CFA

Dossier niveau V :  N°1 :

CAP

DOSSIERN°2 : EQUATION du premier degré /  Objectif cours 34

Pré requis:

Lecture d’énoncé .

 

1°) Vers la liste des cours sur CALCUL NUM 

 

Cours : valeur numérique d’une expression algébrique

 

Algèbre 1 :Informations sur les conventions d’écritures

Les transformations d’équations  : les théorèmes

Calcul algébrique : …à voir …….

 

Environnement du dossier :

Index 

1°)niveau V : le premier degré: exercices types et problèmes (intro .)

2°)calcul algébrique

3°) calcul algébrique(suite)

4°) comment traiter un problème du premier degré.

Objectif suivant:

1°)degré (exercices résolus)

 2°) premier degré à deux inconnues

3°) Inéquations du premier degré.

4°) Transformation d’équations

5°)Premier degré  Suite niveau +++.

Tableau        Présentation des cours et travaux du premier degré

 

  DOSSIER : Résolution d'une Équation du premier degré à une inconnue.

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                         Problèmes du premier degré

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

 

 

 

INFORMATIONS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I ) Définition : EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.

 

EQUATION ENTIERE : En faisant passer tous les termes dans un même membre , toute équation peut se mettre  sous la forme   P = O

Si P est un polynôme , on dit que l’équation est « entière » et le degré est le degré de l’équation.

Ainsi  3 x3 + 5 x² - 4x + 3 =  3 x ( x² - 4x) + 5   est une équation du second degré parce qu’elle est équivalente à :   17 x² - 4 x - 2 = 0

 

EQUATION DU PREMIER DEGRE.

D’après ce qui précède , une équation du premier degré est une équation de la forme

  P = 0

P étant un polynôme du premier degré.

 

Si l’on fait passer tous les termes contenant l’inconnue « x » dans le premier membre et tous les autres dans le second, on obtient une équation de la forme :

                            (1)            a x = b

 

« a » et « b »  étant des données.

 

1°) si   a ¹ 0  , on peut diviser les deux membres par « a ».On voit ainsi que l’équation (1) admet une seule solution :

 

2°)Si   a = 0   l’équation (1) s ‘écrit :   0 × x = b

Or quel que soit « x », le premier membre est nul . Donc si « b » est différent de zéro, l’équation n’admet aucune solution. On dit qu’elle est impossible.

 

Si « b » est nul, quel que soit « x », l’équation est toujours satisfaite. On dit qu’elle est indéterminée.

 

En résumé :

si   a ¹ 0    solution  

 

 

REMARQUE : Si l’équation renferme des données littérales ( paramètres),on sera en général amené à distinguer plusieurs cas car pour certaines valeurs des paramètres le coefficient de l’inconnue pourra être nul et on n’aura pas le droit de  diviser les deux membres de l’équation par ce coefficient.

 

 

 

 

COURS

 

 

 Les premières équations du premier degré de base  sont:

Commentaire :   Toutes les transformations d’équations doivent se ramener aux modèles « types »suivants   ( il est donc nécessaire de savoir reconnaître et résoudre les modèles proposés )

Rectangle à coins arrondis: La résolution  se ramène  toujours aux types d’équations suivantes ;il faut donc savoir les transformer et mettre ses équations sous la forme :   « x » =…………
 

 

 

 


Exemples d’équations

SOS cours

Modèles types

Solution(s)

1  x   =  7

Evidemment 

   x = 7 :1

a  x  = b

donc    x =  b /a

(x = 7)

5  x  = 45

SOS cours

a  x  = b

ou

x a  = b

donc    x =  b /a

(x = 9)

5 + x = 45

SOS cours

a + x = b

ou

x + a = b  

donc x =  b -a

(x = 40)

5 - x = 45

SOS cours

a - x = b

donc  x = a -b

(x = - 40)

x  - 5 = 45

SOS cours

x –a  = b

donc x  = b +a

(x = 50  )

=

 

SOS cours

=

donc x  = (b a)  /c

(x =  15)

=

 

SOS cours

=

donc   x  = a c / b

(x = 5/3 )

=

 

SOS cours

=

 donc  x  = b a /c

(x = 15  )

=

 

SOS cours

=

donc x  = c a /b

(x = 5 /3)

= 8

 

SOS cours

= b

donc x  = b a

(x =  40)

=2

 

SOS cours

=b

donc x  = a/b

(x = 2,5 )

 

A savoir :Une équation du premier degré peut contenir dans chaque membre 1 ou plusieurs termes :

Exemples :  x +3 = 7 ; 2x +7 = 35 ;  3  x  + 54 = -5x +  31 - 4  ;    + (- 5) = 0 ; ….

 

 

 

ACTIVITES :

N°1 : Résoudre les équations d’inconnue « x ».

 

 

Corrigé :

  1.  

  x =

 

  1.  

7x + 3 = 4x - 7 

 

 

  1.  

3 (4x - 2) = 5 (3 + x)

 

 

Réponse : (x = 3) ;(x = - 10 / 3) ; (x  = - 4)

N°2 : Trouver la solution  sans poser l’opération (mentalement)

 

Equations

-4x - 12= 0

5x - 6 = 0

2x + 3 = 0

- 3 x + 4 = 0

Solution :

 

 

 

 

 

Réponses : - 3 ; - 1,5 ; 4/3 ; 1,2

Fin de l’activité.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue (possédant dans un membre plusieurs termes ) ; on cherchera à ramener l’équation sous la forme «  a x = b  »

 

Exemple 1 :   Résoudre l’équation :   4 ( 2 x -3) + 7 - 6x    =     5 - 3 ( 6 - 4x)

 

On transpose (@) :

4 ( 2 x -3) + 7 - 6x - 5 + 3 ( 6 - 4x) = 0

On développe @:

 8 x - 12 + 7 - 6 x - 5 + 18 - 12x  = 0

On réduit  @:

 - 10 x + 8 = 0           (forme a x + b = 0 ; « a » = -10 et « b » = +8 )

Conclusion : Solution

   x   = 0,8

 

Cas où il y a des dénominateurs :

Exemple 2 :     Résoudre  l’équation  :      + 1,5   =  2 x

Procédure :

1° ) On effectue toutes les simplifications visibles à priori :

 

Réduction de termes semblables @

 

Suppression de termes identiques dans les deux membres : ( voir les égalités « ajouter l’opposé » @ )

 

Suppression d' un facteur commun à tous les termes (voir les égalités multiplier ou diviser par l’inverse) @ )

 

Calculs indiqués par des parenthèses (voir développer@ )

 

Etc : et  voir « neutraliser un terme ou un facteur @ »

 

2°) chasser les dénominateurs, et les parenthèses s'il y en a , en effectuant les calculs indiqués par ces parenthèses.

3° ) On fait ensuite passer dans un des membres de l'équation tous les termes refermant l'inconnue et dans l'autre tous les termes connus et l'on opère la réduction des termes semblables . si l'équation est littérale on met l'inconnue en facteur commun.  (modèle obtenu après toutes ces transformations :  ax = b )

4°)  Enfin on divise les deux  membres de l'équation par le coefficient de l'inconnue.

 

on dit aussi : on divise le second membre par le coefficient  de "x" , le résultat est la solution cherchée (sous réserve de la vérifier au cas où le dénominateur renfermait l'inconnue.

Procédure permettant de chasser les dénominateurs:

On a à transformer  l'égalité

 + 1,5   =  2 x

On veut une égalité équivalente:

 +    = 

 

On veut faire disparaître le dénominateur:

Il suffit de multiplier tous les termes par le nombre 7

 +    = 

Après calcul :on obtient l'égalité suivante:       3x + 10,5 = 14x

 

Exemples de résolutions :

 

Résoudre :

Résolution

  1.  

4,6 x = 18,4

    

     x  =

    

      x = 4

Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».

  1.  

 

 

12 x + 3 = 8

  

  x =

Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».

  1.  

4 ( x -3) = 2 ( x-5)+3

4  x - 12  =  2x - 10 + 3

 

 4 x  - 2 x =  12 - 10 + 3

 

2 x  = 5

 

x  =

Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».

  1.  

 

3x - 3 +2x +2 = 30

5x -1 = 30

5x = 31

 

Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».

CAS GENERAL:

 

Exemple  A :

 

Résoudre :

 - + 8 =  - +

 

Il faut faire disparaître les dénominateurs !

1°) réduire au même dénominateur:

calcul du PPDC de 2;3;5;4;20  = 60

 

Calcul du PPDC  appelé aussi PPCM

Réduire chaque terme au même dénominateur

2°) Transformer tous les termes :

l’égalité de départ-+8 = -+

devient l’égalité  équivalente :

 

-+ = -+

 

Il faut Transformer l’égalité proposée par une égalité équivalente dont tous les termes ont le même dénominateur !.

3°) multiplier tous les termes par "60"

ce qui revient à chasser le dénominateur "60" :

 

l’égalité : -+ = -+

 

devient l’égalité équivalente :

 

90 x- 100x + 480 = 72x - 135 x + 639

 

Voir : les égalités « théorèmes »

4° )Réduire dans chaque membre:

1er membre

90 x- 100x + 480 = x(90-100)+480 

90 x- 100x + 480 =  -10x +480

2ième membre

72x - 135 x + 639 = x (72 -135 ) + 639

72x - 135 x + 639 = - 63x + 639

donc l’égalité :

 90 x- 100x + 480 = 72x - 135 x + 639 devient l’égalité équivalente

         

-10x +480 = - 63x + 639

 

 

Factoriser

On fait passer les  "x" dans le premier membre et les termes connus (nombres) dans le deuxième membre.

 

*un terme change de membre change de signe  : "voir égalité"

-10x +480 = - 63x + 639

devient l'égalité : -10x +63x = 639 -480

 

Les égalités : « théorèmes »

On réduit :

-10x +63x = 639 -480

devient : 53x  = 159

Factoriser

 

« produit en croix »

Divisons les deux membres par "53":

 

               x=

 

 

Conclusion               x  = 3

Vérification :

On remplace dans le premier membre «  x » par la valeur « 3 » :

Et l’on calcule :

  - + 8 =           ; - + 8 = ?   ;  4,5 – 5 + 8 = +7,5

 

On remplace dans le deuxième membre «  x » par la valeur « 3 » :

Et l’on calcule :

-+=

-+= ?

 

3,6 – 6,75 + 10,65 =  7,5

 

Si les deux nombres sont égaux alors « x = 3 » est la solution !.  ainsi :   7,5 =7,5 ;    on peut confirmer que   « x = 3 »est la solution !

 

 


 

Exemple B

 

+ 8  = -

 

1°) réduire au même dénominateur:

calcul du PPDC de;3;5;15 ;  = 15

 

 

2°) Transformer tous les termes

+ = -

 

SOS transformation en fractions équivalentes

+ = -

 

 

On multiplie tous les termes par "15":

Ce qui revient à supprimer les dénominateurs.

3(x-3) + 120 = 10(7x-3 ) - (52 x -6)

SOS EGALTE

Suppression de parenthèses:

3x - 9 + 120 = 70x-30 - 52 x + 6

SOS développer

Faisons passer  tous les termes en "x" dans le deuxième membre et les termes connus dans le premier membre.

-9 + 120 + 30 - 6 = 70x -52 x -3x

 135   = 15 x

 

SOS Factoriser

70x -52 x -3x

x ( 70 -52 -3 )  = 15x

Conclusion :   x =    ;  x  = 9

 

 

 

Activités : Exercices : (@  en relation avec les pourcentages)

Trouver x = ?   ( on dit « résoudre »)

x =  3500

 

 

x =

x =  35

 

 

x  =

2,45  =  x

 

 

x =

Calcul            nécessitant  une     ou       des    transformations :

245  =  35000

 

 

x =

168  =  2100

 

 

x =

 

Soit l’égalité de la forme :

 y = ( ) x

 

Calculez :

 

 

x = ( )2300

 

x =

694,4 = ( ) 560

 

x =

1126,7 = ( ) x

 

x =

 

Soit l’égalité de la forme :

 y = ( ) x

 

Calculez :

 

 

x = ( )2300

 

 x =

486,75 = ( ) 590

 

 x =

626,5= ( ) x

 

 x =

EN RESUME , on retiendra  la procédure suivante ; pour :

Résoudre une équation du premier degré il faut :

 

CAS général (sans exemple)

 

 

Il faut faire disparaître les dénominateurs !

1°) réduire au même dénominateur:

 

Calcul du PPDC  appelé aussi PPCM

Réduire chaque terme au même dénominateur

2°) Transformer tous les termes :de

l’égalité de départ

en  égalité  équivalente dont tous les termes ont le m^me dénominateur :

 

Il faut Transformer l’égalité proposée par une égalité équivalente dont tous les termes ont le même dénominateur !.

3°) multiplier tous les termes par  le PPDC

ce qui revient à chasser le dénominateur

 

 

Voir : les égalités « théorèmes »

Multiplier tous les termes par le PPDC,pour neutraliser les dénominateurs

4° ) Réduire dans chaque membre:

 

Factoriser

On fait passer les  "x" dans le premier membre et les termes connus (nombres) dans le deuxième membre.

 

*un terme change de membre change de signe  : "voir égalité"

 

Les égalités : « théorèmes »

On réduit :

 

Factoriser

 

« produit en croix »

On résout   la forme  « ax = b »

 

Conclusion               x  = b /a

Vérification :

On remplace dans le premier membre «  x » par la valeur « b / a  » :

 

On remplace dans le deuxième membre «  x » par la valeur « b /a » :

Et l’on calcule :

si les deux nombres sont égaux alors « x = b /a  » est la solution

 

ACTIVITES  2 :

 

1°)  Résoudre l’équation  d’inconnue « x » :

 

Solution :

- on calcule le plus petit dénominateur commun : résultat  « 12 »

- on multiplie tous les termes de l’équation par « 12 »:

Après simplification, on obtient l’équation : 3 (3x +5) + 4 (2x -1) = 6 × 7 - (5x - 2)

- On développe ; on met sous la forme «  …..= 0 » : 9x + 15 + 8x - 4 = 42 -5 x+ 2

  et on réduit   :  22x =  33  

 

Solution : x = 1,5

 

2°) Résoudre l’équation : 

 

Solution :

- on calcule le plus petit dénominateur commun : résultat  « 10 »

- on multiplie tous les termes de l’équation par « 10 »:

Après simplification, on obtient l’équation : 4 (3y +4) + 10 (y -2) = 5(4y-3) - (7y - 8)

- On développe ; on met sous la forme «  …..= 0 » :

             12y + 16 + 10y - 20 - 20y+15 + 7y- 8 = 0

  et on réduit   :                                          9y +3  = 0  

 

Solution : x = - (1/3)

 

 

 

 

.  INTERDISCIPLINARITE:

 

Pour chaque cas « cliquer sur « » 

Equation type:  ax = b    ;    9  x  =  45

Savoir résoudre

Electricité

Physique :

 

Mécanique (poids et masse)

Mouvement uniforme

Travail d'une force

Mouvement uniformément varié

Equation type  ax -b =  c  ;   5x -14 =16

Savoir résoudre

Surface d'un triangle

Calcul d'intérêt simple

Densité d'un corps

Equation  type    ;

 Savoir résoudre

Equilibre d'un levier

Roues et engrenages

Equilibre d'un treuil

Chimie :

Chimie :

L’atome :        On donne l’écriture suivante : 1123 Na   (qui symbolise l’atome de Sodium (natrium)), combien compte t- on de neutrons ?

 

CONTROLE :

 

Donner la procédure pour résoudre une équation du premier degré , comportant des parenthèses et des dénominateurs.

 

 EVALUATION:

 

Devoir L le corrigé  est dans le cours)        Série 1 :

 

Résoudre :

Résolution

1-a

4,6 x = 18,4    

 

 

1-b

 

 

1-c

4 ( x -3) = 2 ( x-5)+3

 

 

1-d

 

 

Série 2 :

 

Résoudre :

Résolution

1-a

 9x = 4,2

 

 

1-b

 7 x + 3,2 = 7,7

 

 

1-c

3 ( 2x - 1) = 5 ( 6x + 4,2)

 

 

1-d

 

 

RESOUDRE LES EQUATIONS SUIVANTES:

Série  N° 1

5  x  = 45

 

5+ x = 45

 

5 - x = 45

 

x -5 = 45

 

=

 

 

=

 

 

 =

 

 

=

 

 

= 8

 

 

=2

 

 

 

Série  N° 2

 

8x = 48

 

 

6x = 72

 

 

9x -7 = 20

 

 

4x +15 = 23

 

 

Série  N° 3

 

5x - 60 = 0

 

 

40x - 25x = 75

 

 

16x -20 = 60

 

 

Série  N° 4

x = 12

 

 

5x =

 

 

x - 3 = 13

 

 

Série  N° 5

Faire les calculs suivants : (en relation avec les pourcentages)

x =  3500

 

 

x =

x =  35

 

 

x  =

2,45  =  x

 

 

x =

Calcul            nécessitant  une     ou       des    transformations :

245  =  35000

 

 

x =

168  =  2100

 

 

x =

 

Soit l’égalité de la forme :

 y = ( ) x

 

Calculez :

 

 

x = ( ) 2300

 

 

 

x =

694,4 = ( ) 560

 

 

 

x =

1126,7 = ( ) x

 

x =

 

 

 

Soit l’égalité de la forme :

 y = ( ) x

 

 

Calculez :

 

 

x = ( )2300

 

 x =

486,75 = ( ) 590

 

 x =

626,5= ( ) x

 

 x =

 

Série  N° 6

 

 

8x - 36 - ( 5x -4 ) = 20 - 10x

 

 

 

6x - 2 ( x - 4 ) + (3x - 2 ) 15 = 468

 

 

 

Série  N° 7

 

- =

 

 

 

 

 

 

 

Série N°8  (corrigé dans le cours)

1°)  Résoudre l’équation  d’inconnue « x » :

 

 

2°) Résoudre l’équation :      

 

 

Série 9   :  Résoudre les équations suivantes

 

 

Résultat

 

 

 

Résultat

5.     

3x = 15

 

 

6.     

90 - 13 x = 2x

 

7.     

8x = 120

 

 

8.     

8x - 12 = 5x + 24

 

9.     

2x = 17

 

 

10. 

3x + 15  = x + 35

 

11.   

20x = 9

 

 

12. 

48 - 7x = 3x + 28

 

13.  

3,2 x = 12

 

 

14. 

9x  - 53 = 107 - x

 

15.  

 

 

16. 

54 x  + 329 = 35x + 614

 

17.  

 

 

18. 

12 x + 28 - 3x = 8x + 47

 

19.  

5x = - 25

 

 

20.             

2 ( 4x - 5) = 38

 

21.  

- 3x = 42

 

 

22.             

5x = 3 ( 4  - x)

 

23.          

- 7 x = - 35

 

 

24.             

5 ( 39 - 3x ) = 3 ( 4x +2)

 

25.          

8x - 24 = 0

 

 

26.             

7 ( 8x - 3) - 13 =  39 x

 

27.          

 7 x- 63 = 0

 

 

28.             

6x = 9 ( 18 - 4 x ) + 48

 

29.          

- 4x - 44 = 0

 

 

30.             

3x + 25 =4 ( 12 x - 5)

 

31.  

15 x  + 75 = 0

 

 

32.             

7x - 28 = 3 ( 24 - x) - 56

 

33.          

12 x - 84 = 0

 

 

34.             

120 - 7 ( 15 - 3x) = 4 ( 6x -2 ) - 10

 

35.          

65 - 13 x = 0

 

 

36.             

12x- 8 = 4x - ( 17 - x)

 

37.          

 

 

 

38.             

 

Série 10 : Résoudre.

 

 

Résultat

 

 

 

Résultat

39.   

 

 

 

40.      

 

41.    

 

 

 

42.      

 

43.   

 

 

 

44.      

 

45.   

 

 

 

46.      

 

47.   

 

 

 

48.      

 

49.   

 

 

 

50.      

 

51.    

 

 

 

52.      

 

 

 

Niveau BEP - BAC PROF :

 

1°) Résoudre et discuter suivant les  valeurs du paramètre « m » représentant un nombre connu, l’équation :    2 ( m - 1)x - m ( x-1) = 2m +3

(corrigé dans le cours)

2°) Résoudre

a) Exercice n°1 : Résoudre l’équation    

 

b) Exercice n°2 : Résoudre l’équation    

 

 

ACTIVITE Niveau 3e : (discipline «  géométrie » : @ les inégalités triangulaires)

 

Données : 

ABC est un triangle dont les côtés ont  pour mesure ( en cm).*

AB = 3x ; BC = 6 ; CA =  2x+1

Dans lequel « x » représente un nombre strictement positif.

 

1°)  faire la figure dans le cas où « x » = 1,5

 Placer [ BC ] ; puis AB =  « ……… » ; CA = « …….. ». 

2°) Pouvez- vous dessiner le triangle quand «x = 8 » ?

 

Commencer par calculer les  côtés : AB =  …….. ; CA = ……..

 

2°) Déterminer les valeurs de « x » pour lesquelles le triangle existe ( sans être aplati). Le triangle existe à condition que la longueur de chaque côté soit strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

 

 - AB < BC + CA   se traduit par   3x < 6 + 2x +1 ; en transposant on obtient

               3 x - 2x < 6 + 1 ; c’est à dire   «   x <  …….»   

 

- BC <CA + AB   se traduit par   6 <  ……………..   ; en transposant on obtient

               6 - 1< 2x + 3x  ; c’est à dire   «   5 <  ………. »   

et en divisant les deux membres par « 5 » on obtient :        ……… <  x

 

- AC < AB + BC    se traduit par   2x +1 <  …………….   ; en transposant on obtient

               1 - 6 <   ………..  ; c’est à dire   «   - 5 < x »   

Ce qui est toujours vérifié puisque « x » est positif par hypothèse.

-          En définitive le triangle existe quand  1 < x et x > 7 c’est à dire  …..….. <  x  < ……

4°) Pour quelle valeur de « x »le périmètre du triangle est-il égal à 32 cm ?

 

5°) Pour quelle valeur de « x », le triangle est -il isocèle ?

 

- de base [ BC]    ;    AB = CA

 

- de base [ BC]       

 

6°)

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = 2 AB ? 

 

- Pour quelle valeur de « x », CA = 2 BC ?

 

-          Pour quelle valeur de « x » ; CA =  AB ?

 

7°) Se peut -il que le double de AB  soit égal au triple de AC diminué de la moitié de BC ?

CORRIGE Série 2 :

Série 2 :

 

Résoudre :

Résolution

1-a

 9x = 4,2

X = 7/15

1-b

 7 x + 3,2 = 7,7

X= 9 / 14

1-c

3 ( 2x - 1) = 5 ( 6x + 4,2)

 X = -1

1-d

X = 0,4

Corrige :On donne l’écriture suivante : 1123 Na   (qui symbolise l’atome de Sodium (natrium)), combien compte t- on de neutrons ?

.      «  23 » : représente la somme de protons (  p ) et de neutrons  ( n ) ;  ainsi 23 = p + n ; puisque « p = 11 » ;  23 = p + n devient 23 = 11 + n ; on en déduit par calcul que n = 23 –11   soit n = 12 .

Conclusion, l’atome de sodium a 11 électrons en périphérie ; son noyau possède  11 protons et 12 neutrons.