Pré requis:

Objectifs   les égalités :    vocabulaire 1EG1

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égalités     les égalités : vocabulaire 2  EG2

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Expression algébrique (niveau 2)

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ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX    warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »   Sphère metallique

Tableau       Sphère metallique 315

Liste des cours d’algèbre.

 

 

Partie :   Conventions d’écriture et rappels.

 

 

Partie 1 :     DEVELOPPER .( voir « distributivité »)  

 

 

 

 

 

Partie 2 :      Développer – réduire et ordonnée.

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

CONVENTIONS   D’ECRITURE:

Dans les expressions algébriques  le signe « multiplier » n ‘ est jamais  représenté

On ne  trace pas  la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est  couramment utilisée pour représenter  «  l’inconnue » .

 

En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

 

 ► un nombre et une lettre  :  3 x   ;  il faut  lire  « trois fois ixe » ;   (le mot « fois » doit être remplacé  par   «  multiplié par » ) 

 

  ► deux lettres  :    ab      ; ………………lire  «  a fois b »  ou « a » facteur « b »

 

 ► un nombre et une racine:                   3   ;lire  « 3  fois racine carré de 18 »

 ► un nombre et une parenthèse :          3 ( 2x + 1)   ; lire   « 3 fois  entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de  2ixe plus un »

                        les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

► une lettre et une parenthèse:   x (  2x +2)  , lire «  ixe facteur  de  2ixe plus 2 »

 

► entre deux parenthèses :  (2x+1)(3x+2)  , lire     « 2ixe plus un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

 

 

 

Autres Rappels:

 

« Terme » : les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus » dans la somme algébrique

De quoi se compose un facteur ? ( un  « terme ») :

      Un facteur (ou un terme) est un nombre ,ou une lettre, ou  l’ensemble des termes  d’une parenthèse.

 

Différence entre un terme et un facteur:

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus »  (l’opération soustraction se transforme ….,les facteurs  sont situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »). 

 

Termes semblables:

 

 On appelle "termes semblables"  d'un polynôme des termes qui ne diffèrent que par les coefficients.

 

Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2   est un polynôme .( 8a2 , -4 a2  sont des termes semblables.)

 

 

Vocabulaire:  le signe   opératoire  de la multiplication  ,en forme de  « croix » , peut se traduire par plusieurs  « mots »:

-        le mot « fois »  ( 3fois 7)

-        par   «  multiplié par »    ( 3 multiplié par 7 )

-        « fois  entre parenthèses »    ( 3 fois entre parenthèses  5 + 2  ;  pour 3 ( 5+2) )

-        « facteur de »      (3 facteur de 5+2 ; pour   3 ( 5+2)  )

       

 

 

 

 

 

 

Partie 1 : « Développer » (distributivité)

 

 

DEVELOPPER:    « Développer »  est une activité  mathématique  qui a pour but de transformer un « produit » en  « somme  algébrique » .

 

Condition minimum  pour réaliser un développement:

            Avoir un produit de  deux facteurs  dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second  facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.

Modèle mathématique :   a ( b + c )   ou    a ( b - c )

 

 

 

  Exemples:   ;        autres exemples

 

Procédure de développement:     Exemple :   

 

a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.

  

b ) Multiplier le  deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur.

   

c ) Rendre compte:

           Le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment.

 Conclusion :  .

 

 

A RETENIR

Traduction mathématique

 

 

 

On dit aussi :

que « développer »  c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »

 

 

 

Activités : (Applications ) :

 

 

 

Enoncé:  Développer  (on dit aussi « effectuer » )

 

Exemple 1   :   ?

 

on calcule :

             ;      

 

Exemple  N°2 :    ?

 

a)      

 

 

 

b)     

                         

                         

 

                  

 

 

 

 

Autres cas rencontrés :  

                         

                            le premier facteur contient deux termes

 

              Nous avons un produit de facteurs  ,chaque facteur étant une somme de deux (ou plusieurs)  termes.

 

 Modèle mathématique :     du type    

 

 

Trois autres cas  sont couramment rencontrés;

 

          Un des facteurs contient un signe opératoire  « moins » , tel que :

     ; ou   ( a - b )  ( c + d  )= ?   ;

         Les deux facteurs  ont un signe opératoire « moins » :      

 

dans ces trois modèles  ,se souvenir ,pour les applications   que :

 

      Exemples:

 

      a)   evient 

      b)     devient 


 

Procédure de développement :    du type   ( a + b ) ( c + d )

 

a ) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

b) Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième facteur:

c) Multiplier au deuxième  terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

d) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

e) Rendre compte:

conclusion:

 

Remarque  :  Dans les applications on peut  souvent regrouper les produits  et  .

 

Applications:

 

nous traitons les cas courants :

 

 

Premier cas :

a )

b )

c )

d )

Conclusion : 

nous pouvons  regrouper les termes  en   ( ce qui correspond à une factorisation de   qui est égal  à )

donc :

 

 

 

Deuxième cas :

Développer  et regrouper les termes de même degré:    

 

On transforme :

 

a)

b)

c)

d)

 

Conclusion:

   (nous regroupons les termes de même degré :  est égal à     )

 

 

 

 

Troisième cas :

 

(

 

a)

b)

c)

d )

 

Conclusion:

 

                    (nous regroupons les termes de même degré ; -7x  plus-6x est égal à  -13x )

 

 

 

LES CAS SUIVANTS  FONT L ‘ OBJET   D’UN TRAVAIL PARTICULIER:

 

   PUISSANCE « 2 »  D ’ UNE   ADDITION «  »    ; ou   D’UNE SOUSTRACTION « » 

    

          Cas :        Les facteurs contiennent des termes identiques:

       

 autre cas :    Les facteurs sont identiques , le signe séparant les termes sont opposés:

 

              Ce sont des cas « remarquables »  et  « à remarquer » ,que l’on doit  connaître , reconnaître , pour effectuer rapidement un développement  ou une factorisation. Nous en avons besoin pour traiter une partie du « second degré »

 

De nombreux exercices en mathématique font appel  à ces savoirs:

 

(Voir objectif : identités remarquables  )

 

Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.

 

 

 

 

 

 

Partie 2 :  Développer – réduire et ordonnée.

 

 

 

 

 

Définition :

Une expression algébrique  est développée, réduite et ordonnée  si elle est la somme de monômes , de puissances différentes ,ordonnée par puissances décroissantes.

 

Ordonner :

Exemple d’expression algébrique  ordonnée 

 

Exemple de l’expression algébrique  ci dessus  non- ordonnée :    

 

 

Réduire :  réduire c’est regrouper  des termes de même degré ( ou de même puissance) :

Exemple : 

 

 

Expression « non » réduite :

Expression réduite .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : on ne peut pas réduire  les expressions ci dessous !

 

 

 

Mais on peut factoriser ! ! ! !si l’on sait identifier le facteur commun .  ( info plus +++)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Factoriser :

 Une expression algébrique est factorisée  si elle est écrite   sous la forme d’un produit :

  ou  

 

Pour savoir « factoriser »  il faut savoir identifier les termes  qui contiennent un facteur commun .

 

 

 

 

i Pour factoriser  ou développer  on utilise  les égalités :

                                                                      

                                                                                  

                                                                                   ou les identités remarquables .

 

 

 

Application :

On donne :              

 

 DEVELOPPER                   Une expression algébrique est développée si elle est écrite sous la forme  d'une somme de monômes:

       devient    

 

 REDUIRE                    Une expression algébrique  développée est réduite  si  elle est une somme de monômes de puissances différentes :

 

   devient   

 ORDONNER             Une expression algébrique  développée est réduite et ordonnée  si  elle est une somme de monômes de puissances différentes et si les monômes sont ordonnés par puissances décroissantes  :

    devient      qui devient 

 

 

 

 

RAPPEL :

Ce cours « développer »  n’a de sens que si l’on transforme les expressions algébriques en sommes algébriques .

 

 

Ainsi  l’écriture  : est une expression algébrique pour identifier les termes il faut faire la transformation

Et  l’écriture  

 

 est appelée « la somme algébrique »  représentante de l’expression

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

 

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un  développement.

 

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

 

4 ° )Donner le modèle mathématique  sur le développement  de  ( a + b ) ( c + d )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

I ) Développer les expressions suivantes :

 

 

Série 1

résultat

 

 

9 ( 3 + 5 ) =

(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)

 

 

 

3 ( x   + 2  )  =

 

 

 

3 ( x – 2  )  =

 

 

 

3 ( 4 -2x ) =

 

 

 

4  (3x - 5 ) =

 

 

 

 

 

Série 2

 

 

 

3 x ( x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( x – 2  )  =

 

 

 

Série 3

 

 

 

3 x ( 2 x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( 4 x  – 2  )  =

 

 

 

x (2y - 5x ) =

 

 

 

Série 4

 

 

 

 

 

2 ( 1 +2x )

 

 

 

a( 2 + b )

 

 

 

a(1-d)

 

 

 

3b(2 +1 ) 

 

 

 

3 ( x -y )

 

 

 

b (a2 + c )

 

 

 

a (a b  + c2f)

 

 

 

2 xy ( x - 2y)

 

 

 

( x+1) [(x-3) + ( x-2 )]

 

 

 

 

 

II )  Développer les expressions suivantes  et  réduire et ordonner quand cela est  possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

 

Série 2

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +1 ) ( x -2 ) =

 

 

 

 

 

 x +5 ) ( 3x -2 ) =

 

 

 

 

 

( -4x  +3 ) ( 5 x - 6 ) =

 

 

 

 

 

Série 3

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +5 ) ( x + 5 ) =

 

 

 

 

 

( x -5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

( x  +5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

 

Série 4

développer

Réduire

Ordonner

( 2x +3 )2 =

 

Voir les I.R.

 

 

( -3x +1 ) 2  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

Série 5

développer

Réduire

Ordonner

( a + b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a - b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a + b )  ( a - b )  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

 

 

Développer , réduire , ordonner

 

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

 

Calculer l'aire d'une surface

Longueur

largeur

 

Rectangle

L = x +a

l = x - b