	Programme de 4^ème		Classe de 4^ème et 3^ème
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Le cercle et disque

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Les unités de volumes.

Les principaux solides de révolution

Objectif suivant :

1°) doc. 2 / 3 : la sphère (suite) 3ème ;CAP /BEP

2°)doc. 3 / 3 : calculs Aires et volume d’une sphère

a) Liste des cours sur les volumes.

b) 2°) Complément : résumé collège

Fiches collège : SPHERE

	Fiche 1 : Sphère et boule.
	Fiche 2 : Construction d’une sphère.
	Fiche 3 : Section d’une sphère par un plan.
	Fiche 4 : Repérage d’un point sur une sphère terrestre.
	Fiche 5 : Exercices sur le repérage de points de la sphère.
	Fiche 6 : Aire d la sphère – Volume de la boule.
	Fiche 7 : Situations problèmes.
	Fiche 8 : Document à imprimer sur papier épais. (pour fiche 2 )
	Fiche 9 : à faire à cette période ……..Proportionnalité : Indice de base 100.

INTERDISCIPLINARITE : LA TERRE.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité :

le mouvement diurne
la sphère terrestre.

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiches sur « la sphère »

Fiche 1 : Sphère et boule.

SPHÈRE ET BOULE

Une balle de foot , de ping-pong, une bulle de savon nous donne une idée d'une sphère.

Une bille, une orange nous donne une idée d'une boule.

Donnez oralement d'autres exemples.

Une sphère est l'enveloppe d'une boule.’

Une boule est un solide, une sphère est une ………enveloppe…...

Sur le dessin, « O » est le centre de la sphère (ou de la boule). Tous les points de la sphère sont à la même distance de « O ». Cette distance est appelé le rayon.

"M est un point de la sphère de centre 0 et de rayon R" signifie "OM <.R"

"M est un point de la boule de centre 0 et de rayon R " signifie " OM = R "

sphere_001


	Fiche 2 : Construction d’une sphère.
	Prenez et imprimez la page fiche « 8 » : et découpez les disques et demi-disques qui y sont dessinés.(sur papier rigide , ou coller la feuille sur une fiche cartonnée) N'oubliez pas de découper les fentes. Ces fentes permettent d'assembler les divers éléments comme l'indique les figures ci-contre. En faisant le montage, faites en sorte que les inscriptions soient situées dans le même " secteur " voir fiche 4 .

	· Cet assemblage permet d'imaginer une sphère et une boule.
	On peut considérer que cette boule est engendrée par un demi-disque tournant autour de l'axe (voir figure ci-contre). Dans ces conditions le demi-cercle engendre la : sphère Sur la sphère ces demi-cercles sont appelés des méridiens.
	Ø Considérons le plus grand disque que vous avez découpé. Son plan passe par le centre de la sphère et ce plan est : …perpendiculaire …….à . Le cercle limitant ce disque est appelé grand cercle de la sphère.
	Dans le cas de la terre ce grand cercle est appelé …………………………………….. et son plan est appelé plan …………………………… · Considérons les petits disques que vous avez découpés leur plan est parallèle au plan du grand disque. Le cercle limitant le disque est appelé petit cercle de la sphère. Dans le cas de la terre ce petit cercle est appelé un parallèle.


	Fiche 3 : Section d’une sphère par un plan.
	Considérons une sphère de centre « O » et de rayon « R » et un plan « P ». Traçons par « O » la perpendiculaire au plan « P » . Elle coupe le plan en « H ». Nous allons étudier l'intersection (si elle existe) de la sphère et du plan Puisque (OH) est perpendiculaire au plan « P », alors (OH) est perpendiculaire à toutes les droites du plan « P ». M étant un point quelconque du plan P, distinct de « H », (MH) est ………………………………………… à (OH), donc le triangle MHO est rectangle en ………………….. [OM] est l'hypoténuse, donc grâce au théorème 11, OM ……..OH.
	1 ° cas : OH > R Puisque OM > OH et OH > R alors OM …………..R. Donc la sphère n'a aucun point commun avec le plan.
	2° cas : OH = R Puisque OM > OH et OH = R alors OM………..R. Donc la sphère n'a que le point H en commun avec le plan, On dit alors que le plan est tangent à la sphère.
	3° cas : OH < R Appelons « N » (s'il existe) un point commun au plan et à la sphère. Dans le triangle NHO rectangle en « H » , grâce au théorème de Pythagore, on a : HN ² = ON ² - OH ² « N » étant un point de la sphère, ON = ……….. donc HN² = R - O H ² Puisque « OH < R » et que « OH » et « R » sont positifs, alors O H ² ……R² … ;
	Donc : R ² -- OH ² est positif . On peut donc calculer « HN », donc « N » existe. L'ensemble des points « N » communs à la sphère et au plan est donc constitué par tous les points du plan situés à la même distance de « H ». (Cette distance est celle dont le carré est égal à R ² - OH ² ) Donc, l'intersection du plan et de la sphère est un cercle de centre « H ».
	· Calculons le rayon de ce cercle dans le cas où « R = 20 cm » et « OH = 16 cm » HN² = R² - OH ² . HN² = …….² - ………² = ………..- ……….= …………. Donc HN = ……… Rayon : …………..
	Remarque 1 Le point N n'existe que si R² - OH² > 0 c'est-à-dire que l'intersection n'existe que si OH < R et de même le plan n'est tangent à la sphère que si OH = R.

	Remarque 2 La distance OH est appelée la distance du point 0 au plan P.

	Théorème 29 Un plan est sécant à une sphère uniquement dans le cas où la distance du plan au centre de la sphère est strictement inférieur au rayon . L' intersection est alors un cercle . Ce cercle a pour centre le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.

	Théorème 30 Un plan est tangent à une sphère uniquement dans le cas où la distance, du plan au centre de la sphère est égale au rayon. Le plan et la sphère n'ont alors qu'un point commun et le plan est perpendiculaire au rayon passant par le point commun.
	Exemple En un point de la terre, la verticale est la droite passant par ce point et le centre de la terre. Le plan horizontal en ce point est le plan tangent à la terre en ce point. Il est ………………………………………………. à la verticale passant par ce point.
	Exercice 1 Dans l'assemblage que tu as fait au §2 , le plan de l'un des petits disques est situé à 20mm du centre de la sphère. Sachant que le rayon de la sphère est 40mm , donne une valeur approchée à 0,1mm près du rayon de ce petit disque. Exercice 2 On coupe par un plan une sphère de centre 0 et de rayon R = 37 cm L'intersection est un cercle de centre H et de rayon r = 12 cm . Quelle est la distance du plan au centre de la sphère ?


Fiche 4 : Repérage d’un point sur une sphère terrestre.

Reprenons l'assemblage que vous avez fabriqué à la « fiche 2 » et imaginons que la boule correspondante représente la terre. La terre est sensiblement une boule de 6370km de rayon. Elle tourne autour d'un axe passant par les pôles Nord et Sud.

Considérons un point P de la terre.(P distinct des pôles N et S). Par ce point il passe un méridien unique et un parallèle unique, ( Vous pouvez les voir sur votre assemblage). Repérer un point sur la terre consistera à repérer le demi-plan du méridien du point par rapport au demi-plan du méridien choisi comme origine : le méridien de Greenwich. et à repérer le plan du parallèle par rapport au plan de l'équateur.
· Le demi-plan du méridien de Greenwich et le demi-plan du méridien du point « P » déterminent sur le plan équatorial l'angle (voir figure) La mesure en degré de l'angle est appelée la longitude de « P ». Cet angle est compté à partir de [OA et on précise si l'on tourne vers l'Est ou vers l'Ouest. Pour le point P de l'assemblage, = 60°, la longitude de P est ………° Est
· Dans le plan du méridien de « P », la mesure en degré de est appelée la latitude de « P » Cet angle est compté à partir de [OB et on précise si l'on tourne vers le Nord ou vers le Sud. Pour le point P de l'assemblage, = 27°, la latitude de P est ……..° Nord.
Remarque Tous les points situés sur un même méridien ont même ………………………………………… Tous les points situés sur un même parallèle ont même …………………………………………..
Exercice : Voici ci-contre un dessin de la moitié de la terre. En utilisant les méridiens et parallèles qui y sont tracés, détermine approximativement la longitude et là latitude des points D,F,G,K.
	Longitude	Latitude	Placez , ci-dessus, les points « R » et « T » ayant pour coordonnées : « R » longitude : 60° Ouest ; latitude : 45° Nord « T », longitude : 70° Est, latitude : A0° Sud.
« D »
« F »
« G »
« K »

Fiche 5 : Exercices sur le repérage de points de la sphère.

Exercice 1 : Dire que « P’ » est l'antipode de « P », c'est dire que « P » et « P' » sont diamétralement opposés sur la sphère. · « P » a pour longitude 60° Est et pour latitude 27° Nord, « P' » a pour longitude ………………… et pour latitude …………………………
Soit « J » un point de la sphère et « J’ » son antipode. · « J » a pour longitude 108° Est et pour latitude 57° Sud, « J' » a pour longitude ………….. et pour latitude ……………
Exercice 2 : Un point de la terre a pour latitude 38°. II est situé sur un parallèle. Ce parallèle est un cercle dont on demande le rayon. (le rayon de la terre est 6370km).


Fiche 6 : Aire d la sphère – Volume de la boule		Info @ +++ sur les calculs..

Considérons une sphère de rayon « R ». L'aire de la sphère et le volume de la boule sont donnés par les formules suivantes (avec les unités correspondantes). A retenir :
	Aire de la sphère de rayon R :
	Volume de la boule de rayon « R » :

Exercice 1 : · Une sphère a pour rayon 6m . Calculez son aire () · Calculez le volume de la boule correspondante ()
Exercice 2 : L'aire d'une sphère est 8438m² · Donnez une valeur approchée de son rayon à 0,1 m près ()
Exercice 3 : Le volume d'une boule est 14 130cm3, quel est le rayon de cette boule ? ()
Exercice 4 : On coupe une boule par un plan passant par le centre (plan diamétral) la section est un disque dont l'aire "a" est telle que a = 135dm². Sans calculer le rayon, calcule l'aire "A" de la sphère correspondante


Fiche 7 : Situations problèmes

	Exercice 1 d'après BEPC Paris Juin 87 La "géode" est une salle de projection cinématographique à Paris. Extérieurement, c'est une sphère de 36m de diamètre. La partie visible au-dessus du sol (supposé horizontal) est une calotte sphérique de 29m de haut. Calculez au dm près le rayon du cercle de section de la géode avec le sol.
	Exercice 2 : L'intérieur d'un bol est une demi-sphère de 14cm de diamètre. Quelle est en centilitre la contenance de ce bol ?

	Exercice 3 : Un tube à essai est un tube cylindrique dont le fond est une demi-sphère. Le diamètre intérieur du cylindre est 24mm et la hauteur de ce cylindre est 13 cm . Calculez le volume intérieur de ce tube à essai.
	Exercice 4 : Une citerne à mazout est constituée par un cylindre et deux demi-sphères. Le diamètre du cylindre est 1 m et la longueur totale de la citerne est 2,6m . Calculez l'aire et le volume de cette citerne.
	Exercice 5 : Une balle sphérique en caoutchouc est creuse. Son diamètre est 90mm, l'épaisseur de caoutchouc est 12mm . Quel est le volume de caoutchouc ?
	Exercice 6 : Une haltère est en fer. Elle est constituée par deux boules de 21 cm de diamètre reliées par un cylindre de 105cm de long et 36mm de diamètre. La masse volumique du fer est 7,8 g/cm3 . Quelle est la masse de cette haltère (en kg) ?
	Exercice 7 : Une sphère de 60 cm de diamètre est placée dans un cube de 60cm de côté. 1°) Quel est le volume non occupé ? 2°) La même sphère est placée dans un cylindre de 60cm de diamètre et 60cm de haut. Quel est le volume non occupé ? Comparez ce volume et celui de la sphère.
	Exercice 8 La quantité d'eau sur la terre est environ 1,4 x , si la terre était parfaitement lisse et si cette eau était répartie sur la terre en une couche uniforme, quelle serait la hauteur de cette couche (rayon de la terre 6 400 km) ?
	Exercice 9 : Le rayon du soleil est environ 100 fois le rayon de la terre. A votre avis le volume du soleil est combien de fois plus grand que celui de la terre 100 fois ? 1000 fois ? 10000 fois ? 1000000 fois ? 1000000000 fois ? Barrez les réponses fausses et encadre la bonne. Expliquez oralement.
	Exercice 10 : 1°) Un tube cylindrique de 24mm de diamètre contient de l'eau. On immerge un objet, l'eau monte (sans déborder) de 15mm. Quel est le volume de cet objet ? 2°) On enlève l'objet et on immerge une bille de 18mm de diamètre. Quelle est l'élévation du niveau de l'eau ?


	Fiche 8 : Document à imprimer sur papier épais

Fiche 9 : Proportionnalité : Indice de base 100.
Voici le tableau donnant le prix (en centimes) du timbre d'affranchissement des lettres de moins de 20 g au 1° janvier de chaque année.
Exemple 1
Année		78		79			80			81			82			83			84			85		86
Prix du timbre.		100		120			130			140			160			180			200			210		220
Comparons les différents prix du timbre au cours des années. Par rapport à l'année 78, la comparaison est simple puisque le prix en 78 est 100c . On voit par exemple que : en 84, par rapport à 78, le prix a …………………….. Le nouveau prix est les de l'ancien prix. En 85, par rapport à 78, le nouveau prix est les de l'ancien. Choisissons une autre année de référence, par exemple 81. En 85, par rapport à 81, on est passé de 140 c à …………………….. ; le nouveau prix est les de l'ancien. Pour que la comparaison soit plus commode, on se ramène à 100 et on écrit : (il y a une simplification par 7) « 150 » est appelé l ' indice du prix du timbre en 85 pour la base 100 en 81. Calcule l'indice du prix du timbre en 83, base 100 en 81 Vous trouvez pour indice : ………. Calculez l'indice en 82, base 100 en 86. . L'indice est : …….
Exemple 2 Voici un tableau donnant quelques indices des "prix de détail", base 100 en 70. ("prix de détail" est une moyenne des prix que l'on a à payer dans la vie courante)
années			2007		2008			2009			2010			2011			2012			2013			2014		2015
Indice 100 en 2007			100		112			136			167			200			264			336			384		411
Indice 100 en 2012																	100

Exemple 3 A une dépense de 100€ en 70, correspond une dépense de F en 86. De 70 à 86, les prix de détail ont été multipliés par Combien payait-on en 86 ce que l'on payait 537F en 70 ? Combien payait-on en 70 ce que l'on payait 847F en 82 ? __ Complète le tableau en calculant les indices pour la base 100 en 80 (à 1 près). De 80 à 86, le prix du timbre a-t-il augmenté plus ou moins vite que les prix de détail ? S.M.I.C. signifie : "Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance". C'est le salaire horaire au-dessous duquel un travailleur ne peut être payé. Dans le tableau ci-dessous, la valeur du SMIC est celle au 1° janvier de l'année Complète ce tableau (deux chiffres après la virgule).

	Années					81			82			83			84			85			86
	SMIC					14,79			18,15						22,78			24,36
	Indice 100 en 81					100						137,19
	Indice 100 en 84														100						114,31

SPHÈRE ET BOULE

Une balle de foot , de ping-pong, une bulle de savon nous donne une idée d'une sphère.

Une bille, une orange nous donne une idée d'une boule.

Donnez oralement d'autres exemples.

Une boule est un solide, une sphère est une ………enveloppe…...

"M est un point de la sphère de centre 0 et de rayon R" signifie "OM <.R"

"M est un point de la boule de centre 0 et de rayon R " signifie " OM = R "

Prenez et imprimez la page fiche « 8 » : et découpez les disques et demi-disques qui y sont dessinés.(sur papier rigide , ou coller la feuille sur une fiche cartonnée)

N'oubliez pas de découper les fentes. Ces fentes permettent d'assembler les divers éléments comme l'indique les figures ci-contre.

En faisant le montage, faites en sorte que les inscriptions soient situées dans le même " secteur " voir fiche 4 .

On peut considérer que cette boule est engendrée par un demi-disque tournant autour de l'axe (voir figure ci-contre).

Dans ces conditions le demi-cercle engendre la : sphère

Sur la sphère ces demi-cercles sont appelés des méridiens.

Le cercle limitant ce disque est appelé grand cercle de la sphère.

Dans le cas de la terre

ce grand cercle est appelé ……………………………………..

et son plan est appelé plan ……………………………

· Considérons les petits disques que vous avez découpés

leur plan est parallèle au plan du grand disque.

Le cercle limitant le disque est appelé petit cercle de la sphère.

Dans le cas de la terre ce petit cercle est appelé un parallèle.

Considérons une sphère de centre « O » et de rayon « R » et un plan « P ».

Traçons par « O » la perpendiculaire au plan « P » . Elle coupe le plan en « H ».

Nous allons étudier l'intersection (si elle existe) de la sphère et du plan

Puisque (OH) est perpendiculaire au plan « P », alors (OH) est perpendiculaire à toutes les droites du plan « P ».

M étant un point quelconque du plan P, distinct de « H »,

(MH) est ………………………………………… à (OH), donc le triangle MHO est rectangle en …………………..

[OM] est l'hypoténuse, donc grâce au théorème 11, OM ……..OH.

1 ° cas : OH > R

Puisque OM > OH et OH > R alors OM …………..R.

Donc la sphère n'a aucun point commun avec le plan.

2° cas : OH = R

Puisque OM > OH et OH = R alors OM………..R.

Donc la sphère n'a que le point H en commun avec le plan, On dit alors que le plan est tangent à la sphère.

3° cas : OH < R

Appelons « N » (s'il existe) un point commun au plan et à la sphère.

Dans le triangle NHO rectangle en « H » , grâce au théorème de Pythagore, on a : HN ² = ON ² - OH ²

« N » étant un point de la sphère, ON = ……….. donc HN² = R - O H ²

Puisque « OH < R » et que « OH » et « R » sont positifs, alors O H ² ……R² … ;

Donc : R 2 -- OH ² est positif . On peut donc calculer « HN », donc « N » existe.

L'ensemble des points « N » communs à la sphère et au plan est donc constitué par tous les points du plan situés à la même distance de « H ».

(Cette distance est celle dont le carré est égal à R ² - OH ² )

Donc, l'intersection du plan et de la sphère est un cercle de centre « H ».

· Calculons le rayon de ce cercle dans le cas où « R = 20 cm » et « OH = 16 cm »

HN2 = R2 - OH ² . HN2 = …….² - ………² = ………..- ……….= …………. Donc HN = ……… Rayon : …………..

Remarque 1

Le point N n'existe que si R2 - OH2 > 0

c'est-à-dire que l'intersection n'existe que si OH < R et de même le plan n'est tangent à la sphère que si OH = R.

Remarque 2

La distance OH est appelée la distance du point 0 au plan P.

Théorème 29

Un plan est sécant à une sphère uniquement dans le cas où la distance du plan au centre de la sphère est strictement inférieur au rayon .

L' intersection est alors un cercle .

Ce cercle a pour centre le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.

Théorème 30

Un plan est tangent à une sphère uniquement dans le cas où la distance, du plan au centre de la sphère est égale au rayon. Le plan et la sphère n'ont alors qu'un point commun et le plan est perpendiculaire au rayon passant par le point commun.

Exemple

En un point de la terre, la verticale est la droite passant par ce point et le centre de la terre. Le plan horizontal en ce point est le plan tangent à la terre en ce point. Il est ………………………………………………. à la verticale passant par ce point.

Exercice 1

Dans l'assemblage que tu as fait au §2 , le plan de l'un des petits disques est situé à 20mm du centre de la sphère. Sachant que le rayon de la sphère est 40mm , donne une valeur approchée à 0,1mm près du rayon de ce petit disque.

Exercice 2

On coupe par un plan une sphère de centre 0 et de rayon R = 37 cm L'intersection est un cercle de centre H et de rayon r = 12 cm . Quelle est la distance du plan au centre de la sphère ?

Reprenons l'assemblage que vous avez fabriqué à la « fiche 2 » et imaginons que la boule correspondante représente la terre. La terre est sensiblement une boule de 6370km de rayon. Elle tourne autour d'un axe passant par les pôles Nord et Sud.

Considérons un point P de la terre.(P distinct des pôles N et S).

Par ce point il passe un méridien unique et un parallèle unique, ( Vous pouvez les voir sur votre assemblage).

Repérer un point sur la terre consistera à repérer le demi-plan du méridien du point par rapport au demi-plan du méridien choisi comme origine : le méridien de Greenwich. et à repérer le plan du parallèle par rapport au plan de l'équateur.

· Le demi-plan du méridien de Greenwich et le demi-plan du méridien du point « P » déterminent sur le plan équatorial l'angle (voir figure)

La mesure en degré de l'angle est appelée la longitude de « P ».

Cet angle est compté à partir de [OA et on précise si l'on tourne vers l'Est ou vers l'Ouest.

Pour le point P de l'assemblage, = 60°, la longitude de P est ………° Est

· Dans le plan du méridien de « P », la mesure en degré de est appelée la latitude de « P »

Cet angle est compté à partir de [OB et on précise si l'on tourne vers le Nord ou vers le Sud.

Pour le point P de l'assemblage, = 27°, la latitude de P est ……..° Nord.

Remarque

Tous les points situés sur un même méridien ont même …………………………………………

Tous les points situés sur un même parallèle ont même …………………………………………..

Exercice :

Voici ci-contre un dessin de la moitié de la terre.

En utilisant les méridiens et parallèles qui y sont tracés, détermine approximativement la longitude et là latitude des points D,F,G,K.

Placez , ci-dessus, les points « R » et « T » ayant pour coordonnées :

Donc : R ² -- OH ² est positif . On peut donc calculer « HN », donc « N » existe.

HN² = R² - OH ² . HN² = …….² - ………² = ………..- ……….= …………. Donc HN = ……… Rayon : …………..

Le point N n'existe que si R² - OH² > 0

En un point de la terre, la verticale est la droite passant par ce point et le centre de la terre.
Le plan horizontal en ce point est le plan tangent à la terre en ce point.
Il est ………………………………………………. à la verticale passant par ce point.

· « P » a pour longitude 60° Est et pour latitude 27° Nord,
« P' » a pour longitude ………………… et pour latitude …………………………

· « J » a pour longitude 108° Est et pour latitude 57° Sud,
« J' » a pour longitude ………….. et pour latitude ……………

Choisissons une autre année de référence, par exemple 81.
En 85, par rapport à 81, on est passé de 140 c à …………………….. ; le nouveau prix est les de l'ancien.