Pré requis:

Objectifs   les égalités :    vocabulaire 1EG1

3D Diamond

égalités     les égalités : vocabulaire 2  EG2

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Expression algébrique (niveau 2)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX       Boule verte

Objectif précédent   Sphère metallique

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »   Sphère metallique

Tableau       Sphère metallique 315

Liste des cours d’algèbre.

DOSSIER :      DEVELOPPER .( voir « distributivité »)

et  « réduire »  et  « ordonner »  .

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 


Préambule :

 

Définition :

 

Une expression algébrique  est développée, réduite et ordonnée  si elle est la somme de monômes , de puissances différentes ,ordonnée par puissances décroissantes.

 

Ordonner :

Exemple d’expression algébrique  ordonnée :     A =  7 x² - 3 x + 1

 

Exemple de l’expression algébrique  ci dessus  non- ordonnée :     A = - 3 x  + 1 +  7 x²

 

 

Réduire :  réduire c’est regrouper  des termes de même degré ( ou de même puissance) :

Exemple : 

Expression « non » réduite :

Expression réduite .

5 + 3

8

7 - 4

3

x  +   x

2x

2x + x

3 x

3x +  2 x

5 x

x ² +   x ²

2 x ²

3 x  +   x

4 x ²

Remarque : on ne peut pas réduire  les expressions ci dessous !

 

Mais on peut factoriser ! ! ! !si l’on sait identifier le facteur commun .  ( info plus +++)

x   ²  +  x    ( = x  x + 1 x )

=  x ( x  + 1 )     « x »  est le facteur commun

3   +   3 x     [ =  ( 3 ´ 1   +  3 ´ x ) ]

=  3 ( 1 +  x )     « 3 »  est le facteur commun

3  +   x        ( il n’y a rien à modifier)

 

 

Factoriser :

 Une expression algébrique est factorisée  si elle est écrite   sous la forme d’un produit :

 A = (  2x + 1 )²  ou   B = 3  ( x + 4 ) ( 3x - 1)   ou   C = ( x + 1 ) ( x - 1 )

 

Pour savoir factoriser il faut savoir identifier les termes  qui contiennent un facteur commun .

 

 

 

 i Pour factoriser  ou développer  on utilise  les égalités :

                                                                                   k ( a + b ) = k a + k b

                                                                                   ( a + b ) (  c + d ) =  a c + ad + b c + bd

                                                                                   ou les identités remarquables .


 

Application :

On donne :               A = (x +3) ( 2x -7)

 

 DEVELOPPER                   Une expression algébrique est développée si elle est écrite sous la forme  d'une somme de monômes:

A=(x +3) ( 2x -7)       devient     A =   -7x +6x -21 +2x2

 

 REDUIRE                    Une expression algébrique  développée est réduite  si  elle est une somme de monômes de puissances différentes :

 

A= -7x + 6x -21 + 2x2   devient    A =  - x  - 21 + x2

 

 ORDONNER             Une expression algébrique  développée est réduite et ordonnée  si  elle est une somme de monômes de puissances différentes et si les monômes sont ordonnés par puissances décroissantes  :

 

A= -7x +6x -21 +2x2   devient    - x  - 21 + x2  qui devient  A =   x2  - x  - 21

 

 

RAPPEL :

 

Ce cours « développer »  n’a de sens que si l’on transforme les expressions algébriques en sommes algébriques

 

                      Ainsi  l’écriture  : - 7x +6x -21 +2x2

est une expression algébrique pour identifier les termes il faut faire la transformation

Et  l’écriture   ( -7x) + ( +6x ) + ( -21 ) + (+2x2)

 

 est appelée « la somme algébrique »  représentante de l’expression

 

« Terme » : les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus » dans la somme algébrique

De quoi se compose un facteur ? ( un  « terme ») :

      Un facteur (ou un terme) est un nombre ,ou une lettre, ou  l’ensemble des termes  d’une parenthèse.

 

Différence entre un terme et un facteur:

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus »  (l’opération soustraction se transforme ….,les facteurs  sont situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »). 

 

Termes semblables:

 

 On appelle "termes semblables"  d'un polynôme des termes qui ne diffèrent que par les coefficients.

 

Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2

 

Est un polynôme .( 8a2 , -4 a2  sont des termes semblables.)

 

 

Vocabulaire:  le signe   opératoire  de la multiplication  ,en forme de  « croix » , peut se traduire par plusieurs  « mots »:

le mot « fois »  ( 3fois 7)

par   «  multiplié par »    ( 3 multiplié par 7 )

« fois  entre parenthèses »    ( 3 fois entre parenthèses  5 + 2  ;

                                                                               pour 3 ( 5+2)

« facteur de »      (3 facteur de 5+2 ; pour   3 ( 5+2)  )

       

CONVENTIONS   D’ECRITURE:

Dans les expressions algébriques  le signe « multiplier » n ‘ est jamais  représenté

On ne  trace pas  la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est  couramment utilisée pour représenter  «  l’inconnue » .

 

En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

 

 ► un nombre et une lettre  :  3x   ;  il faut  lire  « trois fois ixe » ;   (le mot « fois » doit être remplacé  par   «  multiplié par » ) 

 

  ► deux lettres  :    ab      ; ………………lire  «  a fois b »  ou « a » facteur « b »

 

 ► un nombre et une racine:                   3   ;lire  « 3  fois racine carré de 18 »

 ► un nombre et une parenthèse :          3 ( 2x + 1)   ; lire   « 3 fois  entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de  2ixe plus un »

                        les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

► une lettre et une parenthèse:   x (  2x +2)  , lire «  ixe facteur  de  2ixe plus 2 »

 

► entre deux parenthèses :  (2x+1)(3x+2)  , lire     « 2ixe plus un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

 


 

COURS

 

DEVELOPPER:    « Développer »  est une activité  mathématique  qui a pour but de transformer un « produit » en  « somme  algébrique » .

 

Condition minimum  pour réaliser un développement:

            Avoir un produit de  deux facteurs  dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second  facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.

 

Modèle mathématique :   a ( b + c )   ou    a ( b - c )

 

 

  Exemples:  2 ( x + 3 )   ;     x  ( 2x - 5 ) ;    a ( b + c  - d ) ;

 

autres exemples:

 

      3x  ( 7 x -12 )   ;  x2 ( x - 3 )

 

 

Procédure de développement:     Exemple : a ( b + c )  

 

a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.

   a fois  b  = ab

b ) Multiplier le  deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur.

    a fois c = ac 

c ) Rendre compte:

           le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment.

 Conclusion : a ( b + c )  = ab + ac

 

 

A RETENIR

Traduction mathématique:          a ( b + c )  =   a b + a c

 

On dit aussi :

que « développer »  c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »

 

 

Applications :

 

Enoncé:  Développer  (on dit aussi « effectuer » )

 

Exemple :   2 ( x + 3 )  =   ?

 

on calcule :

    a)     2 fois x =  2x     et

    b )    2 fois 3  = 6

   c)  Conclusion:

                                     2 ( x + 3 )  =  2x + 6

 

Exemple  N°2 :   3x  ( 7 x -12 ) = ?

 

a)  3x1 fois 7x2 = 3 fois x1 fois 7 fois x2

= 3 x1 7 x2

=  3  7  x1 x2

 = 21 x2

 = 21 x2

 

b)  3 x fois -12  = 3 x  -12

                          =3  -12  x

                          = -36 x

 

c) Conclusion:

                                 3x  ( 7 x -12 ) =  21 x2 - 36

 

 

Autres cas rencontrés :  

                        

                            le premier facteur contient deux termes

 

              Nous avons un produit de facteurs  ,chaque facteur étant une somme de deux (ou plusieurs)  termes.

 

 Modèle mathématique :     du type     ( a + b ) ( c + d ) = ?

 

 

Trois autres cas  sont couramment rencontrés;

 

          Un des facteurs contient un signe opératoire  « moins » , tel que :

  (a +b ) ( c- d)=  ?     ; ou   ( a - b )  ( c + d  )= ?   ;

         Les deux facteurs  ont un signe opératoire « moins » :      ( a - b ) ( c - d ) = ?

 

dans ces trois modèles  ,se souvenir ,pour les applications   que  a - b = a + opp.b  ;

                                                                                                   c -  d = c + opp.d

 

      Exemples:

 

      a)   ( x + 3) ( x - 1)  devient  ( x + 3) ( x + (- 1))

      b)    ( x - 3) ( x - 1)  devient  ( x + (-3))  ( x + (- 1))


 

Procédure de développement :    du type   ( a + b ) ( c + d )

 

a ) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

a fois c = ac

b) Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième facteur:

a fois  d = ad

c) Multiplier au deuxième  terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

b fois c = bc

d) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

b fois d = bd

e) Rendre compte:

conclusion: ( a + b ) ( c + d )  = ac  + ad + bc + bd

Remarque  :  Dans les applications on peut  souvent regrouper les produits  ad et bc .

 

 

Applications:

 

nous traitons les cas courants :

Premier cas :

(x +3) ( 2x +7) =  ?

 

a ) x fois 2x = 2 x2

b ) x fois 7  = 7x

c ) 3 fois 2x = 6x

d ) 3 fois 7  = 21

 

Conclusion : 

(x +3) ( 2x +7) =  2 x2  + 7x + 6x +21

nous pouvons  regrouper les termes  en x  ( ce qui correspond à une factorisation de 7x + 6x  qui est égal  à 13x)

donc : (x +3) ( 2x +7) =      2 x2  + 13x +21

 

 

Deuxième cas :

Développer  et regrouper les termes de même degré:

 

(x +3) ( 2x -7) =  ?

 

On transforme : (x +3) ( 2x -7) =  (x +3) ( 2x + (-7))

 

a) x fois 2x = 2x2

b) x fois (-7) = -7 x

c) 3 fois 2x  = 6x

d) 3 fois (-7) = -21

 

Conclusion:

(x +3) ( 2x -7) = 2x2 -7x +6x -21    (nous regroupons les termes de même degré : -7x + 6x est égal à   -x  )

 

                                     (x +3) ( 2x -7)  = 2x2 -x -21

 

Troisième cas :

 

(x  -3) ( 2x -7) =   (x +( - 3)) ( 2x  + (-7)) =

 

a) x fois 2x  = 2x2

b) x fois ( -7)   =  -7 x

c) (-3) fois 2x  =  - 6 x

d ) (-3) fois (-7)  =  +21

 

Conclusion:

 

(x +3) ( 2x -7) = 2x2 - 7 x  - 6 x + 21

                    (nous regroupons les termes de même degré ; -7x  plus-6x est égal à  -13x )

(x +3) ( 2x -7) = 2x2  - 13 x  +21

 

 

 

 

PUISSANCE « 2 »  D ’ UNE   ADDITION «( a + b )  »    ; ou   D’UNE SOUSTRACTION «( a  - b )2 » 

 

 

LES CAS SUIVANTS  FONT L ‘ OBJET   D’UN TRAVAIL PARTICULIER:

       

          Cas :        Les facteurs contiennent des termes identiques:

(a + b)2      =    (a + b) (a + b)  =  ?

 (a  - b)2     =     (a - b) (a - b)  =   ?

       

 autre cas :    Les facteurs sont identiques , le signe séparant les termes sont opposés:

                   (a + b) (a - b) =(a + b) (a - b) =   ?

 

              Se sont des cas « remarquables »  et  « à remarquer » ,que l’on doit  connaître , reconnaître , pour effectuer rapidement un développement  ou une factorisation. Nous en avons besoin pour traiter une partie du « second degré »

 

De nombreux exercices en mathématique font appel  à ces savoirs:

 

(Voir objectif : identités remarquables  )

 

Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

 

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un  développement.

 

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

 

4 ° )Donner le modèle mathématique  sur le développement  de  ( a + b ) ( c + d )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

I ) Développer les expressions suivantes :

 

 

Série 1

résultat

 

 

9 ( 3 + 5 ) =

(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)

 

 

 

3 ( x   + 2  )  =

 

 

 

3 ( x – 2  )  =

 

 

 

3 ( 4 -2x ) =

 

 

 

4  (3x - 5 ) =

 

 

 

 

 

Série 2

 

 

 

3 x ( x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( x – 2  )  =

 

 

 

Série 3

 

 

 

3 x ( 2 x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( 4 x  – 2  )  =

 

 

 

x (2y - 5x ) =

 

 

 

Série 4

 

 

 

 

 

2 ( 1 +2x )

 

 

 

a( 2 + b )

 

 

 

a(1-d)

 

 

 

3b(2 +1 ) 

 

 

 

3 ( x -y )

 

 

 

b (a2 + c )

 

 

 

a (a b  + c2f)

 

 

 

2 xy ( x - 2y)

 

 

 

( x+1) [(x-3) + ( x-2 )]

 

 

 

 

 

II )  Développer les expressions suivantes  et  réduire et ordonner quand cela est  possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

 

Série 2

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +1 ) ( x -2 ) =

 

 

 

 

 

 x +5 ) ( 3x -2 ) =

 

 

 

 

 

( -4x  +3 ) ( 5 x - 6 ) =

 

 

 

 

 

Série 3

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +5 ) ( x + 5 ) =

 

 

 

 

 

( x -5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

( x  +5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

 

Série 4

développer

Réduire

Ordonner

( 2x +3 )2 =

 

Voir les I.R.

 

 

( -3x +1 ) 2  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

Série 5

développer

Réduire

Ordonner

( a + b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a - b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a + b )  ( a - b )  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

 

 

Développer , réduire , ordonner

 

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

 

Calculer l'aire d'une surface

Longueur

largeur

 

Rectangle

L = x +a

l = x - b