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Classe collège : 6^ème / 5^ème .

Pré requis:

Nombres proportionnels		Vers le corrigé …. Il vous faut le lien !!!!!
notions : Les grandeurs « directement » ou « inversement » proportionnelles .
Pré requis sur les fractions :
Fraction nomenclature
Fraction équivalente
Produit en croix

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index : warmaths

Objectif précédent : 1°) vu en primaire. 2°) Idée de la proportionnalité. 3°) La proportion et la quatrième proportionnelle

Objectif suivant : Suite : les suites de nombres proportionnelles, le coefficient de proportionnalité,… 2°) Cours niveau V 3°) La proportion en algèbre .

tableau 171 1°) Les grandeurs proportionnelles (sommaire)

DOSSIER : Fiche pédagogique : LA PROPORTIONNALITE

Et applications aux POURCENTAGES (cliquez ici)…… Et «  ECHELLE »

1° ) Suites de "nombres proportionnelles" :

2°) Proportionnalité et représentation graphique.

3°) Propriétés des suites proportionnelles.

4°) Calcul d’un nombre dans des suites proportionnelles

Applications :

5°) Les pourcentages

6°) Les échelles.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité : Situations problèmes

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

On établit en arithmétique ces deux principes :

· Pour que deux grandeurs soient proportionnelles l’une à l’autre, il faut et il suffit qu’elles varient dans le même rapport ; c'est-à-dire que si l’une devient « n » fois plus grande qu’elle n’était, l’autre devienne aussi « n » fois plus grande.

· Pour que deux grandeurs soient inversement proportionnelles l’une à l’autre, il faut et il suffit qu’elles varient dans le rapport inverse ; c'est-à-dire que si l’une devient « n » fois plus grande qu’elle n’était, l’autre devienne aussi « n » fois plus petite qu’elle n’était.

COURS :

@ info

1° ) Suites de "nombres proportionnelles" :

Activité 1 :
ci-dessous : voici un tableau à deux lignes, chaque ligne est constituée par une « suite de nombres ». 1°) Vérifiez qu’il existe un « opérateur multiplicatif qui permet de passer de chaque nombre de la première ligne au nombre correspondant de la deuxième ligne. Ecrivez ce nombre dans le cadre …. 2°) Faites de même pour passer de la deuxième ligne à la première.
	…..	←	8	25	2,5	20	7	1	←	….
		→	3,2	10	1	8	4,8	0,4	→

Activité 2 :
Un compétiteur , en cours d’orientation, fait soit 80 pas (soit 40 double pas) pour parcourir 100 m. Complétez le tableau donnant la distance parcourue correspondant au nombre de pas.
	….	←	Nombre de pas	80	160	1 000					←	….
		→	Distance en m	100			1,25	40	12 ,5	325	→
· On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant par … … ou en divisant par …… les nombres de la première ligne…. · On passe de la deuxième à la première ligne en multipliant par ……. ou en divisant par …….. les nombres de la seconde ligne….

Activité 3 :
Le prix d’une douzaine de roses est de 27 €. Sachant que les roses considérées ont toutes le même prix, complétez le tableau ci-dessous.
	….	←	Nombre de roses.	12	24	6		2	1	10	18		←	……
		→	Prix en euros	27			6,75					101,25	→
Déterminez chaque opérateur : · Le premier permettant de passer de la première ligne à la deuxième ligne. ………………………………… · Le second est celui qui permet de passer de la deuxième à la première ligne…………………………..

Activité 4 :

Une barre métallique de 10 m pèse 52 kg. On en coupe des morceaux . Complétez le tableau de correspondance entre la longueur (en m) et la masse ( kg).

………

←

Longueur (en m)

10

1

2,3

5

9,5

←

…

→

Masse ( en kg)

10,4

7,8

9,1

→

Déterminez chaque opérateur : · Le premier permettant de passer de la première ligne à la deuxième ligne. ……………………. · Le second est celui qui permet de passer de la deuxième à la première ligne……………………………

Contrôle :

A retenir :

On dit que : deux suites de nombres sont des suites proportionnelles lorsqu’elles expriment l’existence d’un opérateur multiplicatif ( qui n’est pas forcément un nombre entier ou un nombre décimal) qui permet de passer de l’une des suites à l’autre suite. Cet opérateur multiplicatif est aussi appelé « coefficient de proportionnalité ».

Activité 5 :
On vous propose 3 tableaux contenant deux suites de nombres, dites si le tableau contient deux suites de nombres proportionnelles. ( répondre par « oui » ou « non ».)
Tableau 1 :				Tableau 2 :				Tableau 3 :
0,3	2	3 ,5	5	0,8	3	6	22	5	4	6	0,5
2,3	4	5,5	7	1,2	4,5	9	33	12	15	10	120

2°) Proportionnalité et représentation graphique.						( voir la représentation graphique de la fonction linéaire)
Activité 1 : Vous avez vu dans la fiche « opérations avec les décimaux » et « opérateur multiplicatif ». : des exemples de suites de nombre se correspondant par l’intermédiaire d’un « opérateur multiplicatif ». Vous pouvez dire alors que ces suites sont des suites proportionnelles. Faites la représentation graphique : Placez dans le repère ci-contre les points dont les coordonnées ont été calculées dans le tableau –ci-dessous..
	Temps ( en h)	1	2	2,5	3	0
	Distance (en km)	6

Activité 2 :
Le tableau ci-dessous donne la taille d’un garçon relativement à son âge. Faites la représentation graphique. Dire si la situation proposée est une « proportionnalité » . …………………………………………….
Age	0	1	2	3	5	7	9	11	12	14	15	16	18
Taille ( en cm)	50	70	80	87	102	114	123	136	158	167	173	175	179

Activité 3 :
B. a 3 ans de plus que D. · Complétez le tableau ci-dessous . · Y a-t-il proportionnalité ?..................... …. · Faites la représentation graphique. · Les points sont-ils alignés ? · La droite passe-t-elle par le point de coordonnées ( 0 ; 0 ) ?.....
	Age de D.	0	1	2	3	4	5	6	7
	Age de B.
A retenir : Si deux suites de nombres sont proportionnelles alors le représentation graphique correspondante est constituée par des points « …………….» . et la droite passant par ces points , passe aussi par le point de coordonnée ( 0 ; 0 ) . Il n’y a que dans le cas d’une proportionnalité que la représentation graphique est ainsi …(à savoir : une droite qui passe par zéro)….

3°) Propriétés des suites proportionnelles.( découvertes)						Info +++
Un boulanger vend ses grosses meringues 3,20 € pièce. Ila confectionné le tableau suivant :
Il prétend qu’avec ce tableau il peut calculer mentalement très rapidement le prix d’un nombre quelconque de meringues .		Nombre de meringues.		1	2		3	5	10
		Prix en euros		3,20	6,40		9,60	16	32
Voilà comment il s’y prend .
1^ère propriété :
Activité 1 : soit le prix de 7 meringues : ( prix de 7 meringues ) = ( prix de 2 meringues ) + ( prix de 5 meringues ) Soit :…………………….= 6, 40 + 16 = ……………….
Activité 2 :
soit à calculer le prix de 13 meringues
Remarque : Pour calculer le prix de 7 meringues on peut considérer que «  10 – 3 =………… » , soit le prix de 7 meringues = 32 – 9,60 =……………….
2^ème propriété :
Activité 3 :
Soit calculez le prix de 6 meringues : · « 6 » est le triple de « 2 ». · Le prix de 6 croissants est « 6,40 » , le triple de 6,40 est :………… …
Activité 4 :
Soit calculez le prix de 35 meringues :
35 = 7 5 Le prix de « 5 » meringues est « 16 € » Le prix de « 35 » est de « 16 7 » = …...
Activité 5 :
Soit calculez le prix de 23 meringues : 23 = (2 10 ) + 3
	Ce qui revient à faire le calcul :
Le prix de 23 est de : 73,60 €
Activité 5 :
Calculez mentalement : Calculez le prix de 17 meringues ; Calculez le prix de 38 meringues ; Calculez le prix de 47 meringues
Remarque : Les propriétés que l’on vient de mettre en évidence sont vraies pour toutes suites proportionnelles et seules les suites proportionnelles ont ces deux propriétés.
Activité 6:
Vous achetez des fruits qui coûtent 6,50 € le kg.
· Pour calculer mentalement le prix de 1,2 kg de fruits , vous pensez que 1,2 = 1 + 0,2 Le prix de 1 kg est de 6,50 € . Le prix de 2 kg est :…… ; le prix de 0,2 kg est ………. . Donc le prix de 1,2 kg est de ………….. + ………… = ……………….. .
· Complétez le tableau ci-dessous en vous inspirant du calcul précédent . Pour vérifier, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes de calcul.

		Quantité en kg		1	2	3	5	10	0,1	0,2		0,3		0,5		0,8
		Prix en €		6,50
	En utilisant le tableau : Calculez le prix de 3,7 kg de fruits : ……… + ………… + ……….. = …….. Calculez le prix de 4, 9 kg de fruits : ………… - ………………. = …………..
	4°) Calcul d’un nombre dans des suites proportionnelles.
	Situation problème N°1 :Une automobile a consommé « 9 L » de carburant pour parcourir 150 km. En considérant que la consommation est régulière ( c'est-à-dire que la consommation est proportionnelle à la distance parcourue), on vous demande de calculer la distance parcourue avec 12 L.
	Nous allons voir 3 méthodes :
	Méthode numéro 1 :
	L’opérateur multiplicatif permettant de passer de la première à la seconde ligne est le nombre par lequel il faut multiplier « 9 » pour obtenir 150.										Consommation en L.						9				12
											Distance en km						150				……
	Ce nombre est donc le quotient de 150 par 9 qui s’écrit : ( ne pas calculer la valeur décimale !!!!) La distance est alors = ( 12 150) 9 = …………….
	Méthode numéro 2
	On fait le raisonnement suivant ( appelé « règle de trois ») · Avec 9 L on parcourt 150 km. · Avec 1 L , on parcourt 9 fois moins c'est-à-dire «  150 km 9 » · Avec 12 L , on parcourt 12 fois plus , c'est-à-dire «  (150 km 9)   12 » Pour faire le calcul, vous savez que vous pouvez permuter les opérateurs : «  (150 9)   12 » devient «  (150 12 ) 9 = 200 ) »et vous retrouvez le calcul de la première méthode (ci-dessus) .
	Méthode numéro 3
	On utilise dans le tableau des « intermédiaires » astucieusement choisis et on applique les propriétés vues au chapitre « 3 ». Vous savez que « 12 = 9 + 3 » ou « 12 = 4 3 » , complétez le tableau										9									12
											150
	Situation problème N°2 : Avec la même automobile que précédemment , vous allez calculer l’essence consommée pour parcourir 250 km.
	Méthode numéro 1 :
	L’opérateur multiplicatif qui permet de passer de la première ligne à la deuxième ligne est : ( 9/150 = 0,06) ; La consommation cherchée est alors : ……. 250 = ( 250 ….. ) …… = ………										Distance en km						150				250
											Consommation en L.						9
	Méthode numéro 2 :
	On fait le raisonnement suivant ( appelé « règle de trois ») · on parcourt 150 km Avec 9 L . · Pour faire 1 km , il faut … .. fois moins ; c'est-à-dire « …………….. » · Pour faire 250 km , il faut ……… fois …….. , c'est-à-dire «(………. …..) …….. » «(…… ……) …….. » =«(…… …… ) ……»= ……
	Méthode numéro 3
	On utilise dans le tableau des « intermédiaires » astucieusement choisis et on applique les propriétés vues au chapitre « 3 ». :										150									250
											9									15
	Situation problème N°3 : Pour obtenir 40 kg de farine il faut moudre 50 kg de blé. La quantité de farine ( en kg) est proportionnelle à la quantité de blé . Questions : 1°) Quelle quantité de farine (en kg) obtient – t- on avec 30 kg de blé ? 2°) Quelle quantité de blé faut-il pour obtenir 16 kg de farine ?
	Méthode numéro 1 :
	L’opérateur multiplicatif permettant de passer de la première ligne ( blé) à la seconde ligne est : …40 / 50 = 0,8										Blé (en kg)				50			30
											Farine (en kg)				40							16
	1°) Quantité de farine ( en kg) : …….…. 30 = ………. 2°) Quantité de blé ( en kg) : …………16 = …….. 16 = ….. ….
	Méthode numéro 2 :
	Avec 50 kg de blé on obtient 40 kg de farine. 1°) Avec un kg de blé on obtient ……. fois moins , c'est-à-dire …….…….. = ………… Avec 30 kg de blé , on en obtient …….. fois ……. , c'est-à-dire ( …… …… ) ……. = ……. 2°) Pour 40 kg de farine , il faut 50 kg de blé . Pour 1 kg de farine il en faut 40 fois moins, c'est-à-dire «  ……………….. » Pour 16 kg de farine, il en faut ………. fois ……….. , c'est-à-dire ………………
	Méthode numéro 3
	On utilise dans le tableau des « intermédiaires » astucieusement choisis et on applique les propriétés vues au chapitre « 3 ». :										blé		50						30
											farine		40										16
Applications des proportionnalités aux :
	5°) Les pourcentages
	Activité 1 :Dans un magasin, au moment des soldes, un commerçant annonce un rabais de 30 %. ( lire : 30 pour cent ) sur plusieurs produits. Cela signifie qu’il fait un rabais ( réduction du prix) de 30 € pour 100 € d’achat. Donc l’acheteur payera .. ….. – …… = …… au lieu de 100 €. La réduction est proportionnelle au prix marqué ( bien entendu sur le prix payé aussi ) Ainsi : pour un article à 50 € il payera « 50 – 15 = 35 € » , et ainsi de suite
	Activité 2 :
	Activité : Complétez le tableau ci- dessous.
			Prix marqué	100	50	600	1	10	140	35		340		58,4
			Réduction	30
		Et ….
			Prix payé
	1. Cherchons l’opérateur qui fait passer de la première ligne à la deuxième ligne : C’est le nombre qui multiplié par « 100 » donne « 30 » , c’est donc ( c'est-à-dire : 0,30 ou 0,3 ) D’après ce que vous venez de faire, vous pouvez dire que :
	A retenir : Calculer 30% d’un nombre ( a) , c’est multiplier ce nombre (a) par  ; c'est-à-dire multiplier par « 30 » puis diviser par « 100 » ( ou diviser par « 100 » puis multiplier par « 30 »)
	Activité 2 L On est très souvent on ‘s’intéresse au prix que l’on devra payer après nous fait la réduction , nous allons voir comment calculer directement le prix à payer sans avoir à calculer le montant de la réduction…, nous reprenons l’exemple précédent . Dans un magasin, au moment des soldes, un commerçant annonce un rabais de 30 %. ( lire : 30 pour cent ) sur plusieurs produits. Cela signifie que le client payera après réduction « 100 – 30 = 70 € » pour 100 € d’achat. Donc l’acheteur payera .. ………. – ….. = ……… au lieu de 100 €. Le prix à payer sur le prix marqué est proportionnelle à la réduction ; soit 70 pour cent que l’on écrit 70%... Ainsi : pour un article à 50 € il payera « 50 – 15 = 35 € » , et ainsi de suite

Cherchons l’opérateur qui fait passer de la première ligne à la deuxième ligne : C’est le nombre qui multiplié par « 100 » donne « 70 » , c’est donc ( c'est-à-dire : 0,70 ou 0,7 )
	Prix marqué	100	50	600	1	10	140	35	340	58,4
	Prix à payer	70

Activité 3 L . Au restaurant un client doit payer 76 € plus 15 % de service. Questions : 1°) A combien s’élève le montant du service ? 2°) Combien devra payer le client ?
Activité 4 . Une somme d’argent est placée au taux de 6% signifie que : lorsque cette somme est placée pendant un an rapporte une somme appelée « intérêt » de « 6 € » pour « 100€ ». Questions : 1°) Combien rapporte en un an la somme de 86 000 € placée au taux de 6% ? 2°)(plus difficile) Combien rapporte une somme de 560 000 € placée au taux de 7,5% pendant 4 mois ?
Activité 5 .( info +++ : le diagramme circulaire) Dans une exploitation agricole de 238 ha , on pratique diverses cultures.
Les pourcentages de ces différentes sculptures sont donnés dans le tableau ci-contre. On vous demande de dessiner des secteurs circulaires représentant chacune des cultures sur le disque ci-dessous. L’angle de chaque secteur est proportionnel au pourcentage correspondant………..		Culture		Pourcentage		Aire	Angle
		Blé		35%		83,3 ha	126°
		Betterave		25%
		Pomme de terre		20%
		Maïs		15%
		Jachère		5%
Le disque entier représente les 238 ha de l’exploitation.il correspond à 360°. ( info +++ : le diagramme circulaire)
		Exemple : Le blé correspond à 35 % de la surface totale cultivée , l’angle du secteur de représentant est donc : 360°= ……….°…. A partir de cet exemple  complétez le tableau ci-dessus ..
6°) Echelles. (Et la proportionnalité ) (info plus)
Pour représenter graphiquement (dessin) certains objets ou régions de la terre, il n’est pas toujours possible de les dessiner avec leurs dimensions réelles (Exemples : une voiture , une maison , un atome , un microbe, une ville , un pays, un astre,…..) On convient alors de faire un dessin dont les mesures de longueurs sont proportionnelles aux mesures des longueurs réelles. Ces dessin s’appelle un plan . ( de maison , de voiture, d’une ville ,..) ou une carte ( pays , région , d’une forêt ,…. · L’opérateur multiplicatif qui permet de passer d’une longueur sur l’objet ( dimension réelle : «  Dr » ) à la longueur correspondante sur le plan ou la carte(dimension sur le plan : « Dp ») , s’appelle « l’échelle ». Tel que Il se présente souvent sous la forme d’une fraction telle que : ;  ;  ;  ; ……etc.
Activité 1 :
Soit le plan d’une maison à l’échelle ( par exemple ). Ce qui signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm sur la maison ( c'est-à-dire : 1 m ) Questions : 1. La longueur d’une pièce sur le plan est de 5,8 cm, quelle est la longueur de cette pièce en m ? ……….. 2. La largeur d’une fenêtre est 2,3 m , quelle est sa largeur sur le plan ? .
Activité 2 :On prend une carte routière dont l’échelle est   . 1 cm sur la carte représente ……200 000 cm sur la terre . ( c’est à dire : ………. m soit ……km ) 1 km sur la terre est représenté par : …………. sur la carte . 1. Deux villes sont distantes ( en ligne droite : dit « à vol d’oiseau) de 92 km sur la carte, quelle est la distance en cm que je vais mesurer :)...soit : …………… cm 2. « 83 mm » est la distance mesurée sur la carte , entre deux villes , que représente la distance à parcourir « sur terre » ?
Activité 3 :On prend une carte d’état-major . à l’ échelle ( rappel : 1 cm sur la carte représente ………. cm sur le terrain, soit …….. km . · 1 km sur le terrain est représenté par ………. .cm . 1. « 12,5 mm » sur la carte représente ………m sur le terrain  2. « 1,35 km » sur le terrain est représenté par …………...cm. sur la carte .
Activité 4 :On vous donne une carte de France, l’échelle est de :
Un avion quitte Paris. On vous demande de déterminer la distance, à vol d’oiseau de Paris à certaines villes de France .	Distance à Paris.		Carte en mm		Terrain en km.
	Calais
	Nancy
	Lyon
	Alès
	Pau
	Brest.

TRAVAUX FORMATIFS :

Travaux : réciter les « à retenir »

Faire tous les activités …..

Contrôle :	A retenir 1:
	On dit que : deux suites de nombres sont des suites proportionnelles lorsqu’elles expriment l’existence d’un opérateur multiplicatif ( qui n’est pas forcément un nombre entier ou un nombre décimal) qui permet de passer de l’une des suites à l’autre suite. Cet opérateur multiplicatif est aussi appelé « coefficient de proportionnalité ».

A retenir 2 :

Si deux suites de nombres sont proportionnelles alors le représentation graphique correspondante est constituée par des points « alignés » . et la droite passant par ces points , passe aussi par le point de coordonnée ( 0 ; 0 ) .

Il n’y a que dans le cas d’une proportionnalité que la représentation graphique est ainsi …(à savoir : une droite qui passe par zéro)….

A retenir 3  :

Calculer 30% d’un nombre ( a) , c’est multiplier ce nombre (a) par  ; c'est-à-dire multiplier par « 30 » puis diviser par « 100 » ( ou diviser par « 100 » puis multiplier par « 30 »)

INTERDISCIPLINARITE

PROBLEMES :

A ) La longueur du cercle est donnée en fonction du diamètre ; compléter le tableau suivant :

D	5	10	12	25	28.2
L

Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?

B ) Un cycliste parcourt 12km en 45mn .Un autre 17km en 50mn .Les distances parcourues sont-elles directement proportionnelles aux durées du parcours ?

C ) Construire un triangle ABC dans lequel BC = 50mm , l’angle B =40° et l’angle C =50°

Mesurer les cotés et les angles. Les mesures des cotés sont-elles proportionnelles aux mesures des angles opposés ?

D ) Même question pour un triangle ABC tel que l’angle A = 60° , l’angle B = 30° ,AB =70mm

E ) Une voiture se déplace à la vitesse constante de 80 km.h^-1 .La distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée du parcours ?

F) Trois associés ont investi dans la même entreprise :le premier :10 000 € ,le deuxième : 14 000 € ;le troisième :26 000 €. Ils ont gagné 13 680 €

Partager le gain proportionnellement aux mises des associés .

G) 10 copropriétaires doivent se partager des frais de réfection s’élevant à 26 400 € , proportionnellement au montant de la valeur locative de leur appartement, s’élevant respectivement à :

200 € ;220 € ;250 € ; 300 € ; 350 € ; 400 € ; 500 € ;530 €

Quelle doit être la part de chacun ?

H ) Les copropriétaires d’un immeuble répartissent 8 000 € de travaux exécutés à frais communs proportionnellement à la valeur locative de leurs appartements estimée comme suit :

quatre appartements à 75 €  ; 5 à 60 € et 10 à 40 €. Calculer le montant des frais qui incomberont à chacun.

Corrigé interdisciplinarité :