Les éléments neutres et les éléments absorbants
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Les égalités EG2 |
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Les éléments et
ensembles |
ENVIRONNEMENT du
dossier :
Objectif précédent : Vocabulaire : |
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2°)les égalités : tout
ce qu’il faut savoir connaitre présentation |
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Dossier 2 / 5 : La
Transformations d’ une EGALITE : Apprendre à
« NEUTRALISER » un élément dans un membre d’une égalité. ( tout en
conservant l’égalité vraie…) |
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1. NEUTRALISATION d’un terme, dans un membre |
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2. NEUTRALISATION d’un facteur ,
dans un terme |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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objectif :EG3 |
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leçon :les égalités numériques et algébriques
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COURS. |
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Ces
leçons sur ces « égalités » sont très importantes ……………………..Le but
de ces travaux sur les égalités vont permettre de savoir comment transformer
une formule « mathématique »
en vu de trouver un résultat………..numérique … |
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OBJ : connaître les éléments neutres et les éléments
absorbants ; savoir neutraliser
un terme ou un facteur dans un membre d’une égalité en vue de «
résoudre une équation ». Commentaire: On utilise
la neutralisation pour transformer une égalité. (ou une inégalité) Rappel :
sur la signification du mot « RESOUDRE @ » : « Résoudre "une
équation" » c ' est rechercher la valeur de l ' inconnue (généralement " @ ) qui vérifiera que l ' égalité est vraie. ( l’égalité est vraie lorsque l’on a
remplacé « x » par la valeur numérique trouvée
et effectué les calculs avec la valeur
de « x » ; il faut trouver la même valeur pour chaque
membre , après calcul ) pour
« résoudre » ; on nous
donne une égalité contenant une lettre appelée « inconnue ». (
exemple : 2
La lettre « Résoudre
: c’est isoler « x » dans le premier membre de l’égalité pour
obtenir x = ......... Pour cela il faut : « isoler » le terme contenant l ‘ « Il faut donc neutraliser le ou les
autres termes qui ne contiennent pas d’ » L’égalité
Lorsque le terme en « pour n’ avoir
que «
Ainsi on transforme l’égalité
en une autre égalité ou « |
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Pour ce faire on a divisé « 2x » et « 5 » par
« 2 »………………l’égalité reste vraie ……… |
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I)
NEUTRALISATION D’UN TERME : |
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Exemple : je veux résoudre l'équation Je dois donc « isoler »
le « x » ,pour cela il faut
faire disparaître le
« +3 » qui se trouve dans le
premier membre. Pour neutraliser le « +3 » qui se trouve dans le premier membre ; j'ajouterai « -3 » dans chaque membre tel que :
j'obtiens la nouvelle égalité x + 0 = 2 ; la solution de l'équation
est Rappels: L'élément neutre de
l'addition et la soustraction est 0 ; sur la définition du mot "terme" : les nombres situés à droite et à gauche du
signe « +l » s ’ appelle des
termes) ; voir aussi : la somme des
nombres relatifs
symétriques et égale à 0s . |
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On dira que vouloir : « neutraliser un
terme ou un nombre précédé d’un signe + ou - » , c’est remplacer ce terme par « zéro », |
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Pour cela il faut respecter la
procédure suivante : Procédure permettant de neutraliser un terme dans une égalité: Pour neutraliser un
terme dans un membre , il faut et il suffit d’ajouter , dans ce
membre ,son opposé , mais
attention pour conserver l’égalité
« vraie » il faut
l’opposé dans les deux membres de l’égalité. |
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Voir impérativement l’objectif :@ OPP ET INV.:
savoir écrire l’opposé et l’inverse d’un nombre donné. |
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Commentaires : |
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On neutralise un « terme dans un membre » dans le but de ne laisser dans ce membre
que le terme qui contient la variable.(en vue de trouver la valeur numérique de cette variable
.) DIT AUTREMENT : La neutralisation sert à « isoler
» le terme contenant comme
facteur une lettre. Dit Plus simplement: Neutraliser des termes (dans un membre)est la
première étape permettant de
« résoudre une équation ». |
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Ce qui suit est un exercice complètement résolu (Pour la
compréhension) Enoncer de l’exercice :Résoudre l’équation Commentaire
: « résoudre l’équation » c’est rechercher la valeur de X qui
vérifie l’égalité. Résolution: Dans le premier membre nous avons
deux termes ,un contenant si nous voulons D ’
après la règle : pour neutraliser un terme on lui ajoute son opposé (l’opposé de +12 est
-12 ).
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Série
1 |
Procédure : il faut transformer l’expression en somme ;
ajouter au 2 membres l’opposé du terme à
neutraliser ( pour obtenir « x + 0 » ) |
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Série
2 |
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Série
3 |
Cas : « |
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Série
4 |
Cas particulier : il y a un signe
« - » devant « x » |
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Nous venons de voir comment « neutraliser un terme »,en vue de résoudre une équation , Nous allons voir le cas où
« |
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Rappel: L’élément neutre de la multiplication et de la division est 1. Un nombre
multiplié par son inverse est égal à 1 a x |
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1°) Neutraliser un facteur: Neutraliser un facteur (nombre ou lettre(s) )
dans un terme d’un membre d’une
égalité c’est le remplacer par la valeur
1 . |
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2°) Procédure permettant de
neutraliser un facteur: Pour neutraliser un facteur il faut
et il suffit de multiplier ce facteur par son inverse. |
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3°) APPLICATION
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a
) Neutralisation
du nombre «
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Exemple :
Prenons l’égalité , on dit aussi : On nous donne l’égalité :
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L’énoncé en algèbre serait : quelle est la valeur de « x » qui
vérifie l’égalité donnée. |
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Je veux Je dois faire disparaître « 2 »
C’est une multiplication ! je dois trouver un moyen de remplacer « 2 » par l’élément
neutre « 1 » ; pour se faire
je dois multiplier « 2 » par son inverse. |
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1°)
Je multiplie « 2x » par |
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2°) Pour que l’égalité reste
« vraie » je dois multiplier le deuxième membre (
17 ) par |
17 fois |
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Conclusion : |
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En algèbre on nous demande de résoudre l’équation |
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(ce qui correspond au problème posé
: trouver la valeur de « x » qui vérifie l’égalité
« vraie » ) |
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III
) Cas où l’on doit , pour obtenir une égalité de la forme
« Cas simple : un
des membres contient au minimum
2 termes ; le facteur « x » est multiplié par un nombre : « On désire obtenir ; après transformation une équation de la forme « x =
…… » Début de la résolution: |
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1°)D’après l’exemple précédant ,nous isolons le terme contenant « devient: 2 devient 2
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Exécution des calculs numériques: |
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on remplace dans l’égalité précédente: Simplification: |
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à ce niveau nous avons isolé le
terme contenant X ;la résolution n’est pas terminée,
il reste à isoler X ,il faut donc
neutraliser le facteur « 2 » de telle sorte nous ayons |
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........................................(exercice
à terminer ,voir suite page:........) |
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Cas complexe :
un des membres contient au minimum 2 termes ;
le facteur « « procédure : il faut regrouper
dans chaque membre les nombres ; ensuite il faut faire
passer les « x » dans un membre
et les nombres dans l’autre membre. Neutraliser un
facteur: Neutraliser un facteur (nombre ou lettre(s) )
dans un membre d’une égalité c’est le
remplacer par la valeur 1 . Procédure
permettant de neutraliser un facteur: Pour neutraliser un facteur il faut
et il suffit de multiplier ce facteur par son inverse. Attention ! ! ! ! pour
que l’égalité soit vraie il faudra
multiplier tous les termes de
l’égalité par « cet inverse ». |
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SUITE DE L’ EXERCICE : On demandait : Résoudre
l’équation Après une première transformation nous avions Nous avons dans le premier
membre « |
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Pour neutraliser le facteur 2 nous
multiplierons le premier membre par
l’inverse de 2 (inv 2); 2 fois inv.2 =
2 fois 1/2 (=1) |
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ce qui donne pour premier membre : ,mais
nous devons multiplier le terme (ou
les termes du deuxième membre par ce même inverse ;ce qui donne pour deuxième membre nous obtenons la nouvelle égalité : |
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après calcul |
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Vérification: |
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soit
l’égalité de départ le premier membre
résultat du calcul
: |
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Deuxième membre 17 (dans ce cas il n’y a pas de calcul) Comparaison du premier membre avec le deuxième membre 17 = 17
Conclusion: la valeur pour
« |
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Exemples
de résolution d’exercices , par la transformation
successive d’une égalité . |
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On se souviendra que ces transformations , sont à l’identique celles
que nous sommes obligés de faire lorsque nous cherchons la masse d’une partie
d’unobjet ou d’un élément d’un ensemble avec une balance Roberval. |
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Série 1 |
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Résultat : |
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Résultat :
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Résultat |
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS. |
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( Ils peuvent servir de devoir formatif en tout ou en partie ) |
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CONTROLE : |
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Pour un devoir il faut savoir
répondre aux questions : Qa ;Qb ;Q1 ;
2 ;3 ;4 ;5 a) Quel
est l’élément neutre de l’addition?
b) Quel est l’élément neutre de la multiplication? c) Dans quel cadre d’action
mathématique utilise-t-on la neutralisation? d) Dans quel but cherche -t - on à
neutraliser un (ou plusieurs) terme:? e) A quoi sert la
neutralisation d’un terme? 1)Lorsque
nous voulons neutraliser un terme que cherche t - on à faire? 2)Procédure
de neutralisation d’un terme : a) Donnez la procédure permettant de
neutraliser un terme. b)
Donnez la procédure permettant de neutraliser un terme dans une
égalité. 3)Lorsque
nous voulons neutraliser un facteur que cherche t - on à faire? 4) procédure de neutralisation d’un
facteur : a)
Donnez la procédure permettant de neutraliser un facteur b) Donnez la procédure permettant de
neutraliser un facteur dans une égalité . 5)
A quoi est égale la somme d’un terme et de son opposé? (donner son modèle
mathématique) 6)A quoi est égale la somme d’un facteur et de son inverse? (commentez son utilisation dans le cadre
d’une résolution d’équation) 7)A quoi, est égale la somme d’un terme et de son facteur? 8)A quoi est égal le produit d’un terme par son facteur? 9)A quoi est égal le produit d’un terme et de son opposé? 10)A quoi est égal le produit d’un facteur et
de son opposé? |
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EVALUATION :
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L’évaluation ne peut se faire que lorsque l’on aura
fait les objectifs relatifs aux nombres décimaux relatifs; D1 ;
D2 ; D3 ; D4. ( Résumé : voir
cours niveau V )
1°) Transformer l’égalité
pour obtenir une autre égalité de la forme « x = …….. »
(Donner la procédure à appliquer pour neutraliser le terme qui se trouve dans le premier
membre.
Série
1 |
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x +
3 =
5 |
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mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm |
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x +
7 = - 4 |
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Série
2 |
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x - 7
= + 3 |
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x – 5
= -3 |
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Série 3 |
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6 + x = -
5 |
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Série 4 |
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7 –
x = 9 |
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Série 1 |
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