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CAP |
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Le nombre relatif dit aussi :
nombre algébrique. |
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Addition avec les décimaux |
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L’expression et la somme algébrique |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif
précédent : |
Objectif
suivant : |
DOSSIER : ADDITION de DECIMAUX RELATIFS
I) Somme
algébrique de deux nombres relatifs. ( 4 cas)
II ) Somme de deux nombres « expression algébrique » :transformation et retour à (I)
III ) Somme algébrique de plusieurs nombres relatifs.
( application des règles (I) )
IV) Calcul
d’une expression algébrique contenant uniquement valeurs arithmétiques précédées des signes + ou - : transformation
et retour en (III)
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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Définition de l’objectif:
Savoir faire l’addition de deux nombres
relatifs (et plus)
I
) Somme de deux nombres
relatifs :
Commentaire : L’addition de deux
nombres relatifs ayant le même
signe (+) et (+) ou (-) et (-)
(on dit aussi « de signe
commun ») ne devrait pas poser problème. Il faudra être particulièrement
attentif pour effectuer l’addition de deux nombres relatifs de signe
« contraires »; (+) et (-) ou
(-) et (+) .
Il y a trois cas à traiter:
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Savoir
additionner deux nombres de
signe (+): |
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Savoir
additionner deux nombres de
signe (-): |
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Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe
contraire: Cas particulier : somme de nombres
symétriques et éléments neutres dans l’addition ( exemple :
(+5) + ( -5) = 0 ) |
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A ) Savoir additionner deux nombres de signe (+):
Règle:
la somme de deux nombres relatifs de signe « + » est égale à un
troisième nombre relatif qui aura pour signe
« le signe + » et pour valeur absolue « la
somme des valeurs absolues »;
Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:
(+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2) = ( + ( Vabs1 + Vabs. 2) ) = ( + (Vabs3))
.Application
numérique:
(+3,5) +
(+ 8,9 ) = ?
Commentaire: Le résultat est obtenu en deux étapes.(analyse
pour obtenir le signe et calcul pour obtenir la valeur absolue)
Analyse pour attribuer le signe:
les deux nombres
relatifs sont de signe « + » ; nous concluons que le troisième
nombre sera de signe « + » .
Calcul de la valeur absolue :
D ’ après la règle que nous
appliquons; le troisième nombre aura pour valeur absolue la somme des valeurs absolues soit
3,5 +8,9 = 12,4
d’ou on peut écrire que
:
(+3,5) +
(+8,9) = ( +
( 3,5 + 8,9 ) ) = + 12,9
B
) Savoir additionner deux nombres de signe (-):
Règle:
la somme de deux nombres relatifs de signe - est
égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe « le signe - » et pour valeur absolue
« la somme des valeurs absolues »
Ce qui peut se traduire ,en écriture mathématique:
(- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2) = ( - ( Vabs. + Vabs. 2)) = ( - (Vabs3))
.Application
numérique:
(-3,5) +
(- 8,9 ) = ?
Commentaire:(comme précédemment le résultat est obtenu
en deux étapes)
Analyse:
les deux nombres
relatifs sont de signe « -
« ; nous concluons que le troisième nombre sera de signe
« -« .
Calcul :
D ’ après la règle que nous appliquons;
le troisième nombre aura pour valeur absolue
la somme des valeurs absolues
soit 3,5 +8,9 =
12,4
d’ou on peut écrire que :
(-3,5) +
(-8,9) = ( -
( 3,5 + 8,9 ) ) = - 12,9
Commentaire
nous venons de
traiter les deux cas de l’addition de
deux nombres relatifs de même signe ;nous pouvons élaborer une règle globale
,qui dit que :
A retenir :
La somme de deux nombres de même
signe est égale à un troisième nombre qui aura
pour signe :le signe commun
pour valeur absolue : la
somme des deux valeurs absolues.
Ce qui se traduit par:
(+ Vabs. 1) + ( + Vabs. 2) = ( + ( Vabs.1 + Vabs. 2) = ( + (Vabs3))
(- Vabs. 1) + ( - Vabs. 2) = ( - ( Vabs.1 + Vabs. 2) = ( - (Vabs3))
C ) Savoir Additionner deux nombres relatifs de signe contraire:
Commentaire: nous abordons
la somme de deux nombres relatifs « de signe contraire »,cette
opération est la plus difficile à effectuer ;elle est la plus fréquente ,la
maîtrise de la règle suivante est donc très importante.
Exemple : (
+5 ) + ( - 45 ) = ? ; =
[ - ( 45 - 5 ) ] = ( -
40 )
A savoir:
Règle:
La somme de deux nombres relatifs de « signe contraire » ;( un nombre de signe ( +) l’autre de signe
( - ) et inversement l’un de
signe ( -) l’autre de signe (+) est égale à un troisième nombre relatif qui aura
:
Pour
« signe »
: le signe du nombre relatif qui à la plus grande valeur absolue.
Pour valeur absolue: La différence (soustraction *)des valeurs absolues; toujours la plus grande valeur absolue moins la plus petite valeur
absolue
Ce qui se traduit par:
(+Vabs 1) + (- Vabs.2 ) = ?
Vabs3 à pour signe ;le signe du nombre
qui a la + grande Vabs. et pour Vabs.:
(+ grande Vabs. - +petite Vabs.)
(- Vabs.1) + (+ Vabs.2) = ? Vabs3
à pour signe ;le signe du nombre qui a la + grande Vabs. et pour Vabs.: (+ grande Vabs. - +petite
Vabs.)
*se souvenir que la soustraction deux nombres décimaux (nombres sans signe + ou -) donc dit
« non relatifs » s’exécute sans problème ( une valeur absolue est
assimilable à un nombre décimal non relatif );mais la soustraction de deux
nombres décimaux relatifs ne se fait pas.
Application de la règle:
Le résultat recherché (la somme)
repose sur deux activités ,l’analyse et
le calcul;
Analyse:
Il faut reconnaître la somme de deux nombres relatifs de signe
contraire.
Il faut ensuite
identifier la plus grande valeur absolue pour attribuer le signe au troisième
nombre recherché.
calcul
:
Il faut effectuer la
soustraction entre la plus grande valeur
absolue et la plus petite valeur
absolue .
Applications
numériques:
I)
Calculer ( - 3 ) + (+ 8,9) =
Commentaire
:je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .
1)
analyse:
la plus grande valeur absolue est
: 8,9 ;
le signe qui précède 8,9 est +,
je conclus que le signe du
troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour signe le signe +
2)
calcul: pour effectuer le calcul je dois identifier la plus grande est la plus
petite valeur absolue, et faire la soustraction
des valeurs absolues « la
plus grande moins la plus petite »;soit
8,9 - 3 ce qui donne comme
résultat 6,9
3)
résultat:
(- 3)
+ ( + 8,9) = ( +
( 8,9 - 3 )) =
( + 6,9 )
II
) Calculer ( + 3 ) + (- 8,9) =
Commentaire
:je reconnais l’addition de deux nombres de signe contraire .
1)
analyse:
la plus grande valeur absolue est
: 8,9 ;
le signe qui précède 8,9 est
- ,
je
conclus que le signe du troisième nombre (résultat de l’addition)aura pour
signe le signe -
2)
calcul:
pour effectuer le calcul
je dois identifier la plus grande est la plus petite valeur absolue et faire la
soustraction des valeurs absolues « la plus grande moins la plus
petite »;soit 8,9 - 3 ce qui donne comme résultat 6,9
3) résultat:
(+ 3)
+ ( - 8,9) = ( -
( 8,9 - 3 )) =
( - 6,9 )
La somme
d’un nombre relatif avec son opposé est égale à 0.
Exemple ( +
5 ) + ( - 5 ) = ( ± ( 5 –5) )
= ( ± 0 )
( application : neutralisation d ‘ un terme dans une égalité « on ajoute son
opposé »)
II ) Somme
de
deux nombres d’une somme algébrique simplifiée L
( suite de nombres arithmétiques précédés de signe
+ ou - )
Les 4 exemples sont :
|
Exemple 1 |
Exemple 2 |
Exemple 3 |
Exemple 4 |
|
5 + 7 |
5 - 7 |
- 5 - 7 |
7 - 5 |
Pour chaque exemple ; il faut transformer l’expression
algébrique en somme algébrique , et à partir des règles précédentes faire
la somme de deux nombres relatifs:
|
Exemples : |
transformation |
Calcul : |
Résultat : |
|
5 + 7 |
( + 5) + ( + 7 ) |
( + ( 5 +7) ) |
( + 12) |
|
7 – 5 |
( + 7 ) + ( -5) |
( + ( 7 – 5 )) |
( + 2 ) |
|
5 – 7 |
( + 5 ) + ( - 7) |
( - ( 7 – 5 ) ) |
( - 2 ) |
|
-5 -7 |
( -5 ) + ( -7 ) |
( - ( 5 + 7 ) ) |
( - 12 ) |
Remarque :
les
formes simplifiées sont pour : ( +
12) ®
12 ; ( +2) ®2 ;
( - 2 ) ®
-2 ; ( - 12 ) ®
-12 .
III ) ADDITION DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS:
A
RETENIR : Procédure à
appliquer pour faire le calcul d’une
somme algébrique
a) Regrouper les nombres de
signes « + » :
on additionne tous les
valeurs absolues des nombres de signe (+) .
Le résultat est un nombre
relatif de signe « + » et
ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues.
b) Regrouper les nombres de signe « - »
on
additionne tous les valeurs absolues des nombres de signe (-) . Le résultat est un
nombre relatif de signe « - »
et ayant pour valeur absolue , la somme des valeurs absolues
c) le calcul restant se résume à l’addition de deux
nombres de signe contraire.(on applique la règle : : somme de deux nombres
relatifs de signe contraire )
d) rendre
compte.
Exemple:
On demande
de faire les opérations:
( +3) +( +5,6) + (-7,2) + (+2,1) +( -15,7) = ?
Corrigé:
a)On additionne tous les nombres de signe +:
( + ( 3 + 5,6 + 2,1) ) = ( +
( 8,6 + 2,1 )) = ( + (10,7))= (+10,7)
b)On additionne tous les nombres de signe -:
( - (7,2 +15,7)) = ( - (22,9)) = (-22,9)
c) Nous
avons maintenant à faire l’addition de deux nombres relatifs de signe contraire ,on applique la règle .
( + 10.7) + ( - 22.9) = ( - (22.9 - 10.7)) = ( -
(10.2)) = (- 10.2)
d )
Résultat : la somme a pour
résultat le nombre relatif ( - 10.2 )
IV) Calcul d’une expression algébrique ne possédant que des valeurs arithmétiques séparées par des signes « + » ou «- » ( expression algébrique.
)
Procédure de calcul: il faut
faire la somme
des nombres
|
1 ) transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
|
|
1 ) transformer « l’expression » en
« somme » de nombres relatifs |
|
Exemple : Soit une expression
algébrique : 3+5,6-7,2+ 2,1 –15,7
= ?
Cas
3 :Chaîne d'opérations ou expression ne contenant que des « moins »
et des « plus »
Exemple : faire le calcul de
l’expression algébrique :
3+5,6-7,2+ 2,1 –15,7 = ?
1°) Il faudra
transformer l’expression algébrique en somme algébrique *tel que:
l’expression algébrique 3+5,6-7,2+2,1 –15,7
= ?
(
+3) +( +5,6) + (-7,2) + (+2,1) +( -15,7) =
?
2°) ( voir la somme de nombres relatifs de même signe )
La
transformation ayant été faite nous appliquons la procédure réservée à la
"somme algébrique".
a)On fait la
somme de tous les nombres de signe +:
( + (
3 + 5,6 + 2,1) ) = ( + ( 8,6 + 2,1 )) = ( + (10,7))= (+10,7)
b)On fait la
somme de tous les nombres de signe -:
( - (7,2 +15,7)) =
( - (22,9)) = (-22,9)
( + 10,7) + ( - 22,9) = ( -
(22,9 – 10,7)) = ( - (10,2))
= (- 10,2)
d ) rendre
compte : Résultat : la somme a pour résultat le nombre relatif ( - 10,2 )
EXERCICES: (en évaluation la calculatrice est
interdite)
a) Combien y a t il de cas à
traiter dans l ' addition des nombres relatifs?
1°)citer la règle concernant l’addition de deux nombres positifs.
(donner le modèle mathématique)
2)citer la règle concernant
l’addition de deux nombres de signe négatif.
(donner le modèle
mathématique)
3°) citer la règle de l’addition de deux nombres de même signe.
(donner les deux modèles mathématiques)
4°)citer la règle concernant l’addition de deux nombres de signe
contraire.
(donner les deux
modèles mathématiques)
5°) Traduire sous forme littérale
les quatre égalités suivantes:
6 ° ) Donner
la procédure permettant de faire les calculs
dans une somme algébrique.
effectuer les opérations suivantes (donner les étapes)
Effectuer les opérations suivantes ,( à transformer
):
donner sous forme relative la valeur de « x et
y »: