Pré requis:

Le cercle  et disque

 

Disque..

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : accueil warmaths.

Objectif précédent :

La sphère définitions élémentaires.  

La sphère (vue au niveau 5)

Objectif suivant :

  1. Le formulaire (suite)
  2. Calcul du volume d’une sphère par intégration.

Info :

Les solides de révolution.

 

Les volumes (liste de cours)

DOSSIER : SPHERE ( 3 /3 ): calcul d’aire et volume

1.      Aires  ( sphère et fuseau , zone sphérique et calotte sphérique )

2.    volume d’une sphère

 

3.    ( sphère et onglet ; secteur sphérique, segment sphérique )

 

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

)Interdisciplinarité :

2°) La sphère terrestre.

3°) A la fin des travaux auto formatifs vous trouverez  des problèmes

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

RAPPEL : 

 

Une sphère est un solide limité par une surface courbe dont tous les points sont équidistants d’un point intérieur appelé « centre ».

Rayon d’une sphère :

Le rayon « r » de la sphère est une droite qui va du centre à un point quelconque de la surface.

 

 

 

 

LES  CALCULS :

 

I )   Aire d’une sphère (ou  surface sphérique ):

 

L’aire d’une surface sphérique est égale  au produit de  la longueur de la circonférence d’un grand cercle par le diamètre .

On dit aussi : l’aire d’une surface sphérique est égale à 4 fois le produit de « pi » par le carré du rayon 

 

Soit A = 2pr 2r     ou  A = 4 pr2

On dit encore que l’aire est proportionnelle au carré du rayon.

Elle vaut  quatre fois l’aire d’un grand cercle.

 

Application :

                          Calculer l’aire d’une sphère de 0,5 m de rayon

résolution

A = 0,50,5 4 3,1416

A = 3,1416 m2

 

 Dont :   Aires de parties remarquables ( fuseau  et zone sphérique et calotte sphérique) :

 

Fuseau

« a » lire « alpha »

Le fuseau est la partie de sphère limitée par deux demi- grands cercles de même extrémités :

L’aire est : A = 2a

 

  « a » désigne  l’angle des demi – plans ( en radians)

 

L’aire est proportionnelle à l’angle ; si a = 2p , on retrouve l’aire de la sphère.

 

Zone sphérique :

 

Une zone sphérique est la partie d’une sphère  comprise entre deux plans parallèles .Si l’un des plans est tangent à la sphère , la zone porte le nom de « calotte sphérique ».

L’aire A de la zone limitée par des plans à la distance « h » est :

                  A = 2pRh

 

 

Calotte sphérique :

 

La calotte  est l’une des deux parties de la sphère  découpées par un cercle .

              A = 2pRh

 

Cette formule se retient facilement : c’est l’aire du cylindre de rayon « R » et de hauteur « h ».

INFO :

Sur la terre , la zone comprise entre deux tropiques est la zone torride . Les calottes limitées par les cercles polaires sont les calottes glaciaires . les zones limités par un tropique  et un cercle polaire d’un même hémisphère sont les zones tempérées .

 

 

II )  VOLUME de la SPHERE ( ou boule) :   (ici : Calcul du volume d’une sphère par intégration.)

 

VOLUME de la SPHERE : le volume est proportionnel au cube du rayon.

Le volume de la sphère est égale au tiers du produit de son aire par le rayon :

 

 

V =   4 pr2r

Soit

 

V =

 

ou   ( r = R )

 

 

Application :

)Calculer le volume d’une sphère de 0,50m de rayon :

Résolution :

on sait que V =   donc V = = 0,5236 m3

 

2°) calculer le rayon d’une sphère dont le volume est 200 cm3

 

200 =     donc R3  =    =  ;  R =  = » 3,63 cm

 

 

Résolution   par les log.

3 log R = lg 150 + log =  2,17609  + , 50285

 

3log R = 1,67894

 

log R = = 0,55965 ; soit R » 3,63 cm

 

Autres exercices résolus :

 

1.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R »

 

donné   ;  avec  R = 12 cm   et  R = 2 m

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 12 cm

 ;  ;       V    7238  cm3  

 

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 2 m

 ;    V      33,5   m3 

 

 

 

 

2.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R »

 

donné  ;  avec  R = 2,5 cm   et  R = 0,15 cm

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 2,5 cm

 ;  ;   V    ( 65,4  )  cm3  

 

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 0,15 cm

 ;

 

V    ( 14 x 10 -3 )  cm3 

 

 

 

 

 

 

 

3.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » 

donné ;  avec  R = 31 cm   et  R = 1,45 m

·        Calcul de « V » , en mètres cubes , pour R = 31 m

 ;  ;

V    ( 124,8  x 10 3 )   m3  

·        Calcul de « V » , en mètres cubes , pour R = 1,45  m

 ;

 

V    ( 12 , 77 )   m3 

 

 

 

 

 

4.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné tel que   ;

 avec  2 R = 40 000 km

 ;

 

 

V    1,081  x 10 12   km3   ;

 

 V    1,081  x 10 21 m3 

 

Volumes de parties remarquables : (revu le 30/5/2012)

 

Onglet

 

L’onglet est le solide limité par la sphère et deux demi – plans passant par un même diamètre .

Le volume est    

 

Où « a » désigne l’angle des demi – plans ( en radians)

Nota : si « a = 2p » , on retrouve  le volume de la sphère.

 

 

Secteurs sphériques

 

Le secteur sphérique est le solide engendré par un secteur circulaire tournant autour d’un diamètre qui ne le traverse pas .

 

 

Le volume du secteur sphérique est le tiers  du produit  de la zone qui le limite par  le rayon de la sphère.

 

Lorsque   « h = 2R », on retrouve le volume de la sphère.

 

 

 

 

 

Segment sphérique (à une base)

 

Le volume du segment sphérique à une base est :

    

 

Si l’on remplace  « h » par « 2R » , on retrouve le volume de la sphère.

 

Segment sphérique ( à deux bases)

 

Le segment sphérique à deux bases  est le solide limité par la sphère et deux plans parallèles.

C’est donc la partie de l’espace limitée par un zone et deux disques.

En appelant « h » la distance entre les deux plans, « R » et « r » les rayons des sections :

Le volume du segment sphérique à deux bases s’en déduit par différence.

 

Soit 

 

On obtiendra ce résultat par différence des volumes entre les deux calottes de rayon « R » et « r » ;  avec   ( R  > r )

 

Lorsque  « r  = 0 » , on retrouve le volume de la calotte sphérique. L'aire  de la zone sphérique correspondante est «   ».

 

 

 

INFO terre :

(pré requis : les puissances de dix)

Les rayons moyens

On en déduit :

 

L’Aire

Le volume

De la terre :Rt = 6,370106 m

At= 5,0991014

Vt = 1,0831021 m3

De la lune : RL = 1,738106 m

AL= 3,7961013

Vt = 2,1991019 m3

Du soleil : RS = 6,960108 m

AS= 6,0871018

Vt = 1,4121027 m3

 

 

Pour information

 

La masse  de la terre   = 5,9771024  kg

La masse de la lune  = 7,3521022  kg

La masse du soleil  = 1,989 1030  kg

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°) a quoi est égale l’aire d’une sphère ? donner la formule !

2°) a quoi est égale le volume d’une sphère ? donner la formule !

EVALUATION

 

1°) : Calculer l’aire d’une sphère de 0,5 m de rayon

2 °) Calculer le volume d’une sphère de 0,50m de rayon :

3° ) Une sphère à un rayon de 70 mm quelle est son volume ?

4°)

Calculer :

-l ’aire totale

- le volume

de la sphère   avec les données suivantes :

R =

 

5°)

Une sphère a 640 cm3 de volume . Quel est le volume de la sphère ayant pour diamètre la moitié du diamètre de la première ?

 

6°)

Le rapport des diamètres de 2 sphères en cuivre est ½ . Si l’on mettait la plus grande sur le plateau d’une balance , combien faudrait-il mettre de petites sphères sur l’autre plateau pour obtenir l’équilibre ?

 

7°)

Quelle hauteur faut-il donner à une calotte sphérique ( rayon de la sphère 12 cm) pour que son aire mesure 96 cm2 ?

 

 

 

 

 

 

Problèmes :

 a)  Calculer le volume de gaz nécessaire pour gonfler un ballon sphérique de 18 m de diamètre .

 

b)  Un ballon sphérique a une contenance de 3,5 litres lorsqu’il est rempli jusqu’à la naissance du col. Quel est le rayon de ce ballon ?

 c )  Une bille sphérique à un diamètre de 75 mm . Quelle est sa masse  , la masse volumique du fer étant 7,8 g/cm3

d)

Le rapport des diamètres de 2 sphères est égal à 2/3 . Si la plus petite pèse 1 600 g , combien pèse l’autre ?

 

e)

Calculer l’aire de la calotte sphérique hachurée .

 

 

5.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné   ;  avec  R = 12 cm   et  R = 2 m

 

 

 

 

6.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné  ;  avec  R = 2,5 cm   et  R = 0,15 cm

 

 

 

 

 

 

7.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R »  donné ;  avec  R = 31 cm   et  R = 1,45 m

 

 

 

 

 

8.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné tel que   ;

 avec  2 R = 40 000 km

 

 


INTERDISCIPLINARITE

 

1°  ) Quelle est l’aire de la surface d’un ballon sphérique qui a 10m de diamètre ?

 

2° ) Une tour ronde  de 15,70 m de circonférence  est surmonté d’une coupole. Trouver l’ aire de la surface de cette coupole.

 

3°) Une boule de pétanque   à un diamètre  de 70 mm quelle est son volume ?

 

          Quelle est sa masse sachant qu’elle est en acier ? (masse volumique du fer 7,8 kg.dm-3)

          Quelle est sa masse sachant qu’elle est en cuivre  ? (masse volumique du fer 8,8 kg.dm-3)

 

4°) Un vase cylindrique de 7 ,4 cm de rayon et 0,24 m de hauteur est plein d’eau . On y plonge une bille de billard de 84 mm de diamètre . Combien reste – t- il de centilitres d’eau dans le vase ?

 

 

5°) Dans l’un des plateaux d’une balance , on met une boule de fer de 2cm de rayon , et dans l’autre , une boule en ivoire de 10 cm de diamètre.

De quel côté penchera la balance et quel poids  faudra-t-il ajouter de l’autre côté pour rétablir l’équilibre ? La densité du fer est de 7,8 et celle de l’ivoire 3,8

pan>