Pré requis:

« le rang »

 

Lecture et étude :nomenclature sur des définitions basiques et communes à tous.

 

Notation :  Inférieur ou supérieur …

Les ensembles  ( généralités)

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°) Les entiers naturels ( nomenclature)  

2°) Numération des entiers naturels

Objectif suivant :

1°) Egalité : vocabulaire

2°) Les inégalités  (algèbre)

3°) Ordre de grandeur et encadrement

4°) représentation graphique des nombres.

Algèbre : les relations d’ordre.

 

 

2°) Activités avec les N

    DOSSIER : Classification des nombres entiers naturels . ( N )

A) Les entiers naturels ( nomenclature)

1°) Egalité

2°) les relations d ' ordre dans N  (inégalité)

3°) Encadrement :  a < x <b ( double inégalités)

4°) Représentation graphique des nombres entiers

5°) A propos d’ inégalité  et de relation  d’ordre :

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                        

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

Fiches de calculs.

 

 

 

 

LES NOMBRES ENTIERS NATURELS

 

 

 
 

 

 


 


COURS

 

 

Rappels  :

 

 « nombre entier naturel »

Un  nombre entier naturel   est un alignement horizontal de chiffre(s) ,il n’a ni signe (+ ou - ) et ne possède pas de virgule.(qui sépare les chiffres en deux groupes)

 

Désignation mathématique de l ’ ensemble des « nombres entiers naturels » (on dit aussi  « les entiers naturels » )

 L ‘ensemble des nombres entiers naturels est nommé avec la lettre :  N

 

Liste des entiers naturels : 

 

Il est impossible de nommer  tous les nombres entiers naturels , on dit qu ‘il en existe « une infinité ».

 

On note  « infini » avec le symbole : «   ¥ »    (cela ressemble à un huit couché)

 

L ’ ensemble des nombres entiers naturels est noté  :

 

N   =   { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;....... ;136 ;...... ; 12547 ; ....….. ¥ }

 

Le plus petit nombre entier naturel est :    0

(pour en savoir plus sur le "zéro" : cliquer ici)

Info .nouvelles:

On ne peut pas diviser par zéro

 

* Activité annexe , utilisez  la calculatrice

              On veut  montrer « ce qui se passe »  lorsque l’on divise le nombre 1 (le plus petit nombre entier ) par un nombre inférieur à 1 et   qui tend  vers zéro.

 

 Avec  la calculatrice faire:     :

     1 divisé par  1  ;  noter le résultat =

    1 divisé par 0.1 ;  noter le résultat =  10

   1 divisé par 0.01   ;  noter le résultat  =  100

   1 divisé par 0.001 ;  noter le résultat   =  1000

 1 divisé par 0.000001   ;  noter le résultat =1000 000

            

remarque : 0,000001  est plus près de zéro que  0,1

Plus le  chiffre « 1 » recule (dans la partie décimale ) plus le nombre tend vers zéro.

 

      Observez et comparez  le résultat  de chaque  opération.

    On retiendra : « lorsque l’on divise  un nombre  par un autre nombre inférieur à « 1 » , supérieur à zéro  mais qui  « tend » vers zéro .Plus le nombre tend vers zéro  , plus le résultat de la division  ( quotient)     devient grand .

   

 On  peut dire que le résultat tendra vers un nombre infiniment grand ,

La division par zéro est impossible : exemple  prenons un nombre au hasard  (40)  divisons par zéro :           résultat   impossible

 en effet  12   0           ; il n’existe pas de nombre  « q » tel que  12 = 0q

                      ? =  q      

 

 

  Conclusion : on ne peut donc diviser par zéro.

 

Fin des rappels

 

PREALABLE: "classer" des nombres ;  c'est  les « comparer » l'un par rapport à l' autre et les  ordonnés  ( on leur  affecte un numéro d' ordre , ou de rang ).

 

  Autrement dit :   Comparer deux nombres , c’est chercher lequel est le plus grand ( ou le plus petit) ou dire s’ils sont égaux.

Le    signe   de comparaison  placé entre deux nombres   est    <    ou     >

   

Sens de lecture :     «nombre plus petit »   <  « nombre plus grand »   , exemple :    2   <  3    

                                         « nombre plus grand »   >   «nombre plus petit »  , exemple :    3     >   2   

 

Autres exemples   :    9 < 5 ;     7 >  3.     remarque : 19 =   est une égalité ; elle ne sert pas à « comparer » ; l’égalité exprime une valeur de deux façons différentes.    

                                                                        

Procédure pour comparer deux nombres entiers :

·        Le plus petit est celui qui a le moins de chiffres .

·        S’ils ont le même nombre de chiffres , on compare chiffre à chiffre à partir de la gauche .

Exemples :

a) comparons : 567 et 89   :   567 > 89   ( car 567 à 3 chiffres et 89 deux chiffres)

b) comparons  389 et 391 :    391 > 389  ( car dans  389  le chiffres des dizaines est plus petit  que dans 391)

 

 

1°) L ‘ EGALITE   :

 

L’écriture suivante    17 + 3 = 5  4  s’appelle une « égalité »

 

On dit que : Dans une égalité ce qui est de part et d’autre du signe « = »  à la  même valeur.

 

Ce qui doit se vérifier : en effet : si on calcule « 17 + 3 »  on obtient « 20 » , si on calcule  « 5   4 » on obtient « 20 ».

 

On dira que « 17 + 3 = 5  4 » est une « phrase mathématique »  et que cette phrase est vraie .

 

Le  sens  de cette phrase est donné par le signe « = » qui se lit « est égal à »

 

On retiendra : Une égalité est une phrase mathématique qui se présente sous la forme « a = b »  dans laquelle « a » et « b » représentent le « même » objet mathématique . 

 

Quand on écrit l’égalité « a = b » , on doit sous entendre  que cette phrase est vraie .

 

Si la phrase «  a = b »  n’est pas vraie  , on écrira :  «  a ¹ b »

 

L’écriture : «  a ¹ b » ;  se lit « « a » n’est pas égal à « b » »  ou « « a » est différent de « b » »

 

Propriété 1 : si « a » et « b » représente le même nombre on peut écrire indifféremment : «  a = b »  ou  « b = a »  

 

 

Propriété 2 : « a » ; « b » ; « c »  désignant des nombres ; si « a = b » et « b = c »  , alors « a » « b  »  et « c »  représente le même nombre ; alors «  a = c » ; on peut écrire par convention que  a = b = c   .

 

  Vocabulaire :  Dans une égalité ; ce qui est écrit à gauche du signe « = » s’appelle le premier membre ; et ce qui est écrit à la droite du signe « = »s’appelle le deuxième membre..

 

 

CLASSEMENT DES NOMBRES ENTIERS NATURELS : (relation  d ' ordre )

 

2°)  INEGALITES

 

               Pour classer les nombres on utilise les  symboles suivants :   « <    »  et   « >  » et   £    ou     ³

 

On sait  que  3 est plus petit que 7 ; on l’écrit   3 < 7

On sait que  9 est plus grand que   5 ; on l’ écrit 9 > 5

Ces symboles indique une « relation d’ordre » ; (penser à « ordonner » ; « ranger » ; « classer ») ; sont des phrases mathématiques.

 

tableau 1 :

suivant le sens de lecture :

à gauche du signe :

<

à droite du signe

on dira :

    3 est   plus petit que........

<

on dira :

    4 est  plus grand que..........

 Exemple :            3

<

        4

 

tableau 2 :

 

à gauche du signe

             

à droite du signe

     plus grand que......

             

        plus petit que......

                   4

             

        3

 

En plus des signes   <     et   >      on  utilise deux autres signes :   £    ou     ³  ( notamment en algèbre)

Exemples d’écritures  :    x  £  5     ou    y  ³   3

Ce sont des phrases dont le verbe est représenté par    £    ou     ³

A retenir :

 

    « a » et « b » représentant des nombres.

-    a  >  b  se lit   «  le nombre « a » est strictement supérieur au nombre  « b » ».

-     a  < b  se lit   «  le nombre « a » est strictement inférieur au nombre  « b » ».

-    a  ³  b     se lit   «  le nombre « a » est  supérieur  ou égal au nombre  « b » »

      et signifie que a  >  b  ou a  =  b

-    a   £  b   se lit   «  le nombre « a » est  inférieur  ou égal au nombre  « b » »

      et signifie que a  <  b  ou a  =  b

 

    

Remarque 1 :  x et  y  représentent des nombres ;  « x  > y »   à la même signification que « y < x »

 

Vocabulaire 1 :

Comme pour les égalités , dans toute égalité ; le premier membre est à gauche du signe (« <    »  et   « >  » et   £    ou     ³ ) ; le deuxième membre se trouve à droite de ces signes .

Vocabulaire 2 :

 
a)     Inégalités de « même sens » :

5 > 3  et  12 > 9  sont des inégalités de même sens

Il en est de même  pour :

        5 < 9   et  7 < 11     ou   x £ y  et  n  £  4      ou    m ³ 2  et    x ³ y

 

b)    Inégalités de « sens contraire » :

5 > 3  et  12 < 9  sont des inégalités de même sens

Il en est de même  pour :

        5 < 9   et  7 > 11     ou   x £ y  et  n  ³  4      ou    m ³ 2  et    x £  y

 

3°) Double inégalité   :  a < x < b ou  a > x > b :

            Considérons les deux inégalités de « même sens » : 10 <  13  et 13  <  20

           Dans la suite naturelle des entiers naturels , 10 est placé avant 13  et  13 est placé avant 20 ; donc 10 est placé avant 20 .

 

    On condense ces trois inégalités en une « double inégalité » 10 <  13  <  20.

 

Exemple 1:  10 <  13  <  20    : lire « 13  » est compris entre 10 et 20

Les nombres 10 ; 13 ;20 sont alors rangés dans un ordre « croissant »

Ainsi :

l’énoncé :  Donner tous les nombres entiers « x » compris entre dix et vingt sont »   se traduit par l’écriture : 10 <  x  <  20  

Réponse : les nombres entiers  11 ; 12 ; 13 ;14 ;15 ;16 ;17 ;18 ;19  sont compris entre 10 et 20 

-        On peut faire de même avec plusieurs inégalités de « même sens » :

 

6 < 11  , 11 < 17 ; 17 < 28  on écrit alors    6 < 11 < 17 < 28

ATTENTION :

Dans le cas  5 < 19   et  19 > 7  on n’ a pas le droit d’écrire   5< 19 >7 car les nombres ne sont ni rangés  dans l’ordre croissant  ni dans l’ordre décroissant.

 

 

Application de la double inégalité :    Encadrement 

 

En reprenant l’exemple précédent : 10 <  13  <  20 ; on dit que « 13 » est encadré à 10 près .

 

-      100 < 157 < 200    ;  157  est compris entre  100 et 200

-       800 <  836 <  900 ;   836 est compris entre 800 et 900

 

4°) Représentation graphique des nombres entiers

 

        La représentation graphique  des nombres  sont les points numérotés d’une droite graduée.

      Il suffit de tracer une droite  et de la graduer (avec un compas pour obtenir une graduation régulière) ;  nommer les points par un nombre entier ;ensuite montrer  que ces nombres sont alors classer par ordre croissant ,inversement ensuite par ordre décroissant) autre

        0      1       2        3         4         5        6        7         8         9        10       11       12       

    

+ ¥

 
 

 


CLASSEMENT PAR ORDRE :  symbole à reconnaître et nommer : «   ¥ »  symbole signifiant : "  infini  "

 

Pour classer les nombres relatifs on utilise un symbole appelé « relation d’ordre »

 

5°) A propos d’ inégalité  et de relation  d’ordre :

 le symbole  «.....   < .......   »   est appelé :   symbole de relation  d’ordre  (dit aussi de classement) .

   Exemple de lecture                    a <  b

 

Si on lit de    droite  à gauche :on  lira   « le « nombre  b.... »  est plus grand que......le nombre a  »

Si on lit de gauche à droite     :   on lira « le nombre b est plus petit que le nombre a »

 

on peut classer les nombres par  ordre croissant  (on part du plus petit au plus grand)

 

0 <   1    <    2      <   3      <  4   <  5   <   _  <    _ <   ¥   

 

 

Le symbole « .......>......... »  est aussi  un symbole dit de relation d’ordre (de classement)

 

      Exemple de lecture   a  > b

 

 

Si on lisait  de    droite  à gauche : on  lirait   « le « nombre  b.... »  est plus petit que......le nombre a  »

Mais :

On lit de gauche à droite  :  on lira « le nombre a est plus  grand que le nombre b »

on peut ainsi classer les  nombres  par ordre décroissant (on part du plus grand pour aller vers le plus petit)

 

¥      >  _   >   16   >  _    >   _     >    5   >  _  >  _   >  _   >   1  >  0


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

 

1°)Comment est construit un nombre entier naturel?

        (que ne possède t - il pas?)

2°)Quel est le symbole qui représente l’ensemble des nombres entiers naturels?

 

3°) Que représente le symbole suivant   « N » ?

 

4 ° )Que signifie les symboles  « <    »  et   « >  »

 

5° )Traduire eu langage littéral:

                   Π  

                        Ï   

 

                      «   ¥ » 

6° ) Quel nom donne  t - on  à un nombre formé uniquement de chiffres.

  ( à l ’ exclusion de tout autre symbole )

 

7° ) Lister  l ‘ ensemble des nombres entiers naturels .( préciser)

 

8°) Par quelle lettre  représente - t-  on ;en mathématique ; l’ ensemble des nombres entiers naturels ?

9° ) traduire en langage mathématique :

         Le nombre « b » appartient à l ‘ensemble des nombres entiers naturels.

          Le nombre « c »  n ‘  appartient pas  à l ‘ensemble des nombres entiers naturels.

10° ) qu’est ce qu’une égalité ?

 11°)« a » et « b » représentant des nombres. Que faut-il lire ?

-    a  >  b 

-        a  < b

-    a  ³  b

-    a   £  b  


Evaluation:

 

Egalité : Dans un devoir un élève a écrit 8 5 =  40 + 7 = 47

Expliquer pourquoi cela est faux et donner une bonne écriture.

 

Inégalité :

1°)  Compléter en utilisant les signes <  ou  >

 12……7    ;  24 …….37      ; 133 …….18     ; 249 ……..5431

 

 

2°)  Ecrire des  inégalités de « même sens » :

exemple : 5 > 3  et  12 > 9  sont des inégalités de même sens

Il en est de même  pour :

        5 < 9   et  7 < 11     ou   x £ y  et  n  £  4      ou    m ³ 2  et    x ³ y

 

3 °) écrire des inégalités de « sens contraire » :

exemple : 5 > 3  et  12 < 9  sont des inégalités de même sens

Il en est de même  pour :

        5 < 9   et  7 > 11     ou   x £ y  et  n  ³  4      ou    m ³ 2  et    x £  y

 

4°)  Traduire   en langage littéral :  

 

         12  <  15....................................................................................................

        15  > 13    ..................................................................................................

 

5°)  Voici des phrases mathématiques , barrer celles sui sont fausses ou incorrectes :

36 > 12 < 15

27  ³ 18  > 9

 29 < 56 > 13

 34 £ 34 < 87

 13 £  63 £ 78

 6 £ 6 £ 6

17 < 13 < 19

 23 £ 37 £ 37

 

6°) En utilisant  le symbole  < , ranger dans l’ordre croissant les nombres :

13 ; 43 ;  7 ; 12 ; 29 ; 54 ; 3 ; 129

 

7°) Ranger de même dans l’ordre décroissant  en utilisant le symbole convenable :

53 ; 18 ; 35 ; 237 ; 6 ; 15 ; 7

 

 

 

 

 

 

      Barrer les nombres qui ne sont pas des « entiers naturels ».

 

  0 ;   2 ;  2,3 ; 25 ;   687 ; 2567 ,985 ;  +1258 ;   23,8 ; - 684,3 ;  894,56 ; 1000 ;

 

a)  Classer dix nombres entiers par ordre croissant :

 

 

b)  Classer dix nombres entiers par ordre décroissant :

style='mso-bidi-font-weight:normal'>b)  Classer dix nombres entiers par ordre décroissant :