Pré requis: 

Lire : les notions sur les grandeurs proportionnelles.

 

Proportionnalité et produit en croix

 

Fraction nomenclature

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Fractions équivalentes  (égalité de deux fractions)

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ENVIRONNEMENT du dossier :

Index   Boule verte

Objectif précédent   Sphère metallique

L’égalité de deux fractions

Objectif suivant :

1°) la règle de trois Sphère metallique

Tableau Sphère metallique 97/98 / 165

 

DOSSIER :    PRODUIT EN CROIX et règle de trois

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

 

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 >>>> Devoir type.

 

 

 

 

 

COURS

 

Partie  1 (vue au collège )  ( info sos)

Simplifions :      :      =        et         , vous en déduisez  que 

 

Calculez :     ;     ; vous constatez que :          

 

On dit parfois que     est l’égalité des « produits en croix »

Sos- produit en croix .

 

 

·      Vérifiez que   représentent le même nombre : ………….

 

·       Puis vérifiez  en effectuant le produit en croix : 8 fois 21 =  168    et      14 fois 12 =    168

 

Ce que vous venez de constater sur deux exemples , nous allons le prouver dans le cas général :

 on a :

 

On peut écrire       et comme    alors    

 

                                             Puisque      représentent le même nombre et ont le même dénominateur , alors elles ont le même dénominateur  donc : 

 

En définitive : s i           alors    

 

 

Inversement : Considérons deux écritures fractionnaires              telles que     

 

Cherchons si         .

 

Puisque :     alors             et après simplification ,        

 

En définitive , si   :     alors           

 

ON résumera alors ces deux propriétés en un seul énoncé :

A retenir :

« a », « b » , « c » , « d » sont des nombres et « b » et « d » sont des nombres non nuls ;

 

Dire que :                    c’est dire  que   

 

 

On peut ainsi savoir si deux écritures fractionnaires représentent la même nombre.

On vérifie l’égalité  des « produits en croix »

 

 

 

 

 

 

Partie 2  .

 

 

 

IMPORTANT:

On dit que "Deux fractions sont équivalentes si .......on peut le vérifier " ?    Par  le produit en ...croix.

 

    Procédure permettant de vérifier si deux fractions sont équivalentes:

 

                     Pour s’assurer    (ou vérifier)  que  deux   fractions sont équivalentes, il suffit de transformer l’égalité des deux fractions.

     1°)  On transforme ce   modèle mathématique:

 

                               =    

 

en une égalité de deux produit :

 

Le numérateur. de la .fract.1 « multiplié » par  Dénominateur .de la fract. 2  est égal au   Numérateur de la fract.2 « multiplié » par Dénominateur de la fract  1

   

 

      2°)  On effectue les multiplications

 

Numérateur..fract.1 multiplié par  Dénominateur .fract. 2

Résultat 1

Numérateur fract.2 multiplié par Dénominateur fract  1

Résultat 2

 

     3°)  et on compare les résultats :  résultat 1 = ? = Résultat 2

    

4°) On conclut:  (après analyse des résultats)

                         a)   si les produits sont égaux  ;les fractions sont dites équivalentes.

                          b)  si les produits ne sont pas égaux ;les fractions données ne sont pas égales

   

 

 

 

 Exemple:  On reprend l’exercice précédent:

Enoncé :    La fraction  22 /30  est-elle équivalente à la fraction  583/795 ?

 

On applique la procédure:

 

1°)   On énonce:

Si    est égale à           alors         22 x  795  est égal à   583 x 30

 

2°)  on effectue les calculs:

22 x 795  =  17 490

583 x 30 =  17 490

 

3°) on compare les résultats : 

 

Est ce que   22 x 795   est égal  à  583 x 30   .    après calcul  on trouve   ( 17490=17490)

 

4°)  On tire une Conclusion suivante :  les fractions     et   sont équivalentes;

 on peut donc écrire   que      =

 

 

En résumé:

 

 

     Deux fractions ( et    )     sont équivalentes (c’est à dire) :        =         si   «  Num.1  x  Déno.2 »  =  « Num.2 x Déno.1 »

 

 

Traduction en langage littérale:

 Deux fractions sont équivalentes si le produit du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction est égal au produit du numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction.

Remarques importantes:

 

                  On appelle cette méthode : le produit en croix.

 

 

Lorsque nous aborderons la leçon sur les proportionnalités on dira:   que le produit des extrêmes  est égal au produit des moyens  , (les extrêmes étant « Num.1 » et « Déno.2 », les moyens étant   « Déno.1 » et « Num.2 ») soit :

 

       =         si    extrème.1  x  extreme.2  =  moyen.1 x moyen.2

 

Applications :algèbre « résoudre »

 

avant de résoudre il faut transformer l ‘égalité donnée ;en appliquant  le produit en croix

 

 

=

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

= 

 

 

5x =123

 

75 = x 3

7 x  =   312

75  = 12 x

5x = 36

 

3  x  =   35

7 x   =   12

12 x  = 35

Pour résoudre :SOS cours

 

Pour résoudre :SOS cours

Pour résoudre :SOS cours

Pour résoudre :SOS cours

x= 36 / 5

x =   35  /  3

x =12 / 7

x =35 /  12

 

 

 

Utiliser pour calculer la quatrièmes proportionnelle

Cliquer  ici 3D Diamond

 

 

La règle de trois

La « règle de trois »    s ’ applique à  la forme mathématique  :   ?   (=  c  )

cette écriture doit se transformer sous la forme       = 

 

                                      tel que : =     ; l ‘ égalité est vraie si : ad = bc

 

 

 

Nous obtenons le produit « en croix » suivant :                     a d  =  c   b


 

CALCULS PARTICULIERS( utile en trigonométrie ; les proportions …..)

 

Domaines utilisant ce type de difficulté : le poids , la masse , la pression , la vitesse moyenne , ….  … )

 

Soit  la  forme :   « une fraction est égale à un  nombre »

                           (1)                   = c        ; on recherche ou « a » ou « b »

 

On transforme  le nombre "c"  sous forme de fraction  de  dénominateur égal à "1" tel que :     c =

 Alors obtenons une égalité équivalente  :

=

 

Voir l' égalité de deux fractions

SOS cours

 

                         

 Après transformation de l'égalité  =

 

 Et  en effectuant le produit en croix  on obtient :

                                            

                                                            a 1 =  c   b   

                                     

                                            (  soit    :     a = c b )

 

                            A partir de  la même égalité   =   , on obtient après transformation  " b "           

                            Ainsi   =   b     ;      ce qui donne      b =    

          

 EXERCICES :  d ' applications numériques

 

 

Calcul de "x" : procédure

Cas 1   )    =  5    ;

)transformer l'égalité:  =

 

 

2°) faire le produit en croix:      1x = 5 13

 

3°) faire le calcul :  1 x   = x ; 5 13  =  65

 

4°) vérifier si 65 : 13 =   à  « 5 »     réponse « oui »

 

5°)rendre compte :             x = 65

 

Cas 2 ) 

 13 : x   =  5  s'écrit        = 5 

1°) transformer l'égalité:  =

2°)  faire le produit en croix:

           113= 5  x

3°) faire le calcul :

                  5 x   = 5 x ;   1 13  =  13

4°) poser l'égalité

                       5 x  = 13

5°) transformer l'égalité

(on divise les deux membres par 5 ;SOS cours )

                  (5 x) : 5  = 13 : 5

6°) calculs :

(5 x) : 5 = x

13 : 5    = 2,6

7°) rendre compte :  x = 2,6

 

vérifier si 13 : 2,6 est  =   à  5    (oui)

c)       =  x

Aucun problème  :*

 

Faire la division 13 : 5  = 2,6

 

Conclure :  x  =  2,6

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

CONTROLE:

 

1 ° ) Enoncer la procédure permettant d’effectuer « le produit en croix ».

 

 

 

EVALUATION:

 

I) On nous donne deux fractions ; et   ;sont-elles équivalentes?  (prouvez le )

 

 

 

II  ) CALCUL   ALGEBRIQUE :

 

Transformer , par le produit en croix , les fractions équivalentes :

 =

 

 

 =

 

 

=

 

 

 = 

 

 

et encore :

a)   =  5      b)   = 7 ;

Interdisciplinarité

 

 

 

 

réponses :     a)     x = 13  5       ;      b )            13  = 7 x

ont-size:10.0pt;font-family:Arial;color:navy'>Interdisciplinarité