Juin 2014

 

Niveau : Classe de collège : 4ème

 

 

 

Pré requis:

 

Voir programme de collège 4ème

Objectifs   les égalités :    vocabulaire 1EG1

3D Diamond

 

égalités     les égalités : vocabulaire 2  EG2

3D Diamond

Expression algébrique (niveau 2)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX : warmaths

Objectif précédent :

1°) Développer ……

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »   Sphère metallique

Développer (suite )

·       Liste des cours d’algèbre.

·       Aller vers le corrigé

.

 

DOSSIER : LES SOMMES ALGEBRIQUES

 

 

 

Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .

 

 

Fiche 2 -Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.

 

 

Fiche 3 : Les  sommes algébriques.

 

 

Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.

 

 

Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.

 

 

Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

 

 

Fiche 7 : (après les parenthèses) Cas des crochets .

 

 

Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques :les moyennes .

 

 

Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 


 

 

 

Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .

Info @ ++

 

 

(Faîtes bien attention, savoir simplifier c’est savoir remettre sous la forme non-simplifiée)

 

 

 

 

 

Vous savez que, par exemple, le nombre relatif ( + 27) peut s’écrire « 27 » et que dans certaines circonstances  , ( - 43 ) peut s’écrire « - 43 »

 

 

             En utilisant le fait que  «  a – b =  a + Opp. b   ou que «  a + b =  a – Opp. b ,  vous avez vu en classe de « 5ème » comment simplifier l’écriture d’une somme ou d’une différence.

( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire  la forme  non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

 

 

Ainsi :

 

 

( +3 ) + ( +  7)

s’écrit     3 + 7

De même.

( - 13 ) + ( + 2 7)

s’écrit :  

 

( +9 ) + ( -  7)

s’écrit     9  - 7

De même.

( -39 ) + ( -  67)

s’écrit    

( +5 ) - ( + 9)

s’écrit     5  - 9

De même.

( - 69 ) -  ( -  17)

s’écrit   

( + 6 ) - ( -  3)

s’écrit     6  + 3

De même.

(- 28 ) -  ( -  87)

s’écrit    

 

 

 

 

Activités n°. : Simplifiez de même l’écriture des sommes suivantes . ( Ne pas effectuer le calcul ) ;

 

 

( -26   ) + (- 78   ) =

 

 

(+ 36 ) - ( - 93  ) =

 

 

(+85    ) - (+ 43  ) =

 

 

( -13  ) - (+ 55  ) =

 

 

(+57  ) + ( -23  ) =

 

 

( - 73 ) - ( - 47  ) =

 

(    ) + (   ) =

 

 

(    ) - (   ) =

 

 

(    ) + (   ) =

 

 

 

 

 

( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire  la forme  non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

 

 

Activités n° .. : Transformer les écritures simplifiées en écriture dite « algébrique »…

 

 

 

 

 

-26 – 78 =

 

 

36 +93 =

 

 

85 - 43

 

 

-13 – 55=

 

 

57   – 23 =

 

 

-        73 + 47

 

 

 

 

      =

 

 

   

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 2 - Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.

Info @ +++

 

 

 

 

 

Cas 1 : Les nombres sont séparés par le signe « + ».

 

 

 

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

 

 

25 + 43

Ce calcul ne présente aucune difficulté ….

( + 25 ) + ( + 43 ) =

25   +  43  =  ……..

 

-15 + 52 

C’est la somme de  …. Et de ….

( - 15 ) + ( + 52 ) = ( + (52-15))= ( + 37)

  -15  + 52  =   ……………………….

-76 + 39

C’est la somme de   …. Et de ….

( -76) + ( +38)  =  (  -  ( 76 – 39 ) ) = ( - 37)

 -76 + 39 =  …………………………….

 

 

Dans les calculs (1) et (2) nous sommes en présence de la somme de deux nombres relatifs ( @)  de signe contraire.

 

 

 

 

 

Cas 2 : Les nombres sont séparés par le signe «  -  ».

 

 

 

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

 

 

31 – 86

C’est la somme de   …. Et de ….

( +31) + ( - 86) = ( - ( 86 – 31) ) = ( - 55 )

31 – 86 =………. 

 

75 – 32

C’est la somme de  …. Et de ….

( + 75 ) + ( - 32 ) = ( + ( 75 – 32) ) = ( + 43 )

75 – 32 = ……..

-18 - 43

C’est la somme de  …. Et de ….

( - 18 ) + ( - 43 ) =  ( -  ( 18 + 43 )) = ( - 61)

-18 – 43 = ………..

-65 - 27

C’est la somme de   …. Et de ….

( - 65 ) + ( - 27) =  (  - ( 65 + 27) ) =  ( - 92)

-65 – 27 = …………

 

 

 

 

Vous constatez que dans tous les cas , on est ramené à une « addition ».

Tout se passe comme si l’on avait sous – entendu un signe « + » (plus) entre les deux nombres .

Ainsi  «  -74 +35 »  n’est autre que  «  ( - 74) + ( + 35) .l’écriture    « -18 – 43 »  n’est autre que l’écriture  «  ( - 18) + ( - 43) ».

 

Vocabulaire : On pourra donc parler de « somme » même s’il y a un signe « - » (moins)  entre les deux nombres.

 

 

 

 

 

Méthode pratique de calcul d’une somme de deux nombres dits « relatifs ».

Info ++

 

 

 

Le calcul  «  75 + 32 » ne pose pas de problème,……..le résultat est le nombre « ( + 107) »

 

Il reste 5 types de difficulté :

 

 

 

Difficulté n°1

Difficulté n°2

Difficulté n°3

Difficulté n°4

 

75 – 32

-15 + 53

33  - 87

-19 - 47

 

Puisque  75 > 32 , vous pouvez faire la soustraction

Dans ce cas et en considérant que l’opération est une addition et comme l’addition est commutative , alors  « -15 + 52 = 52 – 15 », on est ramené à la difficulté 1 .

Dans ce cas , vous savez que l’opposé de « 33-87 » est   « 87-33 », or « 87-33 » se calcule facilement , « 87 – 33 = …… » donc « 33-87=  ….. »

De même

 

 

 

 

 

Pour découvrir un début de solution il faut transformer  les écritures précédentes  en écritures algébriques……..

 

 

( +75) + ( – 32)

( -15) + ( + 53)

( +33) + ( - 87)

(-19) + (- 47)

 

 

 

 

 

Difficulté n°5 :  - 76 + 43

De même l’opposé de « -76 + 43 » est « 76 – 43 ».

Or : 76 – 43 = 33  , donc  - 76 + 43 = - 33

Remarque : :  - 76 + 43 s’écrit sous la forme d’une somme algébrique : « ( -76) + ( + 43) »

 

 

 

 

 

Nota : pour réussir tous ces calculs il faudrait travailler les objectifs de formations proposés ici @ ….

 

 

 

 

 

Activité :n°1…(sur copie)

 

 

Faire les exercices proposés :

1°) En passant par les « opposés » quand cela est nécessaire.

2°) En passant par la transformation en somme algébrique.

 

 

 

24 – 36 = …………..

-  43 – 37 = …………….

-79 + 26 = ……….

-61  + 61 = ……….

 

56 + 27 = ……………

59 – 33  = …………….

-15 – 67 = ………….

- 37 + 97 = ………..

 

 

 

 

Activité :n°2…(sur copie)

 

Calculez , comme ci –dessus…

 

 

8 + 2 = ………….

8 – 2 = …………….

-8  + 2  = ………….

-8 – 2 = …………..

2  + 8  = …………..

2 – 8  = ……………

-2 + 8 = …………….

-2   -  8 = ………….

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Les  sommes algébriques.

Info  ….@..voir les définitions..

 

 

 

 

 

Aux fiches 1 et 2 , on a simplifié et calculé des sommes de deux termes.

 

Il est possible de faire de même pour des sommes de plusieurs termes.

Ainsi :  A = ( +8 ) + ( - 5 ) + ( - 7 ) + ( + 6 )   s’écrit :   A =  8 – 5 …………………

De même    B =  ( + 9 ) – ( - 3 ) + ( - 8 ) – ( + 7 )     s’écrit      B = 9 + 3 …………..

 

A = 8 – 5  - 7 + 6   et  B = 9 + 3 – 8 – 7    sont appelées des expressions algébriques  (mais on les appelle couramment  aussi :  « sommes algébriques »)

 

 

·       Vous pouvez calculer  « A » et « B » comme dans la fiche 2 ( en faisant les calculs de gauche à droite).

 

 

 

 

A = ……….   - 7  + 6  

 

B =   …….     8    – 7   

 

 

 

  =    ……       - 7  + 6

 

    =             -  8    -  7

 

 

  =       - 4        + 6

 

    =            4          -  7

 

 

  =            + 2

A = 2

    =               - 3

 B = - 3

 

 

 

 

Activités N° ..:

Donnez l’écriture simplifiée de « C » et « D » puis calculez les sommes simplifiées (comme précédemment )

 

 

 

C = ( + 6 ) + ( - 8 ) – ( - 9 )+ ( + 4 )- ( +7 ) + ( - 1 )  =  ……………………………  =

 

 

D =  ( - 0 ,9 ) + ( 2 , 4 ) – ( - 5,3 ) – ( + 3 , 5 )     =  ………………………………….  =

 

 

 

 

 

Ci-dessous  avec des nombres entiers

Ci-dessous  avec des nombres décimaux.

 

 

E = 9 – 5 + 4 – 8 + 6 – 7 =  ………

G = - 4,3 – 7,3 + 8,5 – 2,3 + 3,7 =……….

 

F = - 4  - 5 + 9 – 7 + 8 – 2  = ………………

H = 3,9   - 2,1 + 0,6 – 4,5 + 5,2   =………..

 

 

 

 

A )  Autre méthode de calcul d’une somme algébrique.

 

 

                               Une somme algébrique pouvant être considérée comme une succession d’additions et l’addition étant commutative, on peut alors changer l’ordre des termes.

Ainsi :

C =  5 – 8 + 9 + 4 – 7 – 1    peut s’écrire   C =  -8 + 4 – 7 + 5 – 1 + 9      ou  C = ……………………………..

 

·       De plus , l’addition étant associative , il est possible de regrouper d’une part les termes précédés du signe « + »  et d’autre part, les termes précédés du signe « - »  

 

Ainsi :

C =   ( 9 + 5 + 4 )   + ( - 8 – 7 – 1 )         , poursuivez le calcul : C =  ( ….. )  + ( ……. )  =  ………

 

·       Le regroupement peut se faire mentalement  . On écrira alors directement :

 

J =  44 – 27 + 12 – 37 – 49 + 17  =  ( ……) + ( ……) = ……….

K = 44,3  – 27,5  + 12 ,6 – 37,3  – 4,9 + 1 , 7  =  ( ……) + ( ……) = ……….

 

 

 

 

B )  Simplification des opposés.

 

 

 

On fait comme nous l’avons vu , dans la leçon 5 « Fiche 3 », on surligne les opposés.

 

 

Ainsi :

M = 9 + 2  -4 – 8 + 7 + 4 – 6 + 8  - 9   =  ………………………. = …………….

 

·       Faites de même pour    N  =  2,5  + 5 , 1 – 8,2 + 4 , 7 – 5,1 – 6, 3 + 8,2  =  ………….. 

·       On va voir aussi que l’on peut regrouper plusieurs termes :    « - 5 – 2 » se simplifie avec « +7 »

Ainsi calculez :

P = 5  – 9 + 3 – 7 + 4 +2 – 8 + 6 = …………

R = - 6,8  - 2,9 + 3,5 + 5 , 7  - 1,2 + 4,1- 7 , 6 + 2,3 = …….

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.

 

 

 

On désigne par la lettre « a » un nombre relatif quelconque , vous savez que «  …….. »  s’écrit  «  ……. »   et  «  …….. » s’écrit «  ……… »

 

C'est-à-dire  que   «  - ( + 5) =  - 5 » et   «  - ( - 7 ) =  + 7 »

 

Ou encore :  - ( + 5 ) = Opp ( + 5 )        et      - ( - 7 )  = Opp ( - 7)  on peut donc dire :

 

 

 

A retenir :

Mettre le signe « - »  devant un nombre , revient à écrire  « …… …….. » de ce nombre.

 

 

 

 

 

 

D’une manière générale, « a » désignant un nombre relatif,

«  - a = Opp ( a»

 

 

ATTENTION :

 

 

On vous propose 2 phrases , l’une est vraie l’autre est fausse , encadrez la réponse vraie , barrez la réponse fausse.

 

 

 

« - a »  est toujours négatif

 

« -a » n’est pas forcément négatif

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.

 

 

 

 

 

 

Dans une somme algébrique dans laquelle figurent  des lettres « a » , « b » , « c » ».  Ces lettres représentent des nombres relatifs.

Exemple :      R =  7 + a + 5 – b – c + 3 – a  - 8 + b

 

Bien qu’il y a des lettres précédées du signe « -  » , on peut dire que « R » est une somme.

En effet , «  7 – b » n’est autre que «  7 + Opp (b) c'est-à-dire   «  7 + ( - b )  ».

 

Ø Pour calculer « R » , on additionne  les nombres écrits en chiffres ( voir l’exemple dans la fiche 3) et pour les lettres, on additionne les opposés en remarquant que  «  a – a = ….. » et  «  b – b = ……. »

Vous trouvez :        R =  …….

 

 

Ø Calculez de même :

T =   – 7 + 4 –  + 9 +   – 8 +   = ………… …………………..

V = - n – 9 + 3 – m + 7 + n – 6 + m – n + 2    = …………………………..

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

Info @  calculs….

 

 

 

 

 

Rappelons la règle étudiée  en classe de « 5ème . » . cette règle s’applique aussi aux lettres.

 

 

 

A retenir :

Dans une somme algébrique contenant des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe situé devant , à condition :

-        De ne rien changer si le signe précédant les parenthèses est ………

-        De changer les signes situés à l’intérieur des parenthèses si le signe situé devant est  …« ……….. » ….

 

 

 

 

 

Activités n°1….. : En appliquant la règle ci-dessus, supprimez les parenthèses (sans effectuer de calcul).

 

 

 

9 + ( 6 – 7 + 8 ) =

 

6 - ( 3 + 7 – 4 ) =

 

 

5 +  ( - 8 + 2 – 7 ) =

 

 – (    ) =

 

   + (  +   ) =

 

2 – ( - 9 – 7 + 6 ) =

 

  + ( -   -  +  )  = 

 

  -  ( -  +   ) =

 

 

 

 

 

Activités n°.2.

 

 

On vous demande de calculer  « B » de deux façons différentes :

1°) Vous effectuez les calculs indiqués (Vous faîtes d’abord  le calcul dans les parenthèses).

2°) Vous supprimez les parenthèses avant d’effectuer les calculs.

B =  ( - 8 + 9 – 2 ) -  ( 5 + 4 – 6 )  + ( 2 – 8 ) -  ( - 9 + 4 – 7)

 

 

1ère méthode :

B =  ( .. ) -  ( …… )  + ( …… ) -  ( …. )

B =  ( .. ) +  ( …… )  + (…… ) +   ( …..)

B = ( ….. ) + ( ….. )

B =  ( .. )

 

 

2ème   méthode :

B =   ………………………………………………..

B =  ……………………………………………..

B =   ………………………

 

 

 

 

 

Activité N° 3…

Faites de même pour :  C = - ( - 5 + 2 – 6 ) + ( - 7 + 4 – 5) – ( 2 + 8 – 5 ) + ( 7 – 4 + 9 )

 

 

 

1ère méthode :

C =  - ( …. )  +  ( ……..  )  - ( …….   ) +  ( ……. )

 

 

 

2ème   méthode :

C = + 5 - 2 +  6   - 7 + 4 – 5    2 -  8 +  5  +  7 – 4 + 9 

C = …………………………………………………………..……

 

 

 

 

 

Activité N° 4…

Après avoir supprimé les parenthèses calculez : ( « s » et « n »  représentent des nombres).

 

D =   (  + 7 –  ) – ( -  + 8 + 4 ) + ( - 9 –  + 6 ) – (  – 2 –  )

D =   ……………………………………………………………………..

D =     

Etait-il possible de faire cet exercice par l’emploi de la première méthode ? ……….……………

Vous comprenez donc l’utilité de la règle relative à la suppression des parenthèses…

 

 

 

 

 

Activité N° 5…( avec des lettres )

Calculez après avoir enlevé les parenthèses ( les lettres    ,  ,  représentent des nombres )

 

 

 

 = 

 

 =

  = ………………………..

 

 

 

 

 

 

Fiche 7 :  Cas des crochets.

Info @ ++notions fondamentales +

 

 

 

 

 

La règle de suppression des crochets est la même que celle des parenthèses.

Exemple :

      A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 )  - ( 2 + 4 – 8 )  ]  - [  - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

Méthodes différentes  que l’on vous demande d’ appliquer :

1°) Faîtes les calculs indiqués.(dans chaque parenthèses, puis ……)

2°) Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations).

3°) Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations).

4°) Effectuez les calcul du résultat obtenu au « 2°) » ou au « 3°) » .

 

 

 

 

 

 Méthode 1 : Faîtes les calculs indiqués

      A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 )  - ( 2 + 4 – 8 )  ]  - [  - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

 

A  =   ( .. ) + [ (……  )  - ( …….  )  ]  - [  ( …….. ) + ( …….. ) ]

A  =   ( .. ) + [ ( …….  )  + ( ……  )  ]  - [  - 5  ]

 

A  =   ( ….. ) + ( ……. )  + (  ……. )

A  =   ( ….. ) + ( …….. )  + ( ……. )

A  = ………

 

 

 

 

Méthode 2 : Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations).

      A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 )  - ( 2 + 4 – 8 )  ]  - [  - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

 

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 )  - ( 2 + 4 – 8 )  ]  - [  - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [  ……………………………..   ]  - [  ……………………………..  ]

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) …………………………………………………………………………… 

 

 

A  =   ( 11 ) +  7 – 9 – 3   -  2 -  4 + 8    …………………………….. 

A = 11 – 3 + 5  = 16 – 3  = 13

 

 

Méthode 3: Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations).

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 )  - ( 2 + 4 – 8 )  ]  - [  - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ]

 

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) + …………………………………………………………………………..

A  =   ( 8 – 3 + 6 ) +  ………………………………………………………………………………

Si l’on compare cette dernière ligne avec la dernière ligne « 2°) » on retrouve les mêmes valeurs numériques….

4°) Fin du calcul :

 A  =   ………………………………………………………………………….  =  ………………………

 

 

 

Activité n° .1.

 

 

Faites de même pour  

 

 

C = [ ( 9 – 5 + 2 )   - ( - 7 + 4 + 6 ]  -  [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 )  ]

 

 

1°)  Calculs indiqués :

C = [ ( 9 – 5 + 2 )   - ( - 7 + 4 + 6) ]  -  [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 )  ]

C = …………………………………………….

C = ………………………………………………

C = …………………………..

 

 

 

2°) Suppression des parenthèses puis des crochets.

C = [ ( 9 – 5 + 2 )   - ( - 7 + 4 + 6) ]  -  [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 )  ]

……………………….. …………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………. ;

……………………………………………………………………………………..

 

 

3°) Suppression des crochets puis des parenthèses.

 

 

C = [ ( 9 – 5 + 2 )   - ( - 7 + 4 + 6) ]  -  [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 )  ]

C =  ……………………………………………………………………………….

C =   ……………………………………………………………………………

C =  …………………………………………………….   

C = …………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° .2.

 

 

Calculez   (simplifiez)  l’égalité « B » ; ( et  représentent des nombres.)

 

 

 

·       Appliquez la 1ère méthode : Enlevez les parenthèses puis les crochets.

 

 

 

 

 

·       Appliquez la 2ème  méthode : Enlevez les crochets puis les parenthèses.

 

 

 

 

 

 

 

Activité  n° 3

 

 

 

C  =

 

Supprimez crochets et parenthèses (dans l’ordre de votre choix)

 

C = ………………………………………………………………………………………………….

 

C = ……………………………………………………………………………………………………

Regroupez entre elles les fractions de même dénominateur :

 

 C = 

 

Terminez le calcul (commencez à l’intérieur des parenthèses ) et simplifiez .

 

…….

 

 

 

Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques.

 

 

 

 

 

 

1°)  Calculs d’une moyenne .

Info +++ @

 

 

(soit une moyenne de note par exemple )

 

·       Moyenne de  12 et 18    :      ( 12 + 18 )  2  =     =  

·       Moyenne  de   8 ; 15 ; 4   :     ( 8 + 15 + 4 )  3  =     …..  =  

·       Calculez la moyenne de :  11 ; 8 ; 4 ; 18 ; 7 ; 15 ; 9 ; vous trouvez : ……………( ………. ………= ……..)

 

 

 

Remarque 1 : Il est possible que la division « ne tombe pas juste » .

 

Exemple : faîtes la moyenne de  13 ; 6 ; 18   :    ( 13 + 6 + 18 )  3  =  37  3   ; en faisant la division : on obtient : 12 , 333333333

La division ne se termine pas. Vous obtenez environ : 12 , 33

Dans le cas d’une moyenne de notes , on arrondirait à « 12 » ou « 12,5 »

 

 

 

 

 

2°) Moyenne de nombres relatifs.

 

 

Moyenne de ; - 3 ; 7 ; - 4 ; 9 ; - 2 ; 5 ; ………………….. (  - 3 + 7 – 4 + 9 – 2 + 5  )   6  =  12  6    =   +2

 

 

 

Remarque 2 :

Il se peut que la somme soit un nombre relatif négatif , dans ce cas , pour calculer la moyenne , vous effectuez la division sans vous occuper du signe et vous attribuez le signe « - »  au résultat.

(cette règle sera justifiée dans la suite de cette fiche ) . Exemple ( - 24  3 =  - 6 )

 

·       Moyenne de : 1 ; - 9 ; - 7 ; 3 :                 …. ( + 1 – 9 – 7 + 3  ) 4  = - 12  4   =  - 3

 

Activité n°1..

Calculez la moyenne de     :    - 7 ; 5 ; - 4 ; - 8 ; - 6 ; 3 ; - 5 ; 2  ………………….vous trouvez :    …. =  ……

 

 

 

 

 

3°) Autre façon de calculer une moyenne.

 

Souvent, vous calculez la moyenne de vos notes pour savoir si vous avez plus ou moins de « 10 ».

 

Supposez que vous avez obtenu les notes  suivantes ; 5 ; 12 ; 18 ; 15 ; 9 ; 17 ; 8 ; .

Par rapport à « 10 » : la note « 5 »  vous fait perdre « 5 » points, c'est-à-dire « -5 »

Par rapport à « 10 » : la note « 12 » vous fait gagner « 2  points », c'est-à-dire « +2 »

Aussi, complétez le tableau donnant l’écart de vos notes par rapport à « 10 ».

 

 

 

 

 

Notes

5

12

18

15

9

17

8

 

 Somme

 

Ecarts

.-5

+2

+8

+5

.-1

+7

.-2

 

←Somme

 

 

 

 

La somme des gains ou des pertes ( par rapport à « 10 » )  est alors ……   « 14 » ……..

Ce gain ( ou cette perte) total est à répartir sur les « 7 » notes.

Votre moyenne est alors de :   10 + ( .. 7 ) = 10 + ..  = ….   

 Vérifiez en calculant la moyenne  par la première méthode , vous trouvez :  …..   7  =  …. 

 

 

 

Remarque 3 :

Dans la deuxième  ligne du tableau, si l’on enlève les traits verticaux, on obtient :

 

 

 

.-5

+2

+8

+5

.-1

+7

.-2

=   14

 

 

 

Nous sommes en présence d’une somme algébrique ( les signes d’addition sont en sous-entendus)

 

 

 

 

 

Activité n°2 :

 

On vous demande de calculer la moyenne de  :  5 ;  8  ;  14 ;  16 ;   4 ; 12 ;   7 ;    6 .

Ecart de rapport à « 10 » : ……………………… - 5 ; - 2 ; + 4 ; + 6 ; - 6 ; + 2 ; - 3 ; - 4   ; ← soit la somme   =  - 8

La moyenne est alors   de :   10  +  ( 8 )  =  10 ……. = …….    .. vérifiez par la 1ère méthode.

 

-        Calculez de même la moyenne de  8 ; 13 ; 15 ;7 ; 1 ;9 ;6 11 ; 3 ; 2   ; vous trouvez …………………. : ………

 

 

 

 

 

4°) Calcul mental de la moyenne.

Info +++ @ sur le calcul mental..

 

 

 

 

 

Exemple :

 

 

 

 

 

 

 

Variation des écarts

 

Variation des écarts

 

Variation des écarts

 

Variation des écarts

 

Variation des écarts

 

 

 

 

 

Notes

16

 

8

 

15

 

6

 

13

 

11

 

 

 

Ecarts

+6

 

-2

 

+5

 

-4

 

+3

 

+1

 

+4

+5

-4

+3

+1

 

sommes

 

+4

+9

+5

+8

+9

 

Somme finale = +9

 

 

 

 

 

La moyenne est alors     «  10  +  ( …….. )  =  10 + ……..  = ………   .  Vérifiez par la 1ère méthode : ……

 

 

 

 

 

Activité n° 3….

 

 

Calculez mentalement la moyenne de :

  8 ; 6 ; 13 ; 15 ; 7 ; 4 ; 5 ; 2 ; 12 ; …………. vous trouvez : ……………………….

 

Et calculez la moyenne de :

12 ; 13 ; 5 ; 7 ; 8 ; 15 ; 6 ; 14 ; 16 ; 9 ;8 :     .vous trouvez : …………………………

 

 


 

 

Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

Info +++@ ..les coordonnées du milieu d’une droite (segment)

 

 

 

I )  Milieu d’un segment sur une droite graduée :

 

 

« A »  et « B » sont deux points d’une droite graduée.

Le point  « A » a pour abscisse ( -3) et le point « B » ( + 7).

Placez sur la droite ci-contre  le point « M » milieu du segment noté : [ AB]

Donnez l’abscisse de ce point : M  a pour abscisse ( + 2 )

milieu001

 

 

Vérifiez que cette abscisse est égale à la demi-somme des abscisse de « A » et « B ».

( C'est-à-dire à la demi –somme des abscisses ) soit

 

 

 

Cas général :

Etant donné deux points « A » et « B » d’une droite graduée et « M » le milieu de [ AB] , appelons «  » et «  »  et «  » les abscisses respectives de « A », « B » et « M » et «  » la distance de « A » à « B »

 

 

On écrit :

AM = MB =

milieu002

 

 

En désignant par « B » celui des points qui a la plus grande abscisse, on a : 

Exprimons  «  » de deux façons :       ou  

On a alors :    ;                  c'est-à-dire :     

ou encore :        

 

 

 

A retenir .

L’abscisse du milieu d’un segment est égal à la demi-somme des abscisses des extrémités de ce segment .

 

 

 

 

 

Activité n°1

 

 

Complétez le tableau suivant :

 

 

 

Abscisse du premier point

12

8

-5

4

-7

 

 

Abscisse du second  point

4

-5

-7

-3

4

 

Abscisse du milieu.

 

 

 

 

3

-5

 

 

 

 

II ) Calcul des coordonnées du milieu d’un segment .

 

 

 

 

 

Soient :

Deux axes de coordonnées :    et y’ y.

Ces deux axes sont perpendiculaires et on le même origine « O ».

 

Le point  « A »  a pour«  coordonnées   (+2) , (+ 9) . On écrit   A ( 2 ;9).

Le point  « B »  a pour«  coordonnées   (+6) , (+ 1) . On écrit   A ( 6 ;1).

Le point  « M »  est le milieu de [ AB] .

Nous allons déterminer ses coordonnées .

 

Considérons la projection orthogonale sur     .

 

-        Le point "A"  a pour projeté  le point « A’ » sur l’axe    .. Donc « A » et « A’ » ont la même abscisse :  « …. »

-        Le point "B"  a pour projeté  le point « B’ » sur l’axe    .. Donc « B » et « B’ » ont la même abscisse :  « …. »

-        Le point "M"  a pour projeté  le point « M’ » sur l’axe    .. Donc « M » et « M’ » ont la même abscisse.

 

D'autre part , puisque « M » est le milieu de [ AB] , son projeté « M’ » est  le milieu de  [ A’B’]. ( voir la  propriété 7  vue dans la fiche « 3 » de cette leçon)

 

milieu003

 

 

Donc l’abscisse  de « M’ » est la demi-somme des abscisses de  « A’ »  et « B’ ».

Donc l’abscisse  de « M » est la demi-somme des abscisses de  « A »  et « B ».

C'est-à-dire   ( abscisse de « M »)  =

 

On ferait de même pour les ordonnées, on dira  alors :

C'est-à-dire   ( ordonnée  de « M »)  =

 

 

 

 

A retenir :

Relativement à un système d’axes de coordonnées , pour tout segment, l’abscisse du milieu est égale à la demi-somme des abscisses des extrémités , l’ordonnée du milieu est égale à la demi-somme des ordonnées des extrémités.

 

 

 

 

 

 

Activités n°2 ..

 

 

Complétez le tableau ci-dessous :

 

 

 

Coordonnées des 2 points.

( - 5 ; +2 )

( - 8 ; - 1)

( - 5 ; + 3 )

 

 

 

 

( + 9 ; - 3)

( + 3 ; + 7 )

 

( + 8 ; - 3 )

 

 

Coordonnées du milieu.

 

 

( - 6 , - 3 )

( + 5 ; - 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : voir les activités des fiches  spécifiques….

 

 

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

 

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un  développement.

 

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

 

4 ° )Donner le modèle mathématique  sur le développement  de  ( a + b ) ( c + d )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

I ) Développer les expressions suivantes :

 

 

Série 1

résultat

 

 

9 ( 3 + 5 ) =

(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Série 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Série 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Série 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (a b  + c2  f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II )  Développer les expressions suivantes  et  réduire et ordonner quand cela est  possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

 

Série 2

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +1 ) ( x -2 ) =

 

 

 

 

 

 x +5 ) ( 3x -2 ) =

 

 

 

 

 

( -4x  +3 ) ( 5 x - 6 ) =

 

 

 

 

 

Série 3

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +5 ) ( x + 5 ) =

 

 

 

 

 

( x -5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

( x  +5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

 

Série 4

développer

Réduire

Ordonner

( 2x +3 )2 =

 

Voir les I.R.

 

 

( -3x +1 ) 2  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

Série 5

développer

Réduire

Ordonner

( a + b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a - b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a + b )  ( a - b )  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

 

 

Développer , réduire , ordonner

 

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

 

Calculer l'aire d'une surface

Longueur

largeur

 

Rectangle

L = x +a

l = x - b