DOSSIER : LES RELATIONS entre les éléments  d’un TRIANGLE QUELCONQUE.

Résolution des triangles quelconques.

 

 

CONTROLE :

 

Citer les 3 relations que l’on utilise pour résoudre les triangles quelconques en trigonométrie

 

Relation 1 :           Règle des sinus :

                                              

 

 

 

Relation 2 :                           a =  c cos   +  b  cos

 

 

Relation 3  :                            = b² + c² - 2 c b cos 

 

 

 

EVALUATION :

 

 Application :

On donne deux forces : si F1 =  15 N  F 2 = 25 N  et    L’angle = 45° .

 

1°) Calculer la valeur de la résultante

2°) Donner la valeur de la direction de la résultante

On  peut établir la relation :

 

R² =  F1² + F 2²  -  2  F1 ´ F 2 ( - cos )

 

Exemple :

On trouvera :

    =  1380,25 

  R    =   37 ,15 N

 

a)      Valeur de la résultante :

On considère  par exemple Le triangle OAC :

On établit la relation suivante , à partir de ce que nous avons vu précédemment :

 

En remplaçant les segments précédents par leurs valeurs respectives et en remarquant que    cos A = - cos O  ( angles supplémentaires) , on a finalement :

 

            R² =  F1² + F 2²  -  2  F1 ´ F 2 ( - cos )

 

            R² =  F1² + F 2²  +   2  F1 ´  F 2 ´  cos        ( 1)

 

Si par exemple : si F1² =  15 N  F 2 = 25 N  et     L’angle = 45° .

 

 (d ‘après la table :  cos 45° =0,707)  , on remplace dans (1) 

 

  On aura :           R² =  15 ² + 25 ²  +   2  ´ 15 ´  25 ´  0 ,707 

                            R² =  225   + 625  +   750 ´  0 ,707 

                            R² =  850   +   750 ´  0 ,707 

 

On trouvera :        =  1380,25 

  On fait ensuite la racine carrée  de     :        R =   37 ,15 N

 

 

b)       Direction de la résultante :

La relation du sinus  permet d’autre part de calculer l’inclinaison de la résultante par rapport à l’une  quelconque des forces.

Le triangle OAC donne en effet :

 

Ou                               

 

 

En remplaçant   par les valeurs données ou calculées :

 

et d’établir  l’égalité suivante  :            

                                                    

 

 

D ‘après la table (ou la calculatrice) :

  on trouvera  que le sinus de l’angle AOC = 28°20’

 

nota : En appliquant la vérification sur la somme des angles d’un triangle      , on constatera que l’angle obtus supplément de l’angle AOC ne convient pas .

L’exemple précédent est un exemple de résolution d’un triangle quelconque connaissant deux côtés et l’angle compris . Les différents cas de résolution qui peuvent  se présenter dans la pratique sont traités dans les pages suivantes.

 

 

 

Faire  Les     4    EXERCICES   types :

 

 

Premier cas :

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît un côté « a » et les deux angles adjacents      et  .

 

Les données sont :

 

« a » = 83,25 m

     =  39° 30’

     =  58° 20’

Les inconnues sont donc :

 « b » ,

 « c » ,

et l’angle A.

 

 

Formules de  résolution.

A = 180° - ( +   )

 

 

on en tire 

 

                                    

 

Calcul de l’angle  :

 

 

 = 180° - ( +   )

 

 

  = 180° - (39° 30’+  58° 20’ )

 

 

 =  82° 10’

 

Calcul de « b » :

 

Sin 58° 20’  =  0,851             ;               sinus 82° 10’= 0,991

 

 

Calcul de « c » :

 

Sin 39° 30’ =  0,636   ;               sinus 82° 10’= 0,991

 

 

 

 

 

 

 

 

Deuxième cas :

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux  côtés « b » et « c »  et l’angle   .

 

Les données sont :

 

 « b » =  160,60 m

 « c » =  112 , 90 m

 

   =   26° 15

 

 

 

Les inconnues sont donc :

 « a »     ?

         =   ?

           ?

 

Formules de  résolution.

 

                                         = b² + c² - 2 c b cos     (donnera « a » )

 

 

Dont on tire

 

                                          

 

 

Calcul de « a » :    ( cos 26° 15 ‘ = 0,897)

    =  ( 160,60 ) ² +  ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´  cos 26° 15’

    =  ( 160,60 ) ² +  ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´  0,897 

      =  38538,77 -  32 528,34 = 6010,43

   « a »  =  77,50 m  

 

Calcul de sinus de l’angle  B pour en déduire l’angle B

 

Sin  26° 15’  =  0,442

 

 

sin       = 0,916   

 

  On trouve         =  66° 20 ‘   ou      = 180 ° -  66° 20 ‘   =   113° 40’ 

 

Calcul de sinus de l’angle         pour en déduire l’angle       

 

 

sin   = 0,644      ; d’où         =  40° 5’      ou   = 180° - 40° 5’ ;   = 139° 55’        

 

 

On vérifiera que    «  +   +    =  180 ° »

Les valeurs  de   =  66° 20 ‘   et    = 139° 55’   sont à rejeter , car elles ne permettent pas de satisfaire  à la relation     +   +    =  180 °   

 

 

Troisième  cas :

 

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît  les trois   côtés « a » , « b » et « c »  .

 

Les données sont :

 

 « b » =    118 m

 

« c » =    65 ,90 m

 

« a »     80,55 m

 

 

 

 

Les inconnues sont donc :

         =   ?

    

           ?

 

        =   ?

 

Formules de résolution :

 

 

                                         = b² + c² - 2 c b cos     

de cette formule on tire :

 

                   2 c b  cos   =   b² + c² - a²

 

et                                               

 

 

 

    trouvé  dans la table , on en déduit     et      

 

par la relation des sinus :

 

 

 

par transformation ,  on trouvera :

 

 

         

                                                  

 

 

Calculs :

 

 

Calcul de l’angle  :

 

    

 

pour 0,291     sur  la table  on lit     :    73° 5’

 

et pour - 0,291   : l’angle   = 180° - 73° 5’ =    106 ° 55 ‘

                     

                                                         L’angle   = 106 ° 55 ‘

 

pour le calcul de    ,    sur la table on lira le  sin    = sin 106° 55’  =   sin 73° 5’   ; et sinus 73° 5’ = 0,956

 

 

Calcul  de   l’ angle     :  on utilise la formule

         

 

 

 

 

Pour 0,534                                        l’ angle   =  32 ° 17 ‘

 

 

Calcul  de   l’ angle         : 

 

On utilise la formule

 

 

 

 

 

 

                                                

 

 

D ‘ après la calculatrice  pour  0,653    on trouve         l’angle   C  =   40 ° 45’

 

Nota : les suppléments des angles B et C ne conviennent pas . (voir vérification avec  la somme des angles dans un triangle)

 

 

Quatrième cas :  (deux exemples seront proposés : le premier débouche sur un ensemble de solutions . Le second exemple débouche sur deux ensembles  de solutions  possibles)

 

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux côtés  et l’angle opposé à l’un d’eux.

 

Les données :

 

« a »

« b »

l’angle A.

Les inconnues sont :

 

L’angle B ;

L’angle C

« c »

 

Les formules de résolution sont :

 

 

 

                                          

 

( la valeur en degré de l’angle B  s’obtient au moyen de la calculatrice ou d’une table.)

 

Puis  l’angle    = 180° - ( +   )

 

 

Et        

 

Exemple premier :   un seul  ensemble de solutions :

 

Exemple numérique :

« a »  =  95,75m

« b »  = 70,40 m

  = 49° 40’

 

 

 

 

 

 

 

Calcul de l’angle          :

 

 

d’après la calculatrice :   à 0,560  correspond l’angle            :  34°3’

 

 

 

Calcul de l’angle    :

 

  =  180°  - ( 49° 40’ + 34° 3’ )    soit          =   96° 17’

 

 

 

Calcul de « c » :

 

Sin    96° 17’  =  sin  ( 180° -    96° 17’)  = sin 83° 43’             (@ info.  +)

 

Et   sin 83° 43’  =  0,994

 

 

 

 

le côté c = 124,90 m

 

 

 

 

 

 

Pour sinus B = 0,560  une deuxième valeur de B est 180° - 34° 3’ = 145° 57’. 

(@ info+)

 

Mais  alors           +      +        >  180°  par suite cette deuxième valeur de B ne convient pas , ne répond pas à la question.

Avec les  données suivantes on peut voir que deux solutions sont acceptables. 

 

Exemple second  :   on peut proposer deux  ensembles  de solutions :

 

 

 

On donne :   « a » = 77,95 m ; « b » = 98,10 m et l’angle A = 42°55’

 

 

 

Calcul de l’angle       :

 

 

Pour calculer l’angle   on a besoin du sinus de l’angle  :  sin 42°55’ =  0,681

 

pour  0,851  ,  on  a  ou       =  59°      ou       = 121 °   (soit 2 possibilités)

 

Calcul de l’angle   

 

2 cas

 

1°)    = 180° - ( +   )    avec     =  59°  

 

  =  180°  - ( 42° 55’ + 59 ° )    soit          =   78° 5’

 

2°)   = 180° - ( +   )    avec     =  121°

 

  =  180°  - ( 42° 55’ + 121  ° )    soit          =   16 ° 5’

 

 

 

On trouve 2 valeurs pour l’angle B et pour l’angle    :

Vérifications :

 

Cas 1 :   42° 55’  + 59 ° + 78°5’  =  180°

Cas 2 :   42° 55’ + 121° + 16° 5’  = 180°

 

 

Calcul de la longueur de   « c »

 

 

Cas1 : 

                       

 

Soit  « c » = 112,06 m

 

Ou  deuxième solution :

 

Cas 2

                       

 

 

 

Soit  « c » = 31,70 m

 

 

 

SERIE D’ EXERCICES  sans corrigé :

 

 

 

I )   Résoudre un triangle quelconque connaissant :

 

Triangle 1

 

« a » =  728,5 m

 

« b » = ?

« c » = ?

 

= ?

      = 34° 15’ 

       = 58° 25’

 

 

 

Triangle 2

 

« a » =   164 , 30 m 

 

« b » = ?

« c » = ?

 

=   ?

      =   48 ° 13’

       =  54 ° 24 ‘

 

Triangle 3

 

« a » =

 

« b » =632 , 8 m

« c » =  340 , 5 m

 

=  35° 40’

      =  

       =

 

Triangle 4

 

« a » =

 

« b » = 416,10 m

« c » =  802, 4 m

 

   =  68° 24 ‘

      =  

       =

 

Triangle 5

 

   « a » = 153,20 m

 

« b » = 90 , 50 m

« c » = 162,30 m

 

      =

      =  

       =

 

Triangle 6

 

« a » = 146,15 m

 

« b » = 162, 25 m

« c » = 180, 75 m

 

    =

      =  

       =

 

Triangle 7

 

« a » =  124,75 m

 

« b » =  156,25 m

« c » = 

 

    = 42° 15’

      =  

       =

 

Triangle 8

 

« a » =  219,65 m

 

« b » = 184, 45 m

« c » =

 

    =  65° 25’

      =   

       =

 

 

 

 

 

Calculer la hauteur AH  d’un triangle ABC dans lequel on a :

« a » = 4,25 m ;   =   54° 40’   ;   = 68°15’

 

 

 

Résoudre un triangle ABC inscrit dans une circonférence de rayon donné « R » = 0,125 m , sachant que les angles       =   45°  et   = 60°

 

 

 

On donne un triangle ABC ;

« a » = 2,75 m ;   =   64° 30’   ;   = 53° 20’

 

calculer

1°)le  rayon « r » du cercle inscrit ;

2°) le rayon ra   exinscrit dans l’angle  .

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :  mécanique.

 

1°) Un corps est soumis  à l’action de deux forces concourantes ,, l’une de 1650 N l’autre  de 3250 N . Ces forces font entre elles  un angle  de 56° 25’ .

Calculer la  valeur de la  résultante des deux forces ainsi que son inclinaison par rapport aux deux composantes.

 

 

 

2° )  On veut remplacer l’action d’une force de 900 N  par celles de deux forces ayant même point d’application que la première .
L’une des deux forces est connues et vaut 380 N ; l’angle qu’elle fait avec celle de 900N est de 19° 20’ . On demande de calculer l’intensité de la deuxième force ainsi que l’angle des composantes.