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Lecture et
étude :nomenclature sur des définitions basiques
et communes à tous. |
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Objectif suivant : 2°) Les inégalités (algèbre) |
Algèbre : les relations
d’ordre. |
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DOSSIER : Classification des
nombres entiers naturels . ( N
)
A) Les entiers naturels (
nomenclature)
2°) les relations d ' ordre dans N (inégalité)
3°) Encadrement : a < x <b ( double inégalités)
4°) Représentation graphique
des nombres entiers
5°) A propos d’ inégalité et de relation d’ordre :
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COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
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Corrigé évaluation |
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Rappels :
« nombre
entier naturel »
Un nombre entier naturel est un alignement horizontal de chiffre(s) ,il n’a ni signe (+ ou - ) et ne possède pas de virgule.(qui
sépare les chiffres en deux groupes)
Désignation mathématique de l ’ ensemble des
« nombres entiers naturels » (on dit aussi « les entiers
naturels » )
L ‘ensemble des nombres entiers naturels est
nommé avec la lettre :
N
Liste des entiers naturels :
Il est impossible de nommer tous
les nombres entiers naturels , on dit qu ‘il en existe « une infinité ».
On note « infini » avec
le symbole : « ¥ » (cela ressemble à un huit couché)
L ’
ensemble des nombres entiers naturels est noté
:
N = { 0 ; 1 ; 2 ;
3 ;....... ;136 ;...... ; 12547 ; ....….. ¥ }
Le plus petit nombre entier naturel est : 0
(pour en savoir plus sur le "zéro" : cliquer ici)
Info .nouvelles:
|
On
ne peut pas diviser par zéro► |
* Activité annexe ,
utilisez la calculatrice
On veut montrer « ce qui se passe » lorsque l’on divise le nombre 1 (le plus
petit nombre entier ) par un nombre inférieur à 1
et qui tend vers zéro.
Avec la calculatrice faire: :
1 divisé par 1 ;
noter le résultat =
1 divisé par 0.1 ; noter le résultat = 10
1 divisé par 0.01 ;
noter le résultat = 100
1 divisé par 0.001 ; noter le résultat =
1000
1 divisé par 0.000001 ;
noter le résultat =1000 000
remarque : 0,000001 est
plus près de zéro que 0,1
Plus le chiffre « 1 »
recule (dans la partie décimale ) plus le nombre tend
vers zéro.
Observez et comparez le résultat
de chaque opération.
On retiendra :
« lorsque l’on divise un
nombre par un autre nombre inférieur à
« 1 » , supérieur à zéro mais qui
« tend » vers zéro .Plus le nombre tend vers zéro , plus le résultat de la division ( quotient) devient grand .
On peut dire que le résultat tendra vers un
nombre infiniment grand ,
La division par zéro est impossible : exemple prenons un nombre au hasard (40) divisons
par zéro : 
résultat impossible
en effet 12 0
; il n’existe pas de
nombre « q » tel que 12 = 0
q
? = q
Conclusion : on ne
peut donc diviser par zéro.
Fin des rappels
PREALABLE: "classer" des nombres ; c'est
les « comparer » l'un par rapport à l' autre et les ordonnés
( on leur affecte un numéro d' ordre , ou de
rang ).
Autrement dit : Comparer deux nombres , c’est chercher lequel est le
plus grand ( ou le plus petit) ou dire s’ils sont égaux.
Le signe de comparaison placé entre deux nombres est
< ou >
Sens de lecture : «nombre
plus petit » < « nombre plus grand » , exemple : 2 <
3
« nombre plus grand » > «nombre plus petit » , exemple : 3
> 2
Autres exemples : 9 < 5 ; 7 >
3. remarque :
19 = 
est une
égalité ; elle ne sert pas à « comparer » ; l’égalité
exprime une valeur de deux façons différentes.
Procédure pour comparer deux nombres entiers :
·
Le plus petit est celui qui a le moins de chiffres .
·
S’ils ont le même nombre de chiffres , on
compare chiffre à chiffre à partir de la gauche .
Exemples :
a) comparons : 567 et 89
: 567 > 89 ( car 567 à 3
chiffres et 89 deux chiffres)
b) comparons 389 et 391 :
391 > 389 (
car dans 389 le chiffres des dizaines est plus petit que dans 391)
L’écriture
suivante 17 + 3 = 5 
4 s’appelle une « égalité »
On dit que : Dans une égalité ce qui est de part et d’autre du
signe « = » à la même valeur.
Ce qui doit se vérifier : en effet : si on calcule « 17 +
3 » on obtient « 20 » , si on calcule
« 5 4 » on obtient
« 20 ».
On dira que « 17 + 3 = 5 4 » est une
« phrase mathématique » et que
cette phrase est vraie .
Le sens de cette phrase est donné par le signe
« = » qui se lit « est égal à »
On retiendra : Une égalité est
une phrase mathématique qui se présente sous la forme « a = b » dans laquelle « a » et
« b » représentent le « même » objet mathématique
.
Quand on écrit l’égalité « a = b » ,
on doit sous entendre
que cette phrase est vraie .
Si la phrase « a = b »
n’est pas vraie
, on écrira : «
a ¹ b »
L’écriture : « a ¹
b » ; se lit
« « a » n’est pas égal à « b » » ou « « a » est différent de
« b » »
Propriété 1 : si « a » et « b » représente le même nombre
on peut écrire indifféremment : « a = b » ou « b
= a »
Propriété 2 : « a » ; « b » ;
« c » désignant des
nombres ; si « a = b » et « b = c » , alors « a » « b
» et « c » représente le même nombre ; alors
« a = c » ; on peut écrire par convention que a = b = c
.
Vocabulaire : Dans une égalité ; ce
qui est écrit à gauche du signe « = » s’appelle le premier membre ; et ce qui est
écrit à la droite du signe « = »s’appelle le deuxième
membre..
CLASSEMENT DES NOMBRES ENTIERS NATURELS :
(relation d ' ordre )
Pour classer les nombres on utilise
les symboles suivants : « <
» et « > » et £ ou ³
On sait
que 3 est plus petit que 7 ;
on l’écrit 3 < 7
On sait que 9 est plus grand
que 5 ; on l’
écrit 9 > 5
Ces symboles indique une « relation d’ordre » ;
(penser à « ordonner » ; « ranger » ;
« classer ») ; sont des phrases mathématiques.
tableau 1 :
suivant le sens de lecture :
|
à gauche du signe : |
< |
à droite du signe |
|
3 est
plus petit que........ |
< |
on dira : 4 est
plus grand que.......... |
|
|
< |
4 |
tableau 2 :
|
à gauche du signe |
> |
à droite du signe |
|
plus
grand que...... |
> |
plus petit que...... |
|
4 |
> |
3 |
En plus des signes <
et > on
utilise deux autres signes :
£ ou ³ ( notamment en
algèbre)
Exemples d’écritures : x £ 5
ou y ³ 3
Ce sont des phrases dont le verbe est représenté par £ ou
³
A
retenir :
« a »
et « b » représentant des nombres.
- a
> b se lit « le nombre « a » est
strictement supérieur au nombre « b » ».
- a < b
se lit « le nombre « a » est
strictement inférieur au nombre « b » ».
- a ³ b se lit
« le nombre « a » est
supérieur ou égal au nombre
« b » »
et
signifie que a > b ou
a =
b
- a £ b se lit
« le nombre « a » est
inférieur ou égal au nombre
« b » »
et
signifie que a < b ou
a =
b
Remarque 1 : x
et y
représentent des nombres ;
« x > y » à la même signification que « y <
x »
Vocabulaire 1 :
Comme pour les égalités ,
dans toute égalité ; le premier membre est à gauche du signe
(« < » et
« > » et £ ou
³ ) ; le deuxième membre se trouve à droite de
ces signes .
Vocabulaire 2 :
a)
Inégalités de « même sens » :
5 > 3 et 12 > 9
sont des inégalités de même sens
Il en
est de même pour :
5 < 9 et 7
< 11 ou x £ y et n £ 4 ou m ³
2 et
x ³ y
b)
Inégalités de « sens contraire » :
5 > 3 et 12 < 9
sont des inégalités de même sens
Il en
est de même pour :
5 < 9 et 7
> 11 ou x £ y et n ³ 4 ou m ³
2 et
x £ y
3°) Double
inégalité : a < x < b ou a > x > b :
Considérons les deux inégalités de
« même sens » : 10 < 13
et 13 <
20
Dans la suite naturelle des entiers naturels ,
10 est placé avant 13 et 13 est placé avant 20 ; donc 10 est
placé avant 20 .
On condense ces
trois inégalités en une « double inégalité » 10 < 13 < 20.
Exemple 1: 10
< 13 < 20 :
lire « 13 » est compris entre 10 et 20
Les nombres 10 ; 13 ;20 sont alors rangés dans un ordre « croissant »
Ainsi :
l’énoncé : Donner tous les nombres entiers
« x » compris entre dix et vingt sont » se traduit par l’écriture : 10
< x < 20
Réponse : les nombres entiers
11 ; 12 ; 13 ;14 ;15 ;16 ;17 ;18 ;19 sont compris entre 10 et 20
-
On peut faire de même avec plusieurs inégalités de
« même sens » :
6 < 11
, 11 < 17 ; 17 < 28
on écrit alors 6 < 11 <
17 < 28
ATTENTION :
Dans le cas 5 <
19 et
19 > 7 on n’
a pas le droit d’écrire 5< 19
>7 car les nombres ne sont ni rangés
dans l’ordre croissant ni dans
l’ordre décroissant.
Application de la double inégalité : Encadrement
En reprenant l’exemple précédent : 10 < 13 <
20 ; on dit que « 13 » est encadré à 10 près .
- 100 < 157
< 200 ; 157
est compris entre 100 et 200
- 800 < 836 <
900 ; 836 est compris entre
800 et 900
4°)
Représentation graphique des nombres entiers
La représentation graphique des
nombres sont les points numérotés d’une
droite graduée.
Il suffit de tracer une droite et de la graduer (avec un compas pour obtenir
une graduation régulière) ; nommer
les points par un nombre entier ;ensuite montrer que ces nombres sont alors classer par ordre
croissant ,inversement ensuite par ordre décroissant) autre
0
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
11 12
+ ¥
CLASSEMENT PAR ORDRE : symbole à reconnaître et nommer : « ¥ » symbole signifiant :
" infini "
Pour
classer les nombres relatifs on utilise un symbole appelé « relation
d’ordre »
5°) A propos d’ inégalité et de relation d’ordre :
le symbole «.....
< ....... » est appelé : symbole de relation d’ordre
(dit aussi de classement) .
Exemple de lecture a < b
Si on lit de droite
à gauche :on
lira « le
« nombre b.... » est plus grand
que......le nombre a »
Si on lit de gauche à
droite : on lira « le nombre b est plus petit
que le nombre a »
on peut classer les nombres par
ordre croissant (on part du plus petit au plus grand)
0 < 1
< 2 <
3 < 4
< 5 <
_ < _ <
¥
Le symbole
« .......>......... » est aussi un symbole
dit de relation d’ordre (de
classement)
Exemple de lecture a > b
Si on lisait
de droite à gauche : on
lirait « le « nombre b.... »
est plus petit que......le nombre
a »
Mais :
On lit de gauche à droite : on lira « le nombre a est plus grand que le nombre b »
on peut ainsi classer les
nombres par ordre décroissant (on part du plus grand pour aller vers
le plus petit)
¥ >
_ > 16
> _ >
_ > 5
> _ >
_ > _
> 1 > 0
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
CONTROLE
1°) Comment est construit un nombre entier naturel?
(que ne possède t - il pas?)
2°) Quel est le symbole qui représente l’ensemble des nombres entiers naturels?
3°) Que représente le symbole suivant
« N » ?
4 ° ) Que signifie les symboles « < »
et « > »
5° ) Traduire eu langage littéral:
Î
Ï
« ¥ »
6° ) Quel nom donne t - on
à un nombre formé uniquement de chiffres.
( à l ’ exclusion de tout autre symbole )
7° ) Lister
l ‘ ensemble des nombres entiers naturels .( préciser)
8°)
Par quelle lettre représente
- t- on ;en
mathématique ; l’ ensemble des nombres entiers naturels ?
9° ) traduire en langage mathématique :
Le nombre « b »
appartient à l ‘ensemble des nombres entiers naturels.
Le nombre
« c » n ‘ appartient pas à l ‘ensemble des nombres entiers naturels.
10° ) qu’est ce
qu’une égalité ?
11°)« a »
et « b » représentant des nombres. Que faut-il lire ?
- a >
b
-
a < b
- a ³ b
- a £ b
Egalité : Dans
un devoir un élève a écrit 8 5 = 40 + 7 = 47
Expliquer pourquoi cela est faux et donner une bonne écriture.
Inégalité :
1°) Compléter en utilisant les
signes < ou >
12……7 ; 24
…….37 ; 133 …….18 ; 249 ……..5431
2°) Ecrire
des inégalités de « même
sens » :
exemple : 5 > 3 et 12
> 9 sont des inégalités de même sens
Il en
est de même pour :
5 < 9 et 7
< 11 ou x £ y et n £ 4 ou m ³
2 et
x ³ y
3 °) écrire des inégalités de
« sens contraire » :
exemple : 5 > 3 et 12
< 9 sont des inégalités de même sens
Il en
est de même pour :
5 < 9 et 7
> 11 ou x £ y et n ³ 4 ou m ³
2 et
x £ y
4°) Traduire en langage littéral :
12 <
15....................................................................................................
15 > 13
..................................................................................................
5°) Voici des phrases mathématiques , barrer celles sui
sont fausses ou incorrectes :
|
36 > 12 < 15 |
27 ³ 18 > 9 |
29 < 56 > 13 |
34 £ 34 < 87 |
|
13 £ 63 £ 78 |
6 £ 6 £ 6 |
17 < 13 < 19 |
23 £ 37 £ 37 |
6°) En utilisant le symbole < , ranger dans
l’ordre croissant les nombres :
13 ; 43 ; 7 ;
12 ; 29 ; 54 ; 3 ; 129
7°) Ranger de même dans l’ordre décroissant en utilisant le symbole convenable :
53 ; 18 ; 35 ; 237 ; 6 ; 15 ; 7
Barrer les nombres qui ne sont pas des « entiers
naturels ».
0 ; 2 ;
2,3 ; 25 ; 687 ;
2567 ,985 ; +1258 ; 23,8 ; - 684,3 ; 894,56 ; 1000 ;
a) Classer dix nombres entiers par ordre
croissant :
b) Classer dix nombres entiers par ordre
décroissant :