Pré requis:

)Le secteur circulaire

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Les Statistiques  info

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Cours niveau 6 : vocabulaire utilisé en statistique

 

Cours collège 5ème : le pourcentage et le diagramme semi-circulaire.

 

Représentation graphique d’un pourcentage

 

Le rapporteur (360°)

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   «  warmaths »

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Tracer un cercle

2°)  les graphiques (inventaires)

)Le secteur circulaire

4°) Circonférence et le calcul de la longueur d’un arc.

5°) découverte du diagramme circulaire en 6ème collège.

Objectif suivant :

1°)Statistique présentation    Sphère metallique

2°) Les statistiques : cours niveau 5 _ 4

 INFO ++

Liste des cours

DOSSIER :

 Les diagrammes "à secteurs circulaires"

Et construction et interprétation d’un diagramme circulaire.

 

 

 

 

 

 

 

 

I   )   Le diagramme à secteurs circulaires .

 

 

II   )   Le diagramme à secteurs semi-circulaires .

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

 

 

TEST 1:   FilesOfficeverte

Tests 2 « pré requis » .

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

Les diagrammes circulaires  ou « à secteur circulaire »

 

COURS

 

 

I   )   Le diagramme à secteurs circulaires .

 

 

 

Un diagramme circulaire admet pour support un disque découpé en secteurs dont les aires sont proportionnelles aux pourcentages des différents constituants de la population statistique .

 

 

Dans un diagramme circulaire ( ou semi circulaire) , les mesures  des angles des secteurs angulaires sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences) associé(e)s.

 

Une fréquence de 100% correspond à un angle de 360° pour un diagramme circulaire  et à 180 ° pour un diagramme semi circulaire .

 

 

Les informations suivantes sont tirées d’une  étiquette d’un fromage allégé

 

 

Quelle analyse pouvez-vous en tirer ?

dia6

 

Secteurs angulaires et pourcentages:

 

Activités :

1°) Vérifier que la somme des pourcentages est égale à 100%.

 

2°) Avec un rapporteur mesurer les secteurs angulaires , vérifier que la somme de ces secteurs est égale à 360° 

dis2

 

TRACER d'un diagramme à secteurs circulaires: 

 

1°) Dans un diagramme circulaire on partage un disque en secteurs  dont la mesure de l'angle au centre est proportionnelle à l'effectif de la valeur correspondante du caractère . ( n )

 2°) Le diagramme à secteurs circulaires est utilisé pour représenter graphiquement un caractère qualitatif  ou quantitatif .

 

 

Remarque : la représentation graphique d'un caractère  qualitatif peut être aussi un diagramme "bâtons".

 

Les mesures des angles au centre des secteurs sont proportionnelles aux effectifs correspondants.

Un angle de 360° correspond à l'effectifs total :  N

A un effectif partiel "n" correspond un angle  de :

 

 

a  = 

sta4

Activité 1  :

Ce diagramme  représente les dépenses d’un jeune salarié , en pourcentage .

Avec un rapporteur mesurer les secteurs angulaires , traduisez en pourcentage chaque dépense .

 

Se souvenir que les 360° représentent 100% des dépenses.

 

Un secteur angulaire d'une valeur de 1° représente un  %  de ;

 

 

Pour  un angle de a °:

 le secteur angulaire de a ° représentera un %  de:

  ou 

dis1

 

Domaine

Valeur angulaire

Logement

Alimentation

Culture - loisirs

Habillement

Equipement du logement

Impôts

Hygiène - santé

Transport .

 =             60°

= ……………………………………..

 = …………………………………

= ………………………………………..

= ………………………………………..

=…………………………………………

= …………………………………………

=……………………………………….

Total :

 = ………………………………………….

Exemple : quel est  le pourcentage  réservé au logement  ?

 Le secteur angulaire "logement" est de 60° ; ce secteur représente » 16,7

soit le logement représente une dépense de  16,7% du budget total .

 

Activité  2  :

 

Exemple :

 On veut construire un diagramme circulaire ; on demande de calculer   ( de déterminer) les valeurs angulaires  (en degré) pour chaque partie composant le budget .

On nous dit que   le budget de la France en 1969 correspond à 171,5 milliards de francs.

Ce budget est réparti ainsi :

  • 45,9  pour l’ action économique
  • 34 pour l’ éducation
  • 29,4 pour la défense
  • 25,2 pour  l ‘ action sociale
  • 17 pour l’administration générale
  • 6,8 pour l’ habitation
  • 13,1 pour le « divers »

 

Solution :

 

Remarque : le point  d’un  cercle qui balaye un arc de 360 ° (soit qui fait  un tour ) représente    les  171,5 milliards de francs 

 

On calcule  la  valeur  angulaire  qui concernera chaque part du budget  :

 

 

 

 

 

 

 

Il suffit de tracer un cercle , et d’additionner   les secteurs angulaires.

 

  Ce qui a donné le  découpage du disque  suivant :

dia8

 

 

 

Activité 3  :

Traduire en pourcentage les catégories d’ages d’une classe de même section.

Solution :

1°)   mesurer les secteurs angulaires.

  • A 10 ans  correspond 25°
  • A 12 ans  correspond 120°
  • A 11ans correspond  360 - (120 +25) = 215°

2°)  Pour chaque catégorie d'âge  appliquer la relation :

  • 10 ans :  »        6,9%

 

-      11ans: »       59,7 %

 

-      12 ans : =    33,4 %

-       

commentaire :dans la  section  il y a 6,9 % d'enfants de 10 ans ; 59,7 % d'enfants de 11 ans et 33,4 % d'enfants de  12 ans .

 

dis3

Autre exemple de situation problème  sur les  « diagrammes circulaires » ou « le diagramme à secteurs circulaires ».

 

   Application et construction d’un diagramme circulaire

Exemple :

Le budget de la France en 1969 correspond à 171,5 milliards de francs.

Il est réparti ainsi :

45,9 milliards pour l’ action économique

34 milliards  pour l’ éducation

29,4  milliards  pour la défense

25,2  milliards pour  l ‘ action sociale

17   milliards pour l’administration générale

6,8  milliards pour l’ habitation

13,1  milliards pour le « divers »

Question : exprimez en pourcentage ces répartitions.

dia8

 

Réponse : Calculs permettant d'exprimer en pourcentages  ces répartitions :

Se souvenir que :

Se souvenir que les 360° représentent 100% des dépenses.

 

Un secteur angulaire d'une valeur de 1° représente un  a%  de ;  

 

Pour  un angle de a °: le secteur angulaire de a ° représentera un %  de:   a% =     ou  a % = 

 

Calculs permettant d'exprimer en pourcentages  ces répartitions :

 

45,9  pour l’ action économique

»  26,8

34 pour l’ éducation

 

»  19,8

29,4 pour la défense

»  17,2

25,2 pour  l ‘ action sociale

»  14,7

17 pour l’administration générale

»  9,9

6,8 pour l’ habitation

»  4

13,1 pour le « divers »

»  7,6

 

 

 

 

Inversement : On connaît  la répartition en   pourcentage .A partir de ces données ; on veut tracer un diagramme  (à secteurs)  circulaire .On désire connaître les valeurs des angles  en grade

 ( on peut poser la même question ,mais  on chercherait des valeurs des angles en degrés)

 

Résolution 1    :  Comme 100 % correspond au disque entier soit 400 grades , il en résulte que 1 % sera représenté par 4 grades . Sur le  diagramme circulaire ; on a tracé des secteurs angulaires dont les angles au centre , ont pour valeur :

On utilisera la relation    :

a (grade)=  4 a %   

 

 

A « a% »

26,8

19,8

17,2

14,7

9,9

4

7,6

Correspond l’angle en gr. :

107,2

79,2

68,8

58,8

39,6

16

30,4

 

Il est possible de calculer l'angle d'un secteur angulaire ( en grade)  d'une composante en utilisant la relation:

 

 

a (grade) =        ou "n" est la valeur d'une composante et "N" la somme des valeurs des composantes.

 

Résolution 2     :  Comme 100 % correspond au disque entier soit 360 ° , il en résulte que 1 % sera représenté par 3,6°  degré  . Sur le  diagramme circulaire ; on a tracé des secteurs angulaires dont les angles au centre , ont pour valeur :

On utilisera la relation    :

a (degré)=  3,6  a %   

 

 

A « a% »

26,8

19,8

17,2

14,7

9,9

4

7,6

Correspond l’angle en degré . :

96,48°

 

 

 

 

           14,4  °

 

 

Il est possible de calculer l'angle d'un secteur angulaire ( en grade)  d'une composante en utilisant la relation:

 

 

     ou "n" est la valeur d'une composante et "N" la somme des valeurs des composantes.

 

 

 

 

 

II   )   Le diagramme semi-circulaire .

 

 

 

Faites un diagramme « semi-circulaire » .

Pour cela, utilisez le demi-disque ci-contre .

 

Vous partagez ce demi-disque en 5 secteurs.

           Les angles de ces secteurs sont proportionnels aux nombres de députés . ( ou aux pourcentages).

            Le demi-disque représente les « 450 » députés , il correspond à « 180° ».

            Commencez par calculer l’angle de chacun des secteurs ( Complétez le tableau).

 

geometrie_espace_corrige_exo031

 

 

Exemple : le parti rouge représente les 12% de l’assemblée nationale.

L’angle du secteur le représentant est donc 

 

 

Après avoir dessiné les secteurs , vous pouvez les colorier………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVITE complémentaire :

 

N°1    SOS Cours : Diagramme circulaire.

 

Voici la répartition de notes dans une classe de 25 élèves :

 

Notes « x » telles que :

5 < x

5 £ x < 10

10 £ x < 15

15 £ x

Fréquences de ces notes

8%

20 %

48 %

24%

 

 

 

a) Combien d’élève ont une note comprise entre 10 et 15 ?

Réponse : 12  = 25 fois 0,48

évaKcercle

b) Combien d’élève ont au moins   une note 10 ?

réponse : 25 fois ( 0,48 + 0,24) = 18

c) Combien d’élèves ont moins de 15 ?

réponse : 19

25 fois  ( 0,08 + 0,2+0,48) = 19

d) Représente les indications du tableau par un diagramme circulaire.

(utiliser le cercle tracé dans le cadre ci contre)

 

 Tracer des secteurs angulaires et le diagramme est renseigné.

0 à 5 exclu : 360 fois 8 divisé par 100 = 28°8

5 inclus à 10 exclu :   3,6 fois 20 = 72°

10 inclus à 15 exclu :3,6 fois 48 = 172,8 °

15  et au dessus de 15 : 3,6 fois 24°= 86,4°

la somme des secteurs = 360°

 

N°2 :   SOS Cours :sur les intérêts composés.

 

Un commerçant applique aux prix marqués deux remises successives de 10% et 5 %.

Par quel nombre doit -on multiplier les prix marqués pour obtenir les prix payés par le client après application des deux remises ?

Démarche : 0,90 fois  0,95  = 0,855

On peut obtenir ce nombre à partir de prix marqué , ou autre démarche.

Prix à payer = [(100 - 10)/ 100] fois le prix remisé  fois [(100 - 5 ) /100]

 

 

N°3 : SOS Cours :sur les intérêts composés.

 

On place un capital  de 6 000 € à intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 4,5% .

Calculer l’intérêt à terme  produit par ce capital.

 

En utilisant la formule  on doit trouver : 846,99 € ou 847 €

 

N°4

 

Un touriste se rend dans un pays étranger (D. E). Il emporte   500 devises de ce pays ( D .E) acheté en France et il échange  1  000 €  dans ce pays (D.E) . Au retour , il lui reste  85 D.E qu’il reconvertit en € en France. 

 

Questions :

1°) Quel est le montant de ses dépenses en D.E

2°)Quel est le montant de ses dépenses en €

 

 

Cours en France

Cours en D.E

 

La banque achète ……

100 D.E : 340 €

100 € :28,50 D.E

 

La banque vend …….

100 D.E : 346 €

100 € : 30,60 D.E

 

 

 

Réponse :

Change  des 1000 € :  285 D.E

Change des 500 D.E =  1730 €   ( 346 fois 5 )

Cange des  85 D.E en € :  289 € ( 3,40 fois 85 )

Dépense en D.E : 700 D.E

Dépense en € :  2 441 €

 

 

 

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS   CO

 

CONTROLE :

Compétez les phrases suivantes :

 

Un diagramme circulaire admet pour support un disque découpé en secteurs dont les aires sont proportionnelles aux pourcentages des différents constituants de la population statistique .

 

 

Dans un diagramme circulaire ( ou semi circulaire) , les mesures  des angles des secteurs angulaires sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences) associé(e)s.

 

Une fréquence de 100% correspond à un angle de 360° pour un diagramme circulaire  et à 180 ° pour un diagramme semi circulaire .

 

 

 

EVALUATION

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

1°) le diagramme ci - dessous donne la répartition de la de la population mondiale par grandes zones en 1994.

sta11

a : mesurer les angles des  différents secteurs et compléter  la 2ème colonne du tableau suivant .

b: sachant qu'un angle de 10 ° correspond à 150 millions d'habitants , déterminer la population de chaque secteur .

 

 

c: Compléter le tableau :

 

 

Zone d'habitation

Angle  du secteur

Population  ( millions d'habitants)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Total

360°

 

 

 

 

 

 

2°) le budget  d’un jeune salarié

 

Dans un cercle figurant le gain mensuel d’un jeune  salarié , on a tracé des secteurs représentant les différentes dépenses.

Ce cercle est aussi appelé « diagramme circulaire »

grafic4

 

Activités :

Reproduire ce graphique ;Pour faciliter votre travail le cercle a d’abord été divisé en 12 parties égales comme le cadran d’une montre .)

Que représente le secteur blanc ?

En commençant par calculer le montant du loyer , déterminer la valeur des autres dépenses . ( le gain mensuel étant de   960 € )

 

 

Evaluation (suite)

 

 

Voici la répartition de notes dans une classe de 25 élèves :

 

Notes « x » telles que :

5 < x

5 £ x < 10

10 £ x < 15

15 £ x

Fréquences de ces notes

8%

20 %

48 %

24%

 

 

 

a) Combien d’élève ont une note comprise entre 10 et 15 ?

 

évaKcercle

b) Combien d’élève ont au moins   une note 10 ?

 

c) Combien d’élèves ont moins de 15 ?

 

d) Représente les indications du tableau par un diagramme circulaire.

(utiliser le cercle tracé dans le cadre ci contre)

 

 

 

 

 

 

 

Organisation et gestion de données. (histogramme  et diagramme circulaire)

corrigé

 

 

 

 

 

Dans une société comportant  « 1300 » salariés  , on a voulu se rendre compte de la répartition des âges des salariés .

Pour cela, on a constitué « 6 » tranches d’âge et on a compté combien il y avait de personnes dans chaque tranche.

Ensuite, on a calculé la fraction du nombre total de salariés correspondant à chaque tranche. On a obtenu le tableau ci-dessous . ( la lettre « A » désigne l’âge.)

 

 

 

 

 

Tranche d’âge

A < 20

20  A < 30

30  A < 40

40  A < 50

50  A < 60

60  A

 

Nombre de salariés

104

 

 

 

 

 

Fraction

 

Pourcentage

8 %

 

 

 

 

 

Angle.

28,8°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°) La ligne du tableau donnant le nombre de salariés par tranche a été effacée, on vous demande de la compléter .

 

 

Exemple de calcul  : pour la tranche des moins de 20 ans , la fraction du nombre total est de      ;

               le nombre de moins de vingt ans est donc : 

 

 

 

 

 

2°) Calculez le pourcentage correspondant  à chaque tranche d’âge.

 

 

Exemple de calcul :  pour la tranche des moins de vingt ans  on pose :
   ; le pourcentage est donc d : 8 pour cent que ‘l’on écrit : …………….

 

 

 

 

 

3°) Faite l’histogramme représentant le nombre de salariés correspondant à chaque tranche d’âge . ( voir ci-dessous les axes de coordonnées .)n

 

 

fraction006

 

 

 

 

Faites un diagramme circulaire .

 

 

Utilisez le disque dessiné ci-dessous.

 

 

Vous partagez ce disque en 6 secteurs . Les angles de ces secteurs sont proportionnels aux nombres de salariés . (ou au pourcentage).

 

 

A savoir que le disque entier représente les 1300 salariés , il correspond à 360°.

Commencez par calculer l’angle de chacun de  ces secteurs ( complétez le tableau).

 

Exemple de calcul : le pourcentage des moins de vingt ans est de 8% ; l’angle du secteur le représentant est dons de :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fraction007

 

 

 

 

 

 

 

n>