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DOSSIER :
FONCTIONS LINEAIRES / Pourcentages
/ Objectif
cours 45 |
Pré requis
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Fractions équivalentes (égalité de
deux fractions ) |
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Multiplication de deux fractions |
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Multiplication d'une fraction par un nombre |
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A propos de "a%" (notions) |
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
Et sommaire |
DOSSIER : Le POURCENTAGE : a%
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TEST |
COURS
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Rappel : on appelle
« grandeur » tout nombre associé à une unité de mesure.
Définition de l’objectif : tout savoir sur une donnée statistique
exprimée en « a % » (Pourcentage)
« a % » :
Cette
écriture est utilisée en « statistique »
« a » est une partie d’un
« échantillon » de 100 "éléments" ou
« individus »
C’est un coefficient: On l’appelle dans certains domaines: « taux » :
Exemples :
« taux d’intérêt d’emprunt
» , « taux d’imposition sur les revenus », « taux de
cotisation à la caisse de retraite» ; « taux de remise » ,
« taux de majoration » .......
Traduction littérale de « a% »
: « a » est un nombre entier ;
« a % » lire
« a » « pour cent ».
Exemple :60 % : lire soixante pour cent.
Traduction mathématique de « a% » :
« a
% » s ’ écrit sous forme de fraction de
numérateur égal à « a » et de dénominateur égal à « 100 » :
Important:
et par
exemple : 
La fraction 60 /100 c’est aussi le nombre décimal :
0,60 .
Explication concernant l ' écriture : 60 % ; Cette
écriture est une donnée
« statistique » .
Par exemple : 60 %
d’élèves de l’établissement ont
obtenu leur CAP Ebéniste ,( cela est une donnée statistique. )
*commentaire :
On ne connaît pas le nombre d’élèves reçus , ni le nombre d’élèves qui
ont passé ce CAP.
On peut simplement dire
que sur 100 élèves qui auraient passé cet examen « 60 » de ces
élèves (qui ont passés ce CAP) l’ont obtenu.
Ce que l’on
peut affirmer :
60%
est égal au nombre d’élèves reçus (noté « Er » ) sur le nombre d’élèves
candidats ( Ec )à l’obtention du CAP
ce qui peut se
traduire en mathématique :
Exemple :
Si 60 % des élèves
ont obtenu le CAP , combien d’élèves ont été reçus au CAP sachant qu’ils étaient 75 candidats ?
Procédure de résolution :
1°) On pose la relation
(1 ) 
Les élèves candidats sont « les
éléments de l ‘ ensemble de
départ » ( noté : Ec) ;
Les élèves reçus sont « les éléments de l ‘ ensemble d
‘arrivée » ; noté Er
2°) On identifie :
« a » = 60 ; E r est ce
que l’on cherche (éléments de l’ensemble d’arrivée) ; E c = 75 (éléments de l’ensemble de départ )
3°) On remplace dans (1)
4°) Transformation et calcul :
Nous pouvons calculer la quatrième proportionnelle :
Soit
60 fois 75 = 4 500 et
4 500 : 100 = 45 ; donc
45 = E r
5°) Conclusion : 45 élèves ont été reçus à l’examen CAP
d’ébéniste
50% 10% 40%
Représentation
graphique des 60 %
( 50 %+10% )
On retiendra :
·
« a% » est une donnée statistique qui se met sous la forme d’une
fraction qui s ‘ écrit :
a / 100 ou la fraction : 
·
« Prendre le « a % » « d’un nombre » (ou d’une grandeur) , c’est rechercher
par le calcul , la valeur numérique d’une partie de ce nombre ( ou
grandeur), représenté par ce « a
%. »
· Le pourcentage est une "application
" de la fonction linéaire ; le
« a% » est le coefficient de proportionnalité de la fonction
linéaire.
Et appliqué à la fonction linéaire cela
donne : 
Par transformation mathématique : (produit en
croix : voir GP1 :grandeurs proportionnelles) :
devient : a x = 100 y
Calcul : Pour obtenir « y » ; on divise
les deux membres par 100 (Voir EG4 : Théorèmes sur les égalités)
En nous
reportant au modèle mathématique ( y = ax
)de la fonction linéaire ; nous pouvons écrire que (appliqué au
pourcentage) :
ou y = a % x
Remarque :ce modèle
est celui couramment utilisé pour calculer ce que représente
« a% » d’une grandeur.
Dans tous les cas :
·« y »
représente les éléments de l’ensemble d’arrivée .(c’est une valeur numérique (
45 élèves reçus )qui représentera la
partie de la grandeur de départ (75 candidats à l’examen)
·« x »
représente les éléments de l’ensemble de départ. (C’est un nombre ou une
grandeur qui représente l’ensemble de la « population » sur
lequel s ’ applique ce pourcentage , (75
élèves candidats))
·
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Signification du « y » au sens
« économique » : |
« y » peut représenter « une augmentation » :
on lui donnera le nom de « taxe » ; « majoration » ,
un « agio » ;
ou
« y » peut représenter « une diminution » : on lui donnera le nom de
« remise » ,de « rabais » ; un escompte….. ;
·
résoudre un problème sur les pourcentages c’est
savoir, en fonction de l’ énoncé ,
surmonter 3 difficultés suivant
le cas:
-
chercher « a »
-
chercher « y »
-
chercher « x » .
I ) DETERMINATION
D ’ UN POURCENTAGE, (« a % »)
Rechercher
ce que représente en pourcentage la
partie d’une grandeur donnée: « a » Pour donner la réponse sous la forme de
« a% » ,il suffit de calculer « a ».
soit la relation :
exemple : Que représente en pourcentage 45 élèves reçus sur 75 ?
Procédure : pour le calcul de « a »
1°) on pose :
2° ) on identifie « y » = 45
(ensemble d’arrivée) ; « x »= 75
(ensemble de départ)
3°) on remplace dans la relation :
4°) On calcul
(produit en croix)
« a » = 100 fois 45 /
75
« a » = 4500 / 75
« a » = 60
5°) Conclusion : si « a » = 60
; alors « a% » = 60% ; On a donc
60% d’élèves reçus à l’examen.
II)
Problème appelé :
POURCENTAGE DIRECT
Calcul de « y » ou Rechercher ce que représente ; en
nombre ; le « a% » d’un
nombre ou d’une grandeur :
Soit la relation : ou y = a% de x )
Exercice : 75 élèves se sont présentés au CAP
d’ébéniste ;on nous dit que 60% des élèves sont reçus. Quel est le nombre de « reçus » ?
Procédure de résolution : calcul
de « y »
1° ) On
énonce que : y = 
(1)
2° ) On
identifie : « a » = 60
; « x »= 75 ( éléments de l’ensemble de départ ) ;
« y »= éléments e l’ensemble d’arrivée.
3° ) On
remplace dans la relation (1)
y = 
4°)
Calcul : ( voir
Obj , : QIII multiplication d’une
fraction par un nombre)
cela donne
a) on
transforme : devient 
b) on
transforme :
c)
opération : 4500 / 100 = 45
5°)
Rendre compte (conclusion) :
Il y a 45 élèves reçus sur 75
III
) Problème
appelé : POURCENTAGE INDIRECT
Objectif : Calcul de « x » ou
Rechercher le nombre de départ
« x » qui a permis d’obtenir
le nombre d’arrivée « y » en fonction de « a% » .
Exercice :45
élèves ont été reçu a l’examen
.Ils représentent 60% des élèves qui se
sont présentés à cet examen. Quel était le nombre d’élèves candidat a cet examen ?
Procédure : Calcul de « x »
1° ) On pose : ; ou ( y =
a% x)
2° ) On identifie :
« a » = 60 ; « x » = ensemble de départ ; « y » = 45
3° ) On remplace dans (1)
;
ce qui donne 
4°) Calcul :
(produit
en croix)
x 
60
= 100 45
60 x =
4 500 (voir EG4 :transformation d’égalités )
x = 4 500 /
60
x = 75
5°) Conclusion :
75
élèves été candidats à l’examen CAP ébéniste
, (dont 45 ont été reçus ;cela représentant 60% des candidats )
Pour chaque cas : Ne pas oublier de vérifier
TRAVAUX AUTO – FORMATIFS.
1°) Traduire en langage littérale :
« a% »
« 10% »
On dit que a% est une donnée : qu’est ce que cela
signifie ?
2°) Traduire sous forme mathématique :
« a% » ;
« 60% »
3°) Le pourcentage est une application de la
fonction linéaire ,justifier. !
4°) Soit l’écriture : y =
que représente ou signifie chaque partie de cette égalité ?
« y » , « a /100 » , « x »
5°) Soit l’égalité
mathématique : =
Transformer cette égalité :
a =
?
y =
?
x =
?
CONSIGNES :
Pour chaque exercice ou problème vous devez pour rendre compte indiquer les
étapes successives de votre démarche :
1°
) Donner l’équation mathématique .
2°
) Identifier les éléments : « a » = ; « y » = ;
« x » =
3°) Remplacer dans la relation (1)
4°) Faire les transformations et ou calcul
5° Rendre compte
Niveau I
1. Calculer
3% de 100.
2. Calculer 18.6% de 320.
3. Calculer 110% de 400.
4. Prendre 3,7%
de 100
Niveau II :
1. ) 30 est une partie de 120 ; quel pourcentage de 120 représente
30 ?
2. ) 25
est une partie de 100 ; quel
pourcentage de 25 représente 100 ?
3. ) 25
éléments représentent 25 % d ‘un
ensemble d’éléments , combien contient
d’éléments cet ensemble ?
4. )
30 éléments représentent
30% d ‘un ensemble d’éléments , combien contient d’éléments cet ensemble ?
Calculer ce que
représente en « a% » ; 30 par rapport à 150.
Niveau III :
1° ) 30 éléments
représentent une partie d’un ensemble qui en contient 100 ; quel est
en pourcentage, ce que 30 représente par
rapport à l’ensemble « 100 ».
2° ) 28 éléments représentent une partie d’un
ensemble qui en contient 112; quel est en pourcentage, ce que 28 représente par
rapport à l’ensemble « 112 ».