Pré requis:
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Valeur
approchée et approximation |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif précédent : |
Objectif suivants : 1°) arrondir « à tant
près » |
« ORDRE DE GRANDEUR»
A )
Ordre de grandeur d’un
entier naturel et encadrement ; valeurs approchées , approximation.
B) Ordre de grandeur d’un Nombre décimal
et encadrement.
C) Un ordre de grandeur est
une valeur approchée.
D)
L’ordre de
grandeur d’un résultat ( approche) et
exemple :encadrement d’un produit.
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Interdisciplinarité |
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A ) Ordre de grandeur d’un entier naturel :
a ) On sait
que 325 846 est voisin de 300 000 ; que
7247 est voisin de 7000.
On dit que 325 846 est de l’ordre des centaines de
mille ; que 21 675 est de l’ordre des dizaine de mille et que
7247 est de l’ordre des mille.
On dit que
300 000 est un ordre de grandeur
de 325 846 , que 20 000 est un ordre de grandeur de 21 675 et que
7000 est un ordre de grandeur de 7436
Dans le cas de 48 873 , on peut prendre 50 000
comme ordre de grandeur ; ( 48 étant
plus prés de 50 que de 40 )
Un ordre de grandeur est aussi appelé
« arrondi ».
b) l’encadrement : ( double inégalités) ( INFO PLUS +++)
suivant l’ordre choisi ou imposé on peut
encadrer « 325 846 » :
300 000 <
325 846 < 400 000 ;
si
l’on veut être plus précis , on peut « resserrer » l’encadrement .
comme 320
000 < 325 846 < 330 000 ;
ou comme 325
000 < 325 846 <
326 000
c) « valeur approchée par excès » ou
« valeur approchée par défaut »
prenons par exemple : 300 000 < 325 846
< 400 000 ;
nous dirons :
300 000 est la valeur approchée à 100 000 près par défaut de
325 846.
400 000 est la valeur approchée à 100 000 près par
excès de 325 486 .
Au lieu de dire « valeur approchée » on
dit aussi « approximation »
Autres
exemples :
320 000 < 325 846 < 330 000 ; les
valeurs approchées sont à 10 000 près.
325 000 <
325 846 < 326 000 ; les valeurs approchées sont à
1 000 près.
Les valeurs approchées peuvent être de plus en plus
précises :
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Avec 7437 |
Avec 48 738 |
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7
000 < 7437 < 8 000 7
400 < 7437 < 7 500 7
430 < 7437 < 7 440 7
436 < 7437 < 7 438 |
40
000 < 48 738 < 50 000 48
000 < 48 738 < 49 000 48
700 < 48 738 < 48 800 48
730 < 48 738 < 48 740 48
737 < 48 738 < 48 739 |
B) ORDRE DE GRANDEUR d’un Nombre décimal et encadrement.
Comme pour les nombres entiers , on peut donner des encadrements de
décimaux.
Exemple : 41 < 41,58 < 42 est un « encadrement » de 41,58
par 42 et 43 .
On dit que l’on a « encadré » 41,58 par
les deux nombres entiers consécutifs
41 est la valeur
approchée à 1 près par défaut de
41,58 . ( la valeur approchée à 1 près
par défaut est la partie entière)
43 est la valeur
approchée à 1 près par excès de
41,58
Exemples d’ encadrements par des nombres par des
entiers consécutifs. :
|
5 < 5,2< 6 |
0 < 0 ,534 < 1 |
19 <19,37< 20 |
0
< 0,07< 1 |
- On peut
donner des encadrements par des des dizaines ; des centaines consécutives ….etc. :
exemple : 6 000 <
6 237,86 < 7 000
6 000 est la valeur
approchée à 1 000 près par défaut de 6 237,86.
7 000 est la
valeur approchée à 1 000 près par excès de 6 237,86
On dit aussi que 6 000 est un ordre de
grandeur de 6 237,86 . (on dit aussi « arrondi »)
Si l’on veut être plus précis , on peut donner
d’autres encadrements :
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6
200 < 6 237,86 < 6 300 |
Valeurs
approchées à 100 près |
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6230
< 6 237,86 < 6 240 |
Valeurs
approchées à 10 près |
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6237 <
6 237,86 < 6238 |
Valeurs
approchées à 1 près |
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On peut donner des encadrement par
des dixièmes consécutifs |
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6237,8
< 6 237,86 < 6237,9 |
Valeurs
approchées à 0,1 près |
-
On peut donner des
encadrement par des dixièmes
consécutifs , des centièmes , des
millièmes consécutifs …..etc.
Exemple : 0,007 < 0,
00734 < 0,008
Ainsi :
0,007 est la
valeur approchée à 0,001 près par défaut de 0, 00734
0,008 est la valeur
approchée à 0,001 près par excès de 0, 00734
On peut aussi
avec :
Plus
de précision :
|
0,0073
< 0, 00734 < 0,0074 |
Valeurs
approchées 0,000 1 près |
moins de précision :
|
0,01 < 0, 00734 <
0,02 |
Valeurs
approchées 0,01 près |
Autres exemples :
La valeur approchée à
0,01 prés par défaut de 0,8353 est 0,83.
La valeur approchée à
0,01 prés par excès de 5,264 est
0,53 .
C) Un ordre de grandeur est une valeur
approchée.
Mais très souvent , on choisit pour ordre de
grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les chiffres sont nuls sauf un .
Exemples :
Pour « 527 , 357 » on prendra « 500 » comme ordre de
grandeur .
Pour « 0,0063 » on prendra « 0,006 »
Pour « 633,42 » on prendra « 600 »
Pour « 52 , 376 » on prendra « 52 »
Pour « 0,041 » on prendra « 0,04 »
Si le nombre est plus près de sa valeur approchée
par excès , on choisira cette valeur.
Exemples :
Pour « 4 986 , 78 » on prendra « 5
000 »
Pour « 1, 87 » on prendra
« 2 »
Pour « 0,00783 » on prendra
« 0,008 »
Vocabulaire : TRONCATURE ( @ En PLUS +++)
Les valeurs approchées par défauts
sont aussi appelées «
Troncatures »
Exemples de troncatures :
Soit le nombre
524, 367 : les nombres « 524 » ; « 524,3 » ;
« 524,36 » sont ses valeurs approchées par défaut .
D) L’ordre de grandeur d’un
résultat.(
approche)
L’ordre de grandeur d’un résultat s’obtient en remplaçant les nombres par des nombres voisins avec lesquels le calcul est simplifié
.
Quelle que soit l’opération que l’on a à effectuer
, il est toujours bon de s’assurer que l’ordre
de grandeur du résultat est
cohérent .
Exemples : si l’on a à effectuer 123 fois
58 , on sait à l’avance que le résultat
est voisin de 120 fois 60 soit 7200 ; ( NB : le résultat exact est de
7134)
si l’on a à effectuer 18 fois 58 , on sait à l’avance que le résultat est
voisin de 20 fois 60 soit 1200 ; ( NB : le résultat exact est de ………)
Exemple : ORDRE DE GRANDEUR D’UN
PRODUIT
A)
Encadrement d’un
produit :
Soit le
produit : 357 
8651
a) Encadrement des facteurs :
300
< 357 < 400
et 8000 < 8651 < 9 000
b) On peut dire que le produit 357 8651 :
est
supérieur à 300 8000 et est inférieur à 400 9000
c) C’est à dire : 300 8000 < 357 8651 < 400 9000
2 400 000 < 357 8651 < 3 600 000
d) on peut
donner un ordre de grandeur « 357 8651 » proche de la moyenne des extrêmes ( 2
400 000 + 3 600 000) : 2 ; ce
qui donne environ 3 000 000
B) On peut sans faire un encadrement , uniquement
en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur
de certains produits.
Exemples :
a) 384 21 ; ordre de grandeur 400
fois 20 = 8 000 ; soit 8
suivi de 3 zéros
b) 38 427 2 132 ; ordre de grandeur 40 000 fois 2000= 8 0 000 000 ;soit 8 suivi de 7 zéros
c) 123 345 3 046= ? ordre de grandeur 123 000 fois 3000= 369 000 000 ; soit 369 suivi de 6 zéros .
d) 497 9 953
= ? ordre de grandeur 500 fois 10 000 = soit 5 suivi de 6 zéros soit 5 000 000
TRAVAUX AUTO - FORMATIFS
1 ) Que veut dire « ordre de
grandeur » ?
EVALUATION à
préparer
1°) Donner
les encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :
|
…..<
5,2 < … |
<
0,534 <. |
..< 19,37
< … |
< 0,07
< |
2°) Voici un encadrement de 537,264 par des entiers consécutifs :
537 <
537,264 < 538
Que dire de 537 et 538 ?
537
.
538 .
Que dire de 530 ?
Que dire de 500 ?
Que dire de 600
Compléter :
|
|
|
|
A
100 près |
< 537,264 < |
|
A
0,1 près |
< 537,264 < |
|
A
0,01 |
< 537,264 < |
3°) Encadrer :
|
10,75
à 0,1 près |
|
|
152,3 à 10
près |
|
|
74,04
à 1 près |
|
|
28,7074
à 0,001 près |
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CORRIGE
1°) Donner
les encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :
|
…5..<
5,2 < …6. |
0
< 0,534 <.1 |
19..< 19,37
< 20… |
0
< 0,07 < 1 |
2°) Voici un encadrement de 537,264 par des entiers consécutifs :
537 <
537,264 < 538
Que dire de 537 et 538 ?
539 est la valeur approchée à 1 près par défaut de 537,264.
540 est la valeur approchée à 1 près par excès de 537,264.
Que dire de 530 ?
530 est la valeur approchée à 10
près par défaut de 537,264.
Que dire de 500 ?
500 est la valeur approchée à 100
près par défaut de 537,264.
Que dire de 600
600 est la valeur approchée à 1
près par excès de 537,264.
Compléter :
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530<
537,264 < …… |
|
A 100 près |
<
537,264 < |
|
A 0,1 près |
537,2<
537,264 < |
|
A 0,01 |
<
537,264 < |
3°) Encadrer :
|
10,75 à 0,1 près |
10,7
< 10,75 < 10,8 |
|
152,3
à 10 près |
150
< 152,3 < 160 |
|
74,04 à 1 près |
74
< 74,04 < 75 |
|
28,7074 à 0,001 près |
28,707
< 28,7074 < 28,708 |