Application :
On donne : A = (x +3) ( 2x -7)
DEVELOPPER Une expression algébrique est
développée si elle est écrite sous la forme
d'une somme de monômes:
A=(x
+3) ( 2x -7) devient A
= -7x +6x -21 +2x2
REDUIRE
Une expression
algébrique développée est réduite si
elle est une somme de monômes de puissances différentes :
A=
-7x + 6x -21 + 2x2
devient A = - x - 21 + x2
ORDONNER Une expression algébrique développée est réduite et ordonnée si
elle est une somme de monômes de puissances différentes et si les
monômes sont ordonnés par puissances décroissantes :
A=
-7x +6x -21 +2x2
devient - x - 21 + x2 qui devient
A = x2 - x -
21
RAPPEL :
Ce cours « développer »
n’a de sens que si l’on transforme les expressions algébriques en sommes
algébriques
|
Ainsi l’écriture : - 7x +6x -21 +2x2
est une expression algébrique pour
identifier les termes il faut faire la transformation
|
Et l’écriture
( -7x) + ( +6x ) + ( -21 ) + (+2x2)
est appelée « la somme
algébrique » représentante de l’expression
|
« Terme » : les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » dans la somme algébrique
De quoi se compose un facteur ? ( un « terme ») :
Un facteur (ou un terme) est un nombre
,ou une lettre, ou l’ensemble des
termes d’une parenthèse.
Différence entre un terme et un facteur:
les
termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » (l’opération soustraction se transforme
….,les facteurs sont situés à droite et
à gauche du signe ( x ;
appelé « croix » qui signifie
« multiplier »).
Termes semblables:
On appelle "termes
semblables" d'un polynôme des
termes qui ne diffèrent que par les coefficients.
Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2
Est un polynôme .( 8a2 , -4 a2 sont des termes semblables.)
Vocabulaire: le signe opératoire
de la multiplication ,en forme
de « croix » , peut se
traduire par plusieurs
« mots »:
le mot « fois » ( 3fois
7)
par « multiplié
par » ( 3 multiplié par 7 )
« fois entre
parenthèses » ( 3 fois entre
parenthèses 5 + 2 ;
pour 3 ( 5+2)
« facteur de » (3
facteur de 5+2 ; pour 3 (
5+2) )
CONVENTIONS D’ECRITURE:
Dans les expressions algébriques le signe « multiplier » n ‘ est
jamais représenté
On ne trace pas
la « croix » pour éviter toute confusion avec la lettre
« x »,qui est couramment
utilisée pour représenter «
l’inconnue » .
En l’absence de signe
,il y a toujours « produit » entre:
► un nombre et une lettre : 3x
; il faut lire
« trois fois ixe » ;
(le mot « fois » doit être remplacé par
« multiplié par » )
► deux lettres : ab
; ………………lire « a fois
b » ou « a » facteur
« b »
► un nombre et une racine:
3
;lire « 3
fois racine carré de 18 »
► un nombre et une parenthèse : 3
( 2x + 1) ; lire « 3 fois entre parenthèses 2 ixe plus un » ou
aussi « 3 facteur de 2ixe plus
un »
les groupes de
mots « fois entre parenthèses » et « facteur
de » ont la même signification .
►
une lettre et une parenthèse: x (
2x +2) , lire « ixe facteur
de 2ixe plus 2 »
►
entre deux parenthèses : (2x+1)(3x+2)
, lire « 2ixe plus
un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )
COURS
DEVELOPPER:
« Développer » est une activité mathématique
qui a pour but de transformer un « produit » en « somme algébrique » .
Condition minimum pour réaliser
un développement:
Avoir un produit de deux facteurs
dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second facteur étant composé d’une
« somme » de deux ou plusieurs termes.
Modèle mathématique : a ( b + c )
ou a ( b - c )
Exemples:
2 ( x + 3 ) ; x (
2x - 5 ) ; a ( b + c - d ) ;
autres
exemples:
3x
( 7 x -12 ) ; x2 ( x - 3 )
Procédure de développement: Exemple : a ( b + c )
a )
Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.
a
fois b
= ab
b )
Multiplier le deuxième terme du deuxième
facteur par le premier facteur.
a fois c
= ac
c )
Rendre compte:
le
premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé
des deux termes calculés précédemment.
Conclusion :
a ( b + c ) = ab + ac
A
RETENIR
Traduction
mathématique: a ( b + c ) = a b
+ a c
On dit aussi :
que « développer » c’est « distribuer le facteur simple
sur les termes contenus dans la parenthèse »
Applications :
Enoncé: Développer
(on dit aussi « effectuer » )
Exemple
: 2 ( x + 3 ) = ?
on calcule :
a) 2 fois x =
2x et
b ) 2 fois 3
= 6
c) Conclusion:
2 ( x + 3
) =
2x + 6
Exemple N°2 :
3x ( 7 x -12 ) = ?
a) 3x1
fois 7x2 = 3 fois x1 fois 7 fois x2
= 3 
x1 7 x2
= 3 7 x1 x2
= 21 x2
= 21 x2
b) 3 x fois
-12 = 3 x -12
=3 -12 x
= -36 x
c) Conclusion:
3x ( 7 x -12 ) =
21 x2 - 36
Autres cas rencontrés :
le premier facteur
contient deux termes
Nous avons un produit de
facteurs ,chaque facteur étant une somme
de deux (ou plusieurs) termes.
Modèle mathématique :
du type ( a + b ) ( c + d ) =
?
Trois
autres cas sont couramment rencontrés;
Un des facteurs contient un signe
opératoire « moins » , tel que
:
(a +b ) ( c- d)= ? ;
ou ( a - b ) ( c + d
)= ? ;
Les deux facteurs ont un signe opératoire « moins »
: ( a - b ) ( c - d ) = ?
dans
ces trois modèles ,se souvenir ,pour les
applications que a - b = a + opp.b ;
c - d = c + opp.d
Exemples:
a)
( x + 3) ( x - 1) devient ( x + 3) ( x + (- 1))
b)
( x - 3) ( x - 1) devient ( x + (-3))
( x + (- 1))
Procédure
de développement : du
type ( a + b ) ( c + d )
a )
Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième
facteur:
a
fois c = ac
b)
Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième
facteur:
a
fois d = ad
c)
Multiplier au deuxième terme du premier
facteur le premier terme du deuxième facteur:
b
fois c = bc
d)
Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième
facteur:
b
fois d = bd
e)
Rendre compte:
conclusion: ( a + b ) ( c + d ) = ac +
ad + bc + bd
Remarque : Dans
les applications on peut souvent
regrouper les produits ad et bc .
Applications:
nous
traitons les cas courants :
|
Premier
cas :
(x +3) ( 2x +7) =
?
|
|
a ) x fois 2x = 2 x2
b ) x fois 7
= 7x
c ) 3 fois 2x = 6x
d ) 3 fois 7
= 21
Conclusion :
(x +3) ( 2x +7) =
2 x2 + 7x + 6x +21
nous
pouvons regrouper les termes en x
( ce qui correspond à une factorisation de 7x + 6x qui est égal à 13x)
donc : (x +3) ( 2x +7) = 2
x2 + 13x +21
|
|
Deuxième
cas :
Développer
et regrouper les termes de même degré:
(x +3) ( 2x -7) =
?
|
|
On transforme : (x +3) ( 2x -7) = (x +3) ( 2x + (-7))
a) x fois 2x = 2x2
b) x fois (-7) = -7 x
c) 3 fois 2x
= 6x
d) 3 fois (-7) = -21
Conclusion:
(x +3) ( 2x -7) = 2x2 -7x +6x -21 (nous regroupons les termes de même degré
: -7x + 6x est égal à -x )
(x +3) (
2x -7) = 2x2 -x -21
Troisième
cas :
(x -3) (
2x -7) = (x +( - 3)) ( 2x + (-7)) =
a) x fois 2x
= 2x2
b) x fois ( -7)
= -7 x
c) (-3) fois 2x
= - 6 x
d ) (-3) fois (-7) =
+21
Conclusion:
(x +3) ( 2x -7) = 2x2 - 7 x - 6 x + 21
(nous regroupons les
termes de même degré ; -7x plus-6x est
égal à -13x )
(x +3) ( 2x -7) = 2x2 - 13 x
+21
|
PUISSANCE « 2 » D ’
UNE ADDITION «( a + b ) 2 » ; ou
D’UNE SOUSTRACTION «( a - b )2 »
LES
CAS SUIVANTS FONT L ‘ OBJET D’UN TRAVAIL PARTICULIER:
Cas : Les facteurs contiennent des termes
identiques:
(a + b)2
= (a + b) (a + b) = ?
(a - b)2 =
(a - b) (a - b) = ?
autre cas : Les facteurs sont identiques , le signe
séparant les termes sont opposés:
(a + b) (a - b) =(a + b) (a - b) = ?
Se sont des cas
« remarquables » et « à remarquer » ,que l’on doit connaître , reconnaître , pour effectuer
rapidement un développement ou une
factorisation. Nous en avons besoin pour traiter une partie du « second
degré »
De
nombreux exercices en mathématique font appel
à ces savoirs:
(Voir objectif : identités remarquables )
Voir + : PUISSANCE
« 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.
TRAVAUX AUTO FORMATIFS :
CONTROLE:
|
1°
) Que signifie: Développer ?
|
|
|
2°
) Donner la condition minimum permettant de faire un développement.
|
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|
3°
) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.
|
|
|
4
° )Donner le modèle mathématique sur
le développement de ( a + b ) ( c + d )
|
|
EVALUATION :
|
I
) Développer les expressions suivantes :
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Série
1
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résultat
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9 ( 3 + 5 ) =
(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer
les calculs!!)
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3 ( x +
2 )
=
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|
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|
3 ( x – 2
) =
|
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|
3 ( 4 -2x ) =
|
|
|
|
4 (3x - 5
) =
|
|
|
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|
|
|
|
Série
2
|
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|
3 x ( x +
2 )
=
|
|
|
|
3 x ( x –
2 )
=
|
|
|
|
Série
3
|
|
|
|
3 x ( 2 x
+ 2 ) =
|
|
|
|
3 x ( 4
x – 2
) =
|
|
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|
x (2y - 5x ) =
|
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|
|
Série
4
|
|
|
|
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|
2
( 1 +2x )
|
|
|
|
a(
2 + b )
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|
a(1-d)
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|
3b(2
+1 )
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|
|
3
( x -y )
|
|
|
|
b
(a2 + c )
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|
|
a
(a b + c2f)
|
|
|
|
2
xy ( x - 2y)
|
|
|
|
( x+1) [(x-3) + ( x-2 )]
|
|
|
II
) Développer les expressions
suivantes et réduire et ordonner quand cela est possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait
« factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir
traité cet objectif !
|
Série 2
|
développer
|
Réduire
|
Ordonner
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|
( x +1 ) ( x -2 ) =
|
|
|
|
|
x +5 ) (
3x -2 ) =
|
|
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|
|
( -4x +3 )
( 5 x - 6 ) =
|
|
|
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|
Série 3
|
développer
|
Réduire
|
Ordonner
|
|
( x +5 ) ( x + 5 ) =
|
|
|
|
|
( x -5 ) ( x - 5 ) =
|
|
|
|
|
( x +5 ) (
x - 5 ) =
|
|
|
|
|
Série 4
|
développer
|
Réduire
|
Ordonner
|
|
( 2x +3 )2 =
|
Voir
les I.R.
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|
|
|
( -3x +1 ) 2 =
|
Voir
les I.R.
|
|
|
|
Série 5
|
développer
|
Réduire
|
Ordonner
|
|
(
a + b )2 =
|
Voir les I.R.
|
|
|
|
(
a - b )2 =
|
Voir les I.R.
|
|
|
|
(
a + b ) ( a - b ) =
|
Voir les I.R.
|
|
|
Développer , réduire , ordonner
|
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|
A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )
|
|
INTERDISCIPLINARITE
Géométrie
|
Calculer l'aire d'une surface
|
Longueur
|
largeur
|
|
|
Rectangle
|
L = x +a
|
l = x - b
|
|
