Pré requis:

Angle au centre
Unité d’angle (wrv)
Cercle

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths		Objectif précédent : 1°)Les unités d’angles 2°) arcs et cordes	Objectif suivant Angle orienté . Longueur d’un arc de cercle	Liste des cours sur la trigonométrie .
	DOSSIER : Le RADIAN (symbole rd )
	1°) Définition.
	2 °) Conversion d’un radian en degré.
	3°) Conversion d’un radian en grades .
	4°) Niveau IV : Il faut savoir ou savoir retrouver ! ! !
	5°) Repérage des principaux nombres « radians » dans le cercle :

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité 2°) le mouvement circulaire uniforme. 3°) le cercle trigonométrique 4°) le courant alternatif

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Préambule :

Le mot « radian » a été imprimé pour la première fois en 1873.(les degrés avaient plus de deux mille ans d’ âge )

1°)Définition.

Par définition :

le radian est l’angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc égal au rayon.

Arc AB = rayon OA = 1 rayon = R

Conséquences. On sait que : La circonférence à une longueur de 2 ´p ´ R

La demi - circonférence a une longueur de « p R » ou « 3,14 R »

L’angle plat AOE vaut donc :

3,14 R : R = 3,14 rd = p rd

Donc un demi- cercle a pour mesure p radians. (ou 3,14 radians)

On retiendra :

Un angle plat = 2 angles droits = 180 degrés = 200 grades = 3,14 radians

Si l’angle plat vaut p radians (angles ) ; l’angle droit radians.

le cercle a pour mesure : 2 ´ p radians (arcs)

La lettre p (pi) que nous avons souvent utilisée comme simple initiale pour désigner l’angle plat , pourra donc être considérée comme valant bien 3, 14159 … puisque l’angle plat p vaut 3,14159…radians.

l y a 2p radians (2 p rad  ) dans un cercle .

Dans un cercle de rayon R , un angle au centre de 1 radian intercepte un arc ab dont la longueur est ab = R ; Donc un angle au centre de « α » radians interceptera un arc dont la longueur est AB = Rα

2 °) Conversion d’un radian en degré :

Calcul de l’angle , « en degré » , au centre d’un arc «ab » dont la longueur est égale au rayon :

Formule : si l’on pose l’arc ab = R on obtient soit

p # 57°18’ ; ou 57° 17’45’’

3°) Conversion d’un radian en grades :

Calcul de l’angle , « en grade » , au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule : ,

si l’on pose l’arc ab = R on obtient soit p # 63,662 grades

On en déduit que :

180° = p rad  ;

90° = rad  ;

60° = rad

45° = rad

30° = rad

4°) Niveau IV : Il faut savoir ou savoir retrouver ! ! !

Sur un cercle il faut repérer les valeurs en radians contenues dans ce tableau ( valeurs comprises entre 0 et p )
Degrés	Grade	Radian
360°	400 grades	2p	1 tour
180°	200 grades	p	½ tour
90°	100 grades		¼ tour
45°	50 grades		^1/8 tour
30° =		: 3 =	1/12 tour
120° = 90° + 30°	100+ =	+= =	¼ tour + 1/12 tour = 1/3 tour
135° = 90° + 45 °	100 + 50 = 150	+=	¼ tour +^1/8 tour = 3/8 tour

5°) Repérage des principaux nombres « radians » dans le cercle :

Voir leçon « le rapporteur »

Dans certaines questions , notamment en trigonométrie , il est très commode de prendre pour unité d’arc AB dont la longueur est égale au rayon .(nous venons d’en calculer les mesures en degrés ou en grades.

En physique : (mouvement circulaire ) il est commode d’utiliser comme unité d’angle, non pas le degré ou le grade , mais le radian.

la longueur ( l ) parcourue par un point tournant autour d’un axe ( Rayon R) , l = R w ; w est l’angle en radian )

TRAVAUX AUTO _FORMATIFS

CONTROLE:

Donner la définition du radian :

EVALUATION:

1°) Calculez l’angle , « en degré » , au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

2° ) Calculez l’angle , « en grade » , au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

3°) tracer un demi cercle et reporter les valeurs suivantes :

Radian

2p

p

 : 3 =

+= =

+=

Interdisciplinarité :

En artillerie , on prend pour unité d’angle le millième , il s’agit du millième de radian.

Pour un si petit angle , l’arc mesuré en radians est égal à la tangente , qui vaut aussi 0,001 .Le milliradian est donc l’angle sous lequel on voit un segment vertical de 1 mètre placé à une distance de 1 000 mètres .

CORRIGE

CONTROLE:

Donner la définition du radian :

L’ unité d’arc ab dont la longueur est égale au rayon s ‘ appelle « radian » ; on appellera aussi « radian » l’angle au centre AOB , que l’on prendra en même temps pour unité d’angle.

EVALUATION:

1°) Calculez l’angle , « en degré » , au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule : d = ,

si l’on pose l’arc ab = R on obtient d = soit # 57°18’

2° ) Calculez l’angle , « en grade » , au centre d’un arc ab dont la longueur est égale au rayon :

Formule : g = ,

si l’on pose l’arc ab = R on obtient g = soit # 63,66 grades

3°) tracer un demi cercle et reporter les valeurs suivantes :

Radian

2p

p

 : 3 =

+= =

+=