Pré requis:

Valeur approchée  et approximation

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index « warmaths »          

Objectif précédent :

1°) Classification et relations d’ordre dans N  

2° ) nombre décimal

3°)  Encadrement

Objectif suivants :

1°) arrondir  « à tant près »

2°) valeurs approchées et encadrement

3°) ordre de grandeur d’un résultat .

4°) Ordre de grandeur d’une somme de nombres entiers .

Tableau      

 

Liste des cours en calculs numériques

 

 

 « ORDRE DE GRANDEUR»

A )  Ordre de grandeur d’un entier naturel  et encadrement ; valeurs approchées , approximation.

B)    Ordre de grandeur d’un Nombre décimal et encadrement.

C)    Un ordre de grandeur est une valeur approchée.

D)   L’ordre de grandeur d’un résultat ( approche) et exemple :encadrement d’un produit.

 

 

 

 

 

Fiche : entraînement.

 

 

 

 

TEST

           

COURS                

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

 

A )  Ordre de grandeur d’un entier naturel :

 

 

a )  On sait que 325 846 est voisin de 300 000 ; que  7247 est  voisin de 7000.

 

On dit que 325 846 est de l’ordre des centaines de mille ; que  21 675  est de l’ordre des  dizaine de mille  et que  7247 est de l’ordre des mille.

 

On dit que  300 000 est un ordre de grandeur  de 325 846  , que  20 000 est un ordre de grandeur de  21 675 et que  7000 est un ordre de grandeur de 7436

 

Dans le cas de 48 873 , on peut prendre 50 000 comme ordre de grandeur ; ( 48 étant plus prés de 50 que de 40 )

 

Un ordre de grandeur est aussi  appelé  « arrondi ».

 

b) l’encadrement :  ( double inégalités)  ( INFO PLUS +++)

suivant l’ordre choisi ou imposé on peut  encadrer  « 325 846 » :

 

300 000 <  325 846  < 400 000  ; 

si l’on veut être plus précis , on peut « resserrer » l’encadrement .

comme    320 000 < 325 846 < 330 000 ;

ou comme  325 000 <  325 846  <  326 000

 

c) « valeur approchée par excès » ou « valeur approchée par défaut »

 

prenons par exemple : 300 000 <  325 846  < 400 000 ;

nous dirons :

 

300 000 est la valeur approchée à 100 000 près  par défaut de  325 846.

400 000 est la valeur approchée à 100 000 près par excès de 325 486 .

 

Au lieu de dire «  valeur approchée » on dit aussi «  approximation »

 

Autres exemples :

320 000 < 325 846 < 330 000 ; les valeurs approchées sont à 10 000 près.

325 000 <  325 846  <  326 000 ; les valeurs approchées sont à 1 000 près.

 

Les valeurs approchées peuvent être de plus en plus précises :

 

Avec      7437

Avec  48 738

7 000 <  7437 < 8 000

7 400 <  7437 < 7 500

7 430 <  7437 < 7 440

7 436 <  7437 < 7 438

40 000 <  48 738 < 50 000

48 000 <  48 738 < 49 000

48 700 <  48 738 < 48 800

48 730 <  48 738 < 48 740

48 737 <  48 738 < 48 739

 

B)  ORDRE DE GRANDEUR d’un Nombre décimal et encadrement.

 

Comme pour les nombres entiers  , on peut donner des encadrements de décimaux.

 

Exemple :   41 < 41,58 < 42    est un « encadrement » de 41,58 par 42 et 43 .

 

On dit que l’on a « encadré » 41,58 par les deux nombres entiers consécutifs

 

41 est la valeur approchée à 1 près par défaut  de 41,58 . ( la valeur approchée à 1 près par défaut est la partie entière)

 

43 est la valeur approchée à 1 près par excès   de 41,58

 

Exemples d’ encadrements par des nombres par des entiers consécutifs. :

 

5   < 5,2<   6

0    < 0 ,534 < 1

19  <19,37< 20

0 <  0,07< 1

 

-    On peut donner des encadrements par des  des dizaines ; des centaines  consécutives ….etc. :

 exemple :   6 000 <  6 237,86 < 7 000

 

6 000 est la valeur approchée à 1 000  près par défaut  de 6 237,86.

7 000  est la valeur approchée à 1 000  près par excès   de 6 237,86

 

On dit aussi que 6 000 est un ordre de grandeur  de 6 237,86  . (on dit aussi « arrondi »)

 

Si l’on veut être plus précis , on peut donner d’autres encadrements :

 

6 200 < 6 237,86  < 6 300

Valeurs approchées à 100 près

6230 < 6 237,86   < 6 240

Valeurs approchées à 10 près

6237  <   6 237,86  < 6238

Valeurs approchées à 1 près

On peut donner des encadrement par des dixièmes  consécutifs

 

6237,8 < 6 237,86 < 6237,9

Valeurs approchées à 0,1 près

 

-          On peut donner des encadrement par des dixièmes  consécutifs  , des centièmes , des millièmes consécutifs …..etc.

 

Exemple : 0,007 < 0, 00734  < 0,008

Ainsi :

 0,007 est la valeur approchée à 0,001   près par défaut  de 0, 00734

 0,008  est la valeur approchée à 0,001  près par excès   de 0, 00734

On peut aussi  avec :

Plus de précision :

0,0073 < 0, 00734  < 0,0074

Valeurs approchées 0,000 1 près

 moins de précision :

0,01  < 0, 00734  <  0,02

Valeurs approchées 0,01 près

 

Autres exemples :

La valeur approchée à 0,01 prés par défaut de 0,8353  est  0,83.

La valeur approchée à 0,01 prés par excès  de 5,264   est  0,53 .

 

C)   Un ordre de grandeur est une valeur approchée.

 

Mais très souvent , on choisit pour ordre de grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les chiffres  sont nuls sauf un .

Exemples :  

Pour  « 527 , 357 »   on prendra « 500 » comme ordre de grandeur .

Pour    « 0,0063 »  on prendra « 0,006 »

Pour  « 633,42  »   on prendra « 600 »

Pour  « 52 , 376 »   on prendra « 52 »

Pour  « 0,041 »   on prendra « 0,04 »

 

Si le nombre est plus près de sa valeur approchée par excès  , on choisira cette valeur.

Exemples :

Pour   « 4 986 , 78 » on prendra « 5 000 »

Pour   « 1, 87 » on prendra « 2 »

Pour   « 0,00783 » on prendra « 0,008 »

 

Vocabulaire : TRONCATURE  ( @ En PLUS +++)

 

Les valeurs approchées  par défauts  sont aussi appelées  «  Troncatures »

 

Exemples de troncatures :

 

Soit le nombre   524, 367   :     les nombres    « 524 »     ; « 524,3 » ; « 524,36 » sont ses valeurs approchées par défaut .

 

 

D) L’ordre de grandeur d’un résultat.( approche)

 

           L’ordre de grandeur d’un résultat s’obtient en remplaçant  les nombres par des nombres  voisins avec lesquels le calcul est simplifié .

 

Quelle que soit l’opération que l’on a à effectuer , il est toujours  bon de s’assurer   que l’ordre  de grandeur  du résultat est cohérent .

 

 

Exemples : si l’on a à effectuer 123 fois 58  , on sait à l’avance que le résultat est voisin de 120 fois 60 soit 7200 ; ( NB : le résultat exact est de 7134)

 

 

si l’on a à effectuer 18 fois 58  , on sait à l’avance que le résultat est voisin de 20 fois 60 soit 1200 ; ( NB : le résultat exact est de ………)

 

Exemple :  ORDRE DE GRANDEUR D’UN PRODUIT 

 

A)           Encadrement d’un produit :

  Soit le produit :   357  8651

a) Encadrement des facteurs :

 300 <  357 <  400     et       8000 < 8651  < 9 000

 

b) On peut dire que le produit    357  8651 :

  est supérieur à 300  8000     et est inférieur à 400  9000

 

c) C’est à dire :    300  8000 < 357  8651 < 400  9000

                       2 400 000    < 357  8651 <   3 600 000

 d) on peut donner un ordre de grandeur  « 357  8651 »  proche de la moyenne des extrêmes  (  2 400 000 + 3 600 000) : 2 ;   ce qui donne environ  3 000 000  

 

B) On peut sans faire un encadrement , uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur de certains produits.

 

Exemples :

a) 384  21   ; ordre de grandeur  400  fois 20 =  8 000 ;  soit 8 suivi de 3 zéros

b) 38 427  2 132   ; ordre de grandeur  40 000 fois 2000=  8 0 000 000 ;soit  8 suivi de  7 zéros

c) 123 345  3 046= ?  ordre de grandeur  123 000 fois 3000=  369 000 000 ; soit 369 suivi de 6 zéros .

d) 497  9 953  = ?      ordre de grandeur  500 fois  10 000 =  soit 5 suivi de  6 zéros soit 5 000 000

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

 

CONTROLE :Préparation

1 ) Que veut dire « ordre de grandeur »  ?

 

 

 

EVALUATION à préparer

 

1°)  Donner les encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :

 

…..< 5,2 < …

< 0,534 <.

..<  19,37  < …

<  0,07  <

 

2°) Voici un encadrement de  537,264 par des entiers consécutifs :

  537 < 537,264 < 538

Que dire de 537 et 538 ?

537        .

538       .

 

Que dire de 530 ?

Que dire de 500 ?

 

Que dire de 600

 

Compléter :

 

 

A 100 près

<   537,264 <

A 0,1 près

<   537,264 <

A 0,01

<   537,264 <

 

3°) Encadrer :

10,75 à 0,1 près

 

152,3  à  10 près

 

74,04 à 1 près

 

28,7074 à 0,001 près

 

 

 

CORRIGE

 

1°)  Donner les encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :

 

…5..< 5,2 < …6.

0 < 0,534 <.1

19..<  19,37  < 20…

0 <  0,07  < 1

 

2°) Voici un encadrement de  537,264 par des entiers consécutifs :

  537 < 537,264 < 538

Que dire de 537 et 538 ?

539       est la valeur approchée  à 1  près par défaut de  537,264.

540       est la valeur approchée  à 1  près par excès de  537,264.

 

Que dire de 530 ?

530 est la valeur approchée  à 10  près par défaut de  537,264.

Que dire de 500 ?

500 est la valeur approchée  à 100  près par défaut de  537,264.

Que dire de 600

600 est la valeur approchée  à 1  près par excès de  537,264.

 

Compléter :

 

530< 537,264 < ……

A 100 près

< 537,264 <

A 0,1 près

537,2< 537,264 <

A 0,01

< 537,264 <

 

3°) Encadrer :

10,75 à 0,1 près

10,7 < 10,75 < 10,8

152,3  à  10 près

150 < 152,3 < 160

74,04 à 1 près

74 < 74,04 < 75

28,7074 à 0,001 près

28,707 < 28,7074 < 28,708

 

 

 

 

 

 

 

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