DOSSIER :LES
UNITES d’ ANGLES
II ) les trois
unités de mesure d’un angle :
III
) CHANGEMENT D’ UNITE
« degré ; grade »
et correspondances avec le « radian »
IV) Equivalence
d’unité « degré ; grade »
et correspondances
avec le « radian »
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TEST |
COURS |
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Corrigé évaluation |
Un
angle est une grandeur :
(une grandeur : C’est
un nombre associé à une unité)
I )
La loi du 14 janvier 1948 fixe pour unité légale de mesure d’angle l’angle droit ,
ainsi défini :
« Angle droit : est un
angle formé par deux droites se coupant
sous des angles adjacents égaux , il se représente sous le symbole « D » . »
Il y a deux séries de sous multiples usuels légaux
de l’angle droit :
1°) le grade
le grade ( gr), qui vaut 1/100 de D ;
le décigrade
( dgr) , qui vaut 1/1 000 de D ;
le centigrade ( cgr) , qui vaut 1 / 10 000 de
D est désigné par « ‘ »
le milligrade
( mgr) , qui vaut 1/100 000 de D
En outre , bien que ce ne soit pas légal , on
utilise pratiquement la seconde
centésimale qui vaut 1/ 1 000 000 de D.
est désigné par « ‘‘ »
2°) le degré
le degré ( d
ou ° ) , qui vaut 1/90 de D
la minute d’angle , ou « minute
sexagésimale » , qui vaut 1/60 D et désigné par « ’ »
la seconde
d’angle , ou « seconde sexagésimale » , qui vaut 1/60 de minute est
désigné par « ’’ »
II ) Il y a trois
unités de mesure d’un angle :
Les
unités de mesure d’un angle sont :
Il
y a une « Relation » entre le cercle et la mesure d’un angle:
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Le
découpage du cercle en "morceaux" d 'arc , (en portions de tarte
pour le disque) est à l ' origine de l ' unité de mesure de l ' angle . |
Remarque : Pour mesurer un angle on additionne
des « arcs de cercles » appelés « degré » ou « grade » ,mais
on ne mesure pas des longueurs de cercle.
1°)le degré (utilise comme système de numération , le
système sexagésimal)
L’outil de
mesure est un rapporteur
(cercle gradué en degré ); le cercle est découpé en 360 parties d'arcs
égaux . L'angle droit mesure 90 degrés .
Cliquer ici :
INFORMATION : table des sinus ; cosinus ; …..
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Pour
en savoir plus : les
conversions et
les opérations .
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Pratiquement , le degré est employé pour toutes les
mesures astronomiques , ainsi que pour la navigation maritime et aérienne,
parce que des rapports simples existent entre les mesures de temps et les
mesures en degrés ( 1 h correspond à
15°)
2°) le grade (utilise comme système de numération , le système
décimal)
L’outil de mesure est un rapporteur (cercle gradué en grades);le cercle est
découpé en 400 parties d'arcs égaux . L'angle droit mesure 100 grades.
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Pour
en savoir plus : |
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Pratiquement
,pour toutes les opérations
topographiques , on utilise le grade et ses sous –multiples. |
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Cliquer ici : INFORMATION : table des sinus ; cosinus ; …..
3° le
radian : (symbole rad )
Par définition : le radian ( symbole rad.) est
l’angle au centre qui intercepte sur une circonférence un arc égal au rayon.
AB = rayon
OA = R
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c’est l’unité utilisée en
sciences , en mécanique , pour l’étude des mouvements de rotation . |
Cliquer ici :
INFORMATION N°1 : table des sinus ; cosinus ; de
degré et Radian…..
Cliquer ici :
INFORMATION N°2 : table des sinus ; cosinus ; de grade et Radian…..
L’outil de mesure est un rapporteur
(cercle gradué en radian); le cercle est découpé en 2 p radian . L'angle droit mesure 
radian
le «2 p » est obtenu en calculant
la circonférence du cercle de rayon valant « 1 »
(calcul
de la circonférence du cercle = 2 p R ; si R vaut 1 ; nous obtenons 2 p
= 2 p
)
Pratiquement le radian
est utilisé en sciences physiques,
notamment dans les études mettant en jeu les mouvements circulaires et
précisément dans les calculs qui font intervenir des vitesses angulaires..
Il est commode, en mécanique’ d’utiliser comme
unité d’angle, non pas le degré ou le grade, mais le radian.
Ainsi :
►un
point lié tournant autour d’un point (centre) parcours une distance de 2 pi
radian ( on dit aussi que le point il a
décrit un arc de 2 π .
radians )
► et
on dit que la droite liant le centre à ce point à balayée un angle de 360° .
(par exemple : voir les cadrans de radar des aiguilleurs du ciel , qui
guident les avions) .
Si on considère que « pi = 3,14 » .
►
Donc on écrit que par équivalence que 2 π
. « radians » = 360°
► Si
2 π .
« radians » = 360° ;
alors π .radian =
180°
►
Pour « calculer la longueur »
ou « la distance parcourue »
par ce point , et à condition que l’on connaisse la valeur du rayon du
cercle (R ) , on remplacera « pi » par « 3,14 » ce qui nous donnera la formule (déjà
connue) = 2 fois 3,14 fois R = 6,28
R
III ) CHANGEMENT D’ UNITE « degré ;
grade » et correspondances avec le « radian »
On passe d’un système à l’autre en tenant compte de
l’égalité fondamentale : 400 grades = 360 degrés.
Il en résulte que 9 degrés (= 32 400’’) = 10 grades
A) Première application : transformer des
degrés en grades
Exemple : transformer en grades 16°
21’ 27’’
Nous exprimons ( conversion) en
secondes la mesure de l’angle afin d’obtenir un nombre entier .
Nous avons :
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Conversion des degrés en secondes |
16° = 3600’’ |
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Conversion des minutes en secondes |
21’ = 60’’ |
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Nombres de secondes « seules » |
27’’ |
|
Total : 16° 21’ 27’’ = 58887’’ |
|
Nous savons que 9° = 32400’’ , ou à 10 gr.
La réponse demandée est obtenue en faisant la règle
de trois :
=18,185 gr.
A) Première
application : transformer des grades en degrés .
Exemple : transformer en degré , minutes et
secondes 43,75 gr.
La réponse est obtenue sous « forme
décimale » en effectuant la règle de trois
A partir de 
D’ou x = 
39°,375
Nous devons transformer
en minutes et secondes la
partie décimale
de ce résultat :
0°,375 = 60’
0,375 = 22’,50
0,50 = 60’’0,5 = 30’’
d’où le résultat suivant : 43,75 gr. = 39°
22’ 20’’
IV) Equivalence
d’unité « degré ;
grade » et correspondances avec le « radian »
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Degrés |
Grade |
Radian |
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400 grades |
2p |
1 tour |
|
|
180° |
200
grades |
p |
½
tour |
|
90° |
100
grades |
|
¼
tour |
|
45° |
50
grades |
|
1/8
tour |
|
30° = |
|
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1/12
tour |
|
120°
= 90° + 30° |
100+ |
|
¼
tour + 1/12 tour = 1/3
tour |
|
135°
= 90° + 45 ° |
100
+ 50 = 150 |
|
¼
tour +1/8 tour = 3/8
tour |
TRAVAUX AUTO- FORMATIFS.
CONTROLE
1°) Combien y a -t- il d ’ unités de mesure d’un angle ?
2°)Nommer les trois unités
d ’ angle .
3°) Qu’est ce qu’un
degré ? (représenter son symbole mathématique)
4°) Qu’est ce qu’une
minute ? (représenter son symbole mathématique)
5°) Qu’est ce qu’une
seconde ? (représenter son symbole mathématique)
6°)Comment appelle t- on
l’instrument de mesure d’un angle ? (quel est sa précision ?)
7°) traduire : l ‘ écriture : BAC
1°)
Tracer un angle de : 36° ; 50
grades ; 
; ; 
2°)
Tracer un angle de : 75°
3°)
Tracer un angle de : 120°
4°
) Tracer un angle de : 215°
5° ) COMPLETER le tableau suivant :
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Degrés |
Grade |
Radian |
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360° |
400
grades |
2p |
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90° |
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45° |
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30° = |
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120°
= 90° + 30° |
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135°
= 90° + 45 ° |
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6°)
Tracer un angle de : ; ;
COMPLETER le tableau suivant :
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Grade |
Degrés |
Radian |
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400
grades |
360° |
2p |
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200
grades |
|
|
|
100
grades |
|
|
|
50
grades |
|
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|
|
100+ |
|
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100
+ 50 = 150 |
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COMPLETER le tableau suivant :
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Radian |
Degrés |
Grade |
|
2p |
360° |
400
grades |
|
p |
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