Pré requis:

Soustraction de deux nombres relatifs

 

BIPOINT   

 

Repère d’une droite

 

Mesure algébrique d’un bipoint

Vecteurs : Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths.

Objectif précédent :

-Mesure algébrique d’un bipoint   Sphère metallique

Objectif suivant :

-Distance d’un bipoint Sphère metallique

 >>>>   LES VECTEURS….

 

DOSSIER  LA  RELATION DE CHASLES  (sur une droite graduée)

 

 

 

 

-      Théorème 1 :  (Il existe six cas possibles )

 

 

 

-      Théorème 2 :

 

 

 

-      Exemples de calculs.

 

 

 

-      Relation de CHASLES  appliquées aux mesures algébriques de plusieurs bipoints sur une droite graduée.

 

 

 

-      RESUME :  vecteur , mesure algébrique d’un vecteur,……

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

INFO.

 

CHASLES  Michel ( 1793 –1880)

 

Auteur d’importants travaux de géométrie , il est surtout connu grâce à la relation qu’il a établi et qui porte son nom :

 

·              Quels que soient  les trois points  ( A ; B ; C) d’une droite :    

 

·              Quels que soient les trois points ( A ; B ; C) du plan ;    

 

 

Info +++ ::: Boule verte

 

Il a enseigné la géodésie (Science qui s’intéresse à la forme et aux dimensions de la terre )à l’ Ecole polytechnique  .

Ensuite il a occupé  une chaire de géométrie supérieure  à la Sorbonne.

 

 

Théorème 1 :

 

La  mesure algébrique de la somme de deux vecteurs consécutifs portés par un même axe est égale à la somme des mesures algébriques de ces vecteurs.

 

Il s’agit de montrer que l’égalité vectorielle         entraîne l’égalité    

 

Connue sous le nom  de relation de Chasles

 

Il existe six cas possibles :

 

Cas 1

 

A

 

B

 

C

 
 

 

 


Cas 2

 

C

 

A

 

B

 
 

 


Cas 3

 

B

 

C

 

A

 
 

 

 


Cas 4

 

C

 

B

 

A

 
 

 


Cas 5

 

C

 

A

 

B

 
 

 


Cas 6

 

B

 

A

 

C

 
 

 

 

 


Pour le cas « 5 » on a ,

 

par exemple ,            ;           

 

D’où en transposant :         

 

Remarque : il faut trois égalités arithmétiques pour traduire , selon les cas , la position relative de trois points A ; B ; C en ligne droite

 

AC = AB +BC ;   AC = AB – BC    ; ou  ;  AC = BC – AB

 

 

Au contraire : la relation de Châles est générale  et est indépendante du sens de l’axe .

 

Si M , N et P , on a toujours   

 

; ( intercaler la lettre N entre M et P qui figurent au premier membre) quel que soit le sens suivant lequel la droite MP est orientée .

 

Généralisation :

 

                  La relation de Chasles se généralise pour un nombre quelconque de vecteurs consécutifs . Si A ; B ; C ; et  D sont alignés .

 

On a :

 

 

 

 

 

 

 


         

 

D’ où :                            

 

Théorème 2 :

 

 

la  mesure algébrique d’un vecteur porté par un axe est égale à l’abscisse de son extrémité  , diminuée de l’abscisse de son origine .

 

 

                                      Nous appliquons la formule de Chasles  aux trois points O , A et B

 

      

 

d’où     

 

                                       si nous désignons par « a » et « b » les abscisses  de  A et de B ; nous obtenons

                   = b – a

 

 

 

 

Exemple de calculs.

 

 

Exemple 1 :

 

 

O

 

A

 

B

 

+2

 

+5

 
 

 

 

 

 

 


    = b – a ;   a =  + 2 ;  b = + 5   ;                      = ( + 5 )  - (+2) = +3

 

 

Exemple 2 :

 

 

B

 

O

 

A

 

- 1

 

+4

 
 

 

 

 

 

 


  = b – a ;   a =  + 4 ;  b = -1    ;                      = ( -1 )  - (+4) = -5

 

 

Relation de CHASLES  appliquées aux mesures algébriques de plusieurs bipoints sur une droite graduée.

 

 

Quels que soient  les trois points  ( A ; B ; C) d’une droite ;                    

Les bipoints  (A, B) et (B,C ) sont appelés  bipoints consécutifs .

 

On dira que :

 

La mesure algébrique  de la somme de deux segments  consécutifs est égale à la somme des deux mesures algébriques de ces segments .

 

Soit une droite :

 

 

Zone de Texte: A(+3,5)
 

 

 

 


RESUME :

 

@ info

Vecteurs

 

 

On appelle « vecteur » un segment de droite orientée. ; …………….. Exemple : 

 

On  représente un vecteur AB par la notation :        ; « A » est  l’origine du vecteur et « B »  son extrémité.

 

 

@ info

Mesure algébrique d’un vecteur .

 

 

On appelle « mesure algébrique » d’un vecteur porté sur un axe le nombre qui a:

 

1°)  pour valeur absolue le nombre qui mesure la longueur du vecteur.

2°) pour signe « + » ou « -»  suivant que pour aller de l’origine à l’extrémité du vecteur on se dirige dans le sens positif ou dans le sens négatif  sur l’axe.

 

 

La mesure algébrique d’un vecteur  porté sur un axe se représente par la notation :  

 

 

« Relation de Chasles »

 

 

Etant donnés trois points « A » ; « B » et « C » sur un axe , quelles que soit les positions de ces points on a : 

 

 

 

 

 

Enoncé équivalent : la mesure algébrique d’un vecteur porté sur un axe est égale à l’abscisse de son extrémité diminuée de l’abscisse de son origine.

 

 

  

 Remarque : (  )

 

Application : l’abscisse du milieu d’un segment porté par un axe est égale à la demi - somme des abscisses des extrémités du segment.

 

Généralisation :  Soient « n » points « A ; B ; C ; ….H ; K ;L » d’un axe. En procédant de proche en proche on peut écrire : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

APPLICATIONS  de   la relation de Chasles :

 

 

Pour chaque cas : cliquer sur le groupe de mots « pour voir »

 

I )   Abscisse  du milieu d’un segment

 

 

II )    Le traité vectoriel du centre de gravité d’un triangle

 

 

III )   Somme de deux vecteurs colinéaires opposés

 

 


 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

CONTROLE

1.     Qu'appelle t on  "mesure"

2.     Qu'appelle t on  "longueur "

3.     Qu'appelle t on  "distance"

4.     Pour quoi est utilisée la  mesure algébrique ?

5.     Compléter les  phrases suivantes :

6.     la mesure algébrique d ‘ un bipoint   est ……………… ,

 

 

7.     La distance entre deux points   …………………………………

8.     La longueur  entre deux points   …………………………………..

9.     On dit que la mesure algébrique est une valeur relative : quelle est le rôle des  éléments qui composent cette valeur relative ?

 

 

10.                       Traduire en langage  littéral :   xE  - xO =

 

 

11.                       Traduire en langage mathématique :

12.                       La mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine B et d ’extrémité A ) est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité A   moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint B.

 

13.                       Donnez la procédure pour calculer la mesure algébrique d' un bipoint :

 

EVALUATION :

 

Exercice n° 1:Enoncé :

 

          Calculer       ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (+5)

 

Donner les deux solutions :graphique  et par le calcul.

 

Deuxième exercice:

 

Enoncé :    Calculer        ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (-5)

Donner les deux solutions : graphique  et par le calcul.

 

 

 

 

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