Pré requis:
|
Fonctions
pré requis |
||
|
Les fonctions informations |
|
|
|
Pré requis (calculs) |
|
Cours fin de troisième –BEP –
Seconde. |
ENVIRONNEMENT du dossier:
|
Retour vers accueil « warmaths » |
Objectif précédent : |
Objectif
suivant : |
Tableau |
|
|
|
|
|
DOSSIER : NOMENCLATURE :
« FONCTION » et « APPLICATION »…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
|
|
Préambule : |
Exemples d’une Représentation graphique d’une
fonction ou d’une fonction.(voir la définition ci dessous) |
|
Exemples de tracés représentant une
fonction :
|
|
|
|
|
A une valeur de « x » correspond au plus une valeur de
« y » |
Exemples de tracés ne représentant pas
une fonction :
Remarquez qu’ à une valeur de
« x » correspond plus d’une valeur de « y »
|
|
|
|
|
A une valeur de « x » correspond plus d’une valeur de
« y » |
Généralités :
vocabulaire
Préalable : recherchez dans le
dictionnaire les définitions du mot
« fonction » et « application »
|
Les ensembles de nombres;
sont désignés par les
lettres : N ;
D ;Q ;
D+ ; D- ; R ( pour les plus utilisés) |
|
l la lettre
« f » est utilisée pour
désigner le mot « fonction » .
l Pour définir une « fonction » il nous faudra deux ensembles de nombres; qui sont un
« ensemble de départ » et
un « ensemble d’arrivé » :
Le premier
ensemble de nombres que l’on prend
s’appellera « ensemble de
départ »
Les nombres (ou éléments) qu’il contient vont servir à « construire » un second ensemble
de nombres qui lui s’appellera « ensemble d’arrivée » .
-
Ensemble de
départ :
ò
Désignation : Un
ensemble (dit) de départ désigné est par
une lettre majuscule ; par commodité nous choisirons de le nommer par la
lettre « E » dans lequel chaque élément de l’ensemble sera représenté
par une lettre minuscule affecté d’un indice ( nous
choisirons la lettre « x ») .
ò Représentation
de l’écriture mathématique de l’ensemble de départ :
E = í x1 ; x2 ; x3 ;
......xn ý ou E = í x1 ; x2 ; x3
ý
-
Ensemble d’arrivé :
ò Un ensemble (dit)
d ’ arrivée est
désigné est par une lettre majuscule ; par commodité nous
choisirons la lettre « A » dans
lequel chaque élément de l’ensemble sera représenté par une lettre minuscule
affecté d’un indice ( nous choisirons
la lettre « y ») .
ò représentation de l’écriture
mathématique de l’ensemble d ’
Arrivée :
A = í y1 ;
y2 ; y3 ; ......yn
ý
ou A = í
y1 ; y2 ; y3 ý
l Information
sur l’expression « EN FONCTION » en « f »
en fonction
peut signifier « faire avec » ...quelque chose choisie ou imposée.
On peut faire en
fonction ...du temps
On peut faire en
fonction ...de l’outil disponible
On peut faire en
fonction .....des moyens dont on dispose.
òEn mathématique on trouve une valeur à
« y » en fonction d’une valeur
de « x » (choisie ou imposée) : au lieu d’écrire la phrase « y » en fonction d’une valeur de « x » , on la remplace
par (tout simplement) : y = f(x) )
« La valeur de l élément de
l’ensemble d’arrivée » ( y ) est obtenue
par le calcul et en fonction
de la valeur « donnée
ou choisie » de
« x » .
On
dit alors : qu’ «
il y a une
« relation entre y
et x » et on
le traduit
Traduction
mathématique : y R x (on utilise la lettre R pour
remplacer le mot « relation »)
«On dit
aussi : pour qu’il y ait une fonction il faut qu’il existe une relation
mathématique entre les éléments
de l’ensemble de départ et les éléments de l’ensemble d’arrivé »
Puisque
« y 1 » est obtenu en fonction de « x1 » ;
que « y2 » est obtenu en fonction de « x2 » ;
.......on peut remplacer « y1 »
par « f(x1) » ; « y2 » par
« f(x2) » ;
…….. ainsi de suite .
On
peut donc écrire et remplacer :
|
A = í
y1 ; y2 ; y3 ; ......yn ý |
par |
A= í f(x1) ;f(x2) ; f(x3) ;
......f(xn) ý |
|
Ou |
|
|
|
A = í
y1 ; y2 ; y3 ý |
par |
A = í
f(x1) ;f(x2) ; f(x3)
ý |
lExemple d’une situation de la vie courante où l’on utilise les
ensembles (de départ et d’arrivée) :
Un
automobiliste a observé sa consommation de carburant à différentes vitesses .Il
a obtenu le tableau suivant :
|
vitesse en Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en L |
5,4 |
6,2 |
6,9 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
L’ensemble
de départ est
« vitesse », que l’on
choisira de noter « V », elle est mesurée et donnée par un nombre
(élément de l’ensemble de départ)
donc V = í 50 ;60 ;70 ;80 ;90 ;100 ;110 ý
L’ensemble
d’arrivée est « consommation » , noté
« C » ;elle est mesurée
et donnée par un nombre (élément de l’ensemble d’arrivée) :
donc
C =í 5,4 ;
6,2 ; 6,9 ; 7,8 ; 8,7 ;9,3 ;
10, 1 ý
òAnalyse du tableau :
òOn remarque : qu’il y a autant
d’éléments dans l’ensemble
« V » que dans
l’ensemble « C »
que chaque élément de « V » à « pour image » un
élément de « C »
(par exemple : 70 à pour image 6,9)
Convention :
On
remplacera l’expression « a pour image » par le
dessin : 
( flèche orientée de
vers la droite, la flèche aura un talon (trait vertical lié) )
Ainsi dans l’exemple ,
on remplacera l’écriture « 70 a
pour image 6,9 » par l’écriture 706,9
En
généralisant :Si v1 est un
élément de « V » et c1 l’élément
correspondant « C » ,on
dira que :
« v1 a pour image c1» ;
on traduira en écriture mathématique : v1c1
il y a fonction de « V » vers
« C »
On remarque qu’à
chaque élément de « V » correspond un élément unique de « C », on
dira que l’on a une fonction de
l’ensemble « V » vers l’ensemble « C ».
Par convention :
on remplacera le mot vers par le
symbole : 
; (c’est une flèche simple(sans talon) orienté
vers la droite )
On
remplacera l’expression : il y a
fonction ( f ) de « V » vers « C »
par
L’écriture : f : V C
Qu’il faudra traduire
par :
il y a fonction de l’ensemble de départ
« V » vers l’ensemble d’arrivée « C » .
« Fonction »
lGénéralisation :
On
dira qu’il y a « fonction » de
l’ensemble de départ (
E) vers l’ensemble d’arrivée ( A),si à chaque élément de l’ensemble de
départ correspond un élément unique ( 0 ou 1 image ) de l’ensemble d’arrivée.
Notation (traduction en
écriture symbolique ) f
: E A
Traduction
en écriture littérale :
de f : E
A
« f :
» Lire : il y a
fonction
«
E » Lire :
de l’ensemble de départ nommé « E »
« » Lire : la flèche signifie « vers »
« A
» Lire :
L’ensemble d’arrivé .nommé « A »
nota concernant les
ensembles (les plus usités) :
Les ensembles sont des ensembles de
nombres : N ;
D ; D± ; R ;….
ò On précisera : Si « x1 »
est un élément de « E » (ensemble de départ) et « y1 » l’élément de
« A » (ensemble d’arrivée),
on dit que :
« x1 » a pour image « y1 ».
nota : On dira aussi que « y » est
l’image de « x » par f.
Exemple : on écrit f ( 3) = 6 : on dit que : « 6 » est
l’image de « 3 » par f….
le groupe de mots :
« x » a pour image « y » se
notera : x y (info : On remplace le « a pour image » par une
« flèche à talon ») :
Notation complémentaire ( traduction en
écriture mathématique ) x y
On désigne « la fonction » par la lettre « f », , l’image de
« x » (cette image « y » est obtenue en fonction de la valeur de « x ») se note alors
f(x) (
lire : éff
de ixe)
Ainsi l’écriture : x
y peut
s ’écrire ,aussi, x f(x) ;
Ces deux
écritures mathématiques sont équivalentes.
Nota : « antécédent » : on peut aussi dire
que « y » est l’antécédent de « x » par f (x)
Exemple : si
on écrit f ( 3) = 6 : on dit que
l’antécédent de « 6 » par f est « 3 ».
Plus précisément un exemple
d’application ::
soit la table de multiplication des
« 2 » ; je dis que cette
table correspond la fonction ( que je reconnais comme
étant la forme de la fonction dite : linéaire): f(x) = 2x
j’écris aussi que x x y
et appliqué au cas : x
2x
( je
dis que « x » (dans l’ensemble des nombres de départ) à pour image « 2x » (dans l’ensemble des nombres d’arrivés ; valeurs
obtenues par le calcul « fois
2 » ) )
en résumé :
|
Soit la fonction |
f(x) = 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
Exemple 1 : Ce qui signifie que pour « x=3 » je fais le calcul 2
fois 3 ; j’obtiens « 6 » |
|
|
||
|
|
|
Exemple 2 : Ce qui signifie que pour « x = 7 » je fais le calcul
2 fois 3 ; j’obtiens « 14 » Et ainsi de suite ….. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si x = 3 |
Alors 3 |
Soit |
3 |
« 6 » |
|
|
|
|
|
« 3 » est l’élément de départ . |
|
« 6 » est l’élément dans l’ensemble
d’arrivé |
|
|
|
|
|
|
|
Et |
|
|
|
|
|
|
Pour obtenir « 6 » j’ai fais le calcul
« 2 » fois « 3 » Alors je peux dire que « 3 » est
l’antécédent de « 6 » dans la fonction : f(x) = 2x |
|||
|
|
|
|
Pour obtenir « 14 » j’ai fais le calcul
« 2 » fois « 7 » Alors je peux dire que « 7 » est
l’antécédent de « 14 » dans la fonction : f(x) = 2x |
|||
ò Pour étudier une fonction on nous donne
souvent une relation (désignée par la lettre :R. ) mathématique qui nous
permet de calculer une valeur « y »
en fonction de la valeur de
« x » (choisie ou imposée)
exemples :
·
la relation qui lie « x » à
« y » est 2x ; on peut
alors écrire f ( x
) = 2x
·
la relation qui lie « x » à
« y » est 2x +1; on
peut alors écrire f (
x ) = 2x +1
·
la relation qui lie « x » à
« y » est 2x² +1 ; ; on peut alors écrire f ( x ) = 2x²+1
Cette relation (R. ) devient le deuxième membre de l’égalité : y = ...R. ... ; que l’on appelle
« équation » (voir
définition du mot : équation).
La valeur de « y » étant
obtenue en fonction d’une valeur donnée à « x » on peut écrire
que :
y =
f(x) = R. (contenant la variable x »)
òlEn écriture
mathématique on présente la
« fonction » de la façon suivante :
Forme générale :
|
f : E x
avec y =
........ |
Lire : Il y a
« fonction » de l’ensemble des nombres E vers l’ensemble des nombres A où «
x » à pour image f(x) Dans une
application : A et E seront
remplacés par des lettres désignant chacune un ensemble de nombres Et f(x)
sera remplacée par
la relation mathématique
exprimée en fonction de la
variable « x ». |
Exemple :
|
f : R
x
|
Lire : Il y a
« fonction » de l’ensemble des nombres Réels vers l’ensemble des
nombres Réels où « x » de l’ensemble de départ à pour image
« 2x » dans l’ensemble d’arrivé. Ce
qui permet d’écrire que si f(x) = 2x
alors la fonction aura pour équation « y =2x » Ainsi : f (3) = 6 ; :
Alors on peut écrire que :
|
*la relation
« 2x » : cette relation permet de prendre des nombres
dans l’ensemble R et de construire un autre ensemble R ;
Remarque : L’ensemble des
nombres désigné par la lettre R , contient
tous les nombres dit : les Réels ( relatifs ;
décimaux ; rationnels ;irrationnels ...............)
|
a) |
f : N x |
La relation est du premier degré : ( forme :
linéaire), Ce qui permet d’écrire l’équation y = 2,5x ,
cette forme sera utilisée pour faire
une représentation graphique dans un repère cartésien. |
|
b) |
f : N
x |
La relation est du premier degré : ( forme :
affine ) Ce qui permet d’écrire l’équation y = 3 x + 2 |
|
c) |
f : R
x |
La relation est du second degré :l’équation est y
= 2x2 +3x -1 |
Une fonction
peut être représentée par un tableau
Lattention : il y a quatre
modes de représentations utilisés en
mathématique pour « parler » d’une fonction ; Info plus :cliquer ici )
Dans les exemples
qui suivent les tableaux sont donnés tel quel ,
on ne connaît pas la relation qui a permis de le remplir, on veut se poser la question : le tableau numérique
représente - t- il une fonction ou pas ?
òlTableau représentant une fonction :
Exemple :1
|
vitesse en Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en l |
5,4 |
6,2 |
6,9 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Exemple :2
|
vitesse en Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en L |
5,4 |
6,2 |
|
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Commentaire : Ces deux tableaux représentent une fonction ,parce
que chaque élément (nombre) de
l’ensemble de départ (vitesse) fait correspondre 1 élément (au plus !)
dans l’ensemble d’arrivée (consommation).
òlTableau ne représentant pas une fonction :
Exemple :3
|
vitesse en
Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en l |
5,4 |
6,2 |
6,9 / 7.3 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Exemple : 4 :
|
vitesse en
Km/h |
50 |
60 |
60 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en L |
5,4 |
6.2 |
6,9 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Commentaire : l’élément 70 dans l’exemple
3 et 60 dans l’exemple 4 ont deux
images dans l’ensemble d’arrivée, ces
deux tableaux ne représentent pas une « fonction »
« APPLICATION » si il y a « fonction »
, il peut y avoir
« application »
òRelation entre fonction et
application :
Une fonction
est une application si tout élément de l ’ensemble de
départ à une image ,et une seule, dans l’ensemble d’arrivée .
òAttention :Toutes les fonctions ne sont pas des applications :
òTableau représentant une application :
Exemple
5 :
|
vitesse en Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en l |
5,4 |
6,2 |
6,9 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Commentaire : ce tableau représente une fonction et une
application , à chaque élément de l’ensemble de départ
correspond un élément dans l’ensemble
d’arrivée.
òTableau ne représentant pas une application :
Exemple 6 :
|
vitesse en Km/h |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en l |
5,4 |
6,2 |
|
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Exemple 7 :
|
vitesse en Km/h |
0 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Consommation en l |
|
6,2 |
6,9 |
7,8 |
8,7 |
9,3 |
10,1 |
Commentaire : les
deux tableaux (6 et 7
) ne sont pas des applications parce qu’il manque une image dans
l’ensemble d’arrivée.
TRAVAUX AUTO - FORMATIFS.
1°) Les lettres majuscules N ; D ;
R désignent des ensembles de
nombres ; donner le nom de ces nombres.
2° ) Quelle lettre
utilise t - on pour désigner « une
fonction » ?
3° ) Combien
d’ensembles de nombres met en jeu une fonction ?
4° ) Quel nom donne t
- on à ces deux ensembles ?
5° ) Traduire « »
6°) Traduire en langage littéral « f(x) »
7°)
Traduire en langage littéral « y x »
8°)
Dites ce que vous savez sur l’écriture (signification) A = í f(x1) ;f(x2) ; f(x3) ý
9° ) Traduire : ( quel signification on chaque lettre
est signe ?)
v1c1
v1 :.............................................
:.................................
c1 :.......................................................
10°) Idem :
f : V C
f :
......................................
V :.................................
...............................
C
...............................
11° )Qu’est ce qui
permet d ’ obtenir limage de « x » ?
12
°) Quand dit-on qu’il y a fonction ?
13°)
Que faut-il pour qu’une fonction soit une application ?
14° )Peut-on dire que toutes les fonctions sont des applications ?
Parmi ces tracés barrer les
représentants d’une
non - fonction :
|
Ici :
Tracer une non fonction |
|
|
|
|
|
Ici :
Tracer une « fonction » |
|
|
|
|
I I )
TRADUIRE :
a) f : N R
x 2, 5 x
b ) f :
N D
x 3x +2
c) f : R R
x 2x2 +3x -1
Dire si la relation qui existe entre les éléments
de l’ensemble E et les éléments de l’ensemble F est une fonction , et une application . Justifier votre réponse .
on donne x Î E et
y Î F
N°1
|
x |
62 |
79 |
124 |
156 |
163 |
182 |
195 |
|
y |
33 |
45 |
57 |
87 |
96 |
135 |
167 |
N°2
|
x |
62 |
79 |
124 |
156 |
163 |
182 |
195 |
|
y |
33 |
45 |
|
87 |
96 |
135 |
167 |
N°3
|
x |
62 |
79 |
124 |
156 |
163 |
182 |
195 |
|
y |
33 |
45 |
57 |
87 ;135 |
96 |
|
167 |
N°4
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
y |
7 |
7 |
9 |
11 |
15 |
17 |
19 |
N°5
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
7/5 |
8 |
2 |
|
y |
2 |
3 |
2 |
5 |
7 |
3 |
5 |