Pré requis:

Le cercle  et disque

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La sphère définitions élémentaires.  

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Le formulaire

(suite)

Info :

Les solides de révolution.

 

Les volumes (liste de cours)

DOSSIER : SPHERE ( 3 /3 ): calcul d’aire et volume

1.      Aires  ( sphère et fuseau , zone sphérique et calotte sphérique )

2.    volume d’une sphère

 

3.    ( sphère et onglet ; secteur sphérique, segment sphérique )

 

 

TEST

          

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

1°)Interdisciplinarité :

2°) La sphère terrestre.

3°) A la fin des travaux auto formatifs vous trouverez  des problèmes

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

RAPPEL : 

 

Une sphère est un solide limité par une surface courbe dont tous les points sont équidistants d’un point intérieur appelé « centre ».

Rayon d’une sphère :

Le rayon « r » de la sphère est une droite qui va du centre à un point quelconque de la surface.

 

 

 

 

LES  CALCULS :

 

I )   Aire d’une sphère (ou  surface sphérique ):

 

L’aire d’une surface sphérique est égale  au produit de  la longueur de la circonférence d’un grand cercle par le diamètre .

On dit aussi : l’aire d’une surface sphérique est égale à 4 fois le produit de « pi » par le carré du rayon 

 

Soit A = 2pr 2r     ou  A = 4 pr2

On dit encore que l’aire est proportionnelle au carré du rayon.

Elle vaut  quatre fois l’aire d’un grand cercle.

 

Application :

                          Calculer l’aire d’une sphère de 0,5 m de rayon

résolution

A = 0,50,5 4 3,1416

A = 3,1416 m2

 

 Aires de parties remarquables ( fuseau  et zone et calotte ) :

 

Fuseau

« a » lire « alpha »

Le fuseau est la partie de sphère limitée par deux demi- grands cercles de même extrémités :

L’aire est : A = 2a R²

 

Où  « a » désigne  l’angle des demi – plans ( en radians)

 

L’aire est proportionnelle à l’angle ; si a = 2p , on retrouve l’aire de la sphère.

 

Zone sphérique :

 

Une zone sphérique est la partie d’une sphère  comprise entre deux plans parallèles .Si l’un des plans est tangent à la sphère , la zone porte le nom de « calotte sphérique ».

L’aire A de la zone limitée par des plans à la distance « h » est :

                  A = 2pRh

 

 

Calotte sphérique :

 

La calotte  est l’une des deux parties de la sphère  découpées par un cercle .

              A = 2pRh

 

Cette formule se retient facilement : c’est l’aire du cylindre de rayon « R » et de hauteur « h ».

INFO :

Sur la terre , la zone comprise entre deux tropiques est la zone torride . Les calottes limitées par les cercles polaires sont les calottes glaciaires . les zones limités par un tropique  et un cercle polaire d’un même hémisphère sont les zones tempérées .

 

 

II )  VOLUME de la SPHERE ( ou boule) :

 

VOLUME de la SPHERE : le volume est proportionnel au cube du rayon.

Le volume de la sphère est égale au tiers du produit de son aire par le rayon :

 

 

V =   4 pr2r

Soit

 

V =

 

ou   ( r = R )

 

Application :

1°)Calculer le volume d’une sphère de 0,50m de rayon :

Résolution :

on sait que V =   donc V = = 0,5236 m3

2°) calculer le rayon d’une sphère dont le volume est 200 cm3

 

200 =     donc R3  =    =  ;  R =  = » 3,63 cm

 

 

Résolution   par les log.

3 log R = lg 150 + log =  2,17609  + , 50285

3log R = 1,67894

log R = = 0,55965 ; soit R » 3,63 cm

Autres exercices résolus :

 

1.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné   ;  avec  R = 12 cm   et  R = 2 m

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 12 cm

 ;  ;

V    7238  cm3  

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 2 m

 ;

 

V      33,5   m3 

 

 

 

 

2.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné  ;  avec  R = 2,5 cm   et  R = 0,15 cm

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 2,5 cm

 ;  ;

V    ( 65,4  )  cm3  

·        Calcul de « V » , en centimètres cubes , pour R = 0,15 cm

 ;

 

V    ( 14 x 10 -3 )  cm3 

 

 

 

 

 

 

 

3.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R »  donné ;  avec  R = 31 cm   et  R = 1,45 m

·        Calcul de « V » , en mètres cubes , pour R = 31 m

 ;  ;

V    ( 124,8  x 10 3 )   m3   

·        Calcul de « V » , en mètres cubes , pour R = 1,45  m

 ;

 

V    ( 12 , 77 )   m3 

 

 

 

 

 

4.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné tel que   ;

 avec  2 R = 40 000 km

 ;

 

 

V    1,081  x 10 12   km3   ;

 

 V    1,081  x 10 21 m3 

 

Volumes de parties remarquables :

 

Onglet

 

L’onglet est le solide limité par la sphère et deux demi – plans passant par un même diamètre .

Le volume est =  a R3

Où a désigne l’angle des demi – plans ( en radians)

Nota : si a = 2p , on retrouve  le volume de la sphère.

 

 

Secteurs sphériques

 

Le secteur sphérique est le solide engendré par un secteur circulaire tournant autour d’un diamètre qui ne le traverse pas .

V= a R2 h

 

Le volume du secteur sphérique est le tiers  du produit  de la zone qui le limite par  le rayon de la sphère.

 

Lorsque   h = 2R, on retrouve le volume de la sphère.

 

 

 

 

 

Segment sphérique (à une base)

 

Le segment sphérique est le solide limité par la sphère et deux plans parallèles.

C’est donc la partie de l’espace limitée par un zone et deux disques.

Le volume du segment sphérique à une base est :

V =  h² ( 3 R – h )

 

Si l’on remplace  h par 2R , on retrouve le volume de la sphère.

 

Segment sphérique ( à deux bases)

 

Le volume du segment sphérique à deux bases s’en déduit par différence.

 

 

 

INFO terre :

(pré requis : les puissances de dix)

Les rayons moyens

On en déduit :

 

L’Aire

Le volume

De la terre :Rt = 6,370106 m

At= 5,0991014 m²

Vt = 1,0831021 m3

De la lune : RL = 1,738106 m

AL= 3,7961013 m²

Vt = 2,1991019 m3

Du soleil : RS = 6,960108 m

AS= 6,0871018 m²

Vt = 1,4121027 m3

 

 

Pour information

 

La masse  de la terre   = 5,9771024  kg

La masse de la lune  = 7,3521022  kg

La masse du soleil  = 1,989 1030  kg

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°) a quoi est égale l’aire d’une sphère ? donner la formule !

2°) a quoi est égale le volume d’une sphère ? donner la formule !

EVALUATION

 

1°) : Calculer l’aire d’une sphère de 0,5 m de rayon

2 °) Calculer le volume d’une sphère de 0,50m de rayon :

3° ) Une sphère à un rayon de 70 mm quelle est son volume ?

4°)

Calculer :

-l ’aire totale

- le volume

de la sphère   avec les données suivantes :

R =

 

5°)

Une sphère a 640 cm3 de volume . Quel est le volume de la sphère ayant pour diamètre la moitié du diamètre de la première ?

 

6°)

Le rapport des diamètres de 2 sphères en cuivre est ½ . Si l’on mettait la plus grande sur le plateau d’une balance , combien faudrait-il mettre de petites sphères sur l’autre plateau pour obtenir l’équilibre ?

 

7°)

Quelle hauteur faut-il donner à une calotte sphérique ( rayon de la sphère 12 cm) pour que son aire mesure 96 cm2 ?

 

 

 

 

 

 

Problèmes :

 a)  Calculer le volume de gaz nécessaire pour gonfler un ballon sphérique de 18 m de diamètre .

 

b)  Un ballon sphérique a une contenance de 3,5 litres lorsqu’il est rempli jusqu’à la naissance du col. Quel est le rayon de ce ballon ?

 c )  Une bille sphérique à un diamètre de 75 mm . Quelle est sa masse  , la masse volumique du fer étant 7,8 g/cm3

d)

Le rapport des diamètres de 2 sphères est égal à 2/3 . Si la plus petite pèse 1 600 g , combien pèse l’autre ?

 

e)

Calculer l’aire de la calotte sphérique hachurée .

 

 

5.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné   ;  avec  R = 12 cm   et  R = 2 m

 

 

 

 

6.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné  ;  avec  R = 2,5 cm   et  R = 0,15 cm

 

 

 

 

 

 

7.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R »  donné ;  avec  R = 31 cm   et  R = 1,45 m

 

 

 

 

 

8.       

Déterminer le volume d’une sphère  de rayon « R » donné tel que   ;

 avec  2 R = 40 000 km

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

1°  ) Quelle est l’aire de la surface d’un ballon sphérique qui a 10m de diamètre ?

 

2° ) Une tour ronde  de 15,70 m de circonférence  est surmonté d’une coupole. Trouver l’ aire de la surface de cette coupole.

 

3°) Une boule de pétanque   à un diamètre  de 70 mm quelle est son volume ?

 

          Quelle est sa masse sachant qu’elle est en acier ? (masse volumique du fer 7,8 kg.dm-3)

          Quelle est sa masse sachant qu’elle est en cuivre  ? (masse volumique du fer 8,8 kg.dm-3)

 

4°) Un vase cylindrique de 7 ,4 cm de rayon et 0,24 m de hauteur est plein d’eau . On y plonge une bille de billard de 84 mm de diamètre . Combien reste – t- il de centilitres d’eau dans le vase ?

 

 

5°) Dans l’un des plateaux d’une balance , on met une boule de fer de 2cm de rayon , et dans l’autre , une boule en ivoire de 10 cm de diamètre.

De quel côté penchera la balance et quel poids  faudra-t-il ajouter de l’autre côté pour rétablir l’équilibre ? La densité du fer est de 7,8 et celle de l’ivoire 3,8

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