° 55’ + 59 ° ) soit = 78° 5’
2°) = 180° - ( + ) avec = 121°
= 180° - ( 42° 55’ + 121 ° ) soit = 16 ° 5’
On trouve 2 valeurs pour l’angle B et pour l’angle  : Vérifications : Cas 1 : 42° 55’ + 59 ° + 78°5’ = 180° Cas 2 : 42° 55’ + 121° + 16° 5’ = 180°
Calcul de la longueur de « c »
Cas1 : Soit « c » = 112,06 m
Ou deuxième solution :
Cas 2
Soit « c » = 31,70 m
SERIE D’ EXERCICES sans corrigé :
I ) Résoudre un triangle quelconque connaissant :
Triangle 1
« a » = 728,5 m				« b » = ?				« c » = ?
= ?				= 34° 15’				= 58° 25’
Triangle 2
« a » = 164 , 30 m				« b » = ?				« c » = ?
= ?				= 48 ° 13’				= 54 ° 24 ‘
Triangle 3
« a » =				« b » =632 , 8 m				« c » = 340 , 5 m
= 35° 40’				=				=
Triangle 4
« a » =				« b » = 416,10 m				« c » = 802, 4 m
= 68° 24 ‘				=				=
Triangle 5
« a » = 153,20 m				« b » = 90 , 50 m				« c » = 162,30 m
=				=				=
Triangle 6
« a » = 146,15 m				« b » = 162, 25 m				« c » = 180, 75 m
=				=				=
Triangle 7
« a » = 124,75 m				« b » = 156,25 m				« c » =
= 42° 15’				=				=
Triangle 8
« a » = 219,65 m				« b » = 184, 45 m				« c » =
= 65° 25’				=				=
Calculer la hauteur AH d’un triangle ABC dans lequel on a : « a » = 4,25 m ; = 54° 40’ ; = 68°15’
Résoudre un triangle ABC inscrit dans une circonférence de rayon donné « R » = 0,125 m , sachant que les angles = 45° et = 60°
On donne un triangle ABC ; « a » = 2,75 m ; = 64° 30’ ; = 53° 20’ calculer 1°)le rayon « r » du cercle inscrit ; 2°) le rayon ra exinscrit dans l’angle .
INTERDISCIPLINARITE : mécanique.
1°) Un corps est soumis à l’action de deux forces concourantes ,, l’une de 1650 N l’autre de 3250 N . Ces forces font entre elles un angle de 56° 25’ . Calculer la valeur de la résultante des deux forces ainsi que son inclinaison par rapport aux deux composantes.
2° ) On veut remplacer l’action d’une force de 900 N par celles de deux forces ayant même point d’application que la première . L’une des deux forces est connues et vaut 380 N ; l’angle qu’elle fait avec celle de 900N est de 19° 20’ . On demande de calculer l’intensité de la deuxième force ainsi que l’angle des composantes.