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Expression et somme algébrique (calcul
numérique) |
ENVIRONNEMENT du dossier :
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Objectif précédent |
DOSSIER : N°2 :
ALGEBRE (Généralités) définitions :
« Nombre
algébrique » ; expression algébrique ; transformation des
expressions algébriques en sommes algébriques et vis versa ; expressions
algébriques équivalentes ; calcul algébrique.
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COURS |
Interdisciplinarité
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Evaluation niveau II |
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Evaluation niveau III |
Nombre algébrique (dit aussi : nombre
relatif) :
Un nombre
algébrique est un nombre arithmétique précédé
du signe plus ou moins . Voir "nombre
relatif"
Un nombre algébrique est formé de deux parties
1°) Un nombre arithmétique
, qui constitue sa valeur absolue (ce nombre arithmétique peut être
entier , décimal ou
fractionnaire.
2°)Un signe , qui
indique le sens de la grandeur mesurée ,
Précédé du signe + , le nombre est dit positif : + 5 ; +2,8 ; +
Précédé du signe - , le nombre est dit négatif : - 5 ;
- 2,8 ; - 
le nombre arithmétique
qui figure dans un nombre algébrique s’appelle sa « valeur absolue »
Nombres algébriques égaux :
Deux
nombres algébriques sont égaux s'ils ont même valeur absolue et le même signe .
Exemples : + 0,25
et +
Nombres algébriques opposés:
Deux
nombres algébriques sont opposés s'ils
ont la même valeur absolue et sont de signes contraires . +7 ;
-7
Ce sont des nombres relatifs de signes contraires
Voir
"somme de nombres algébriques"
Commentaire : La forme simplifiée d’une somme algébrique est une expression algébrique.
En algèbre ,il n’est donné à traiter que des expressions
algébriques.
Définition
d’une expression algébrique:
Une expression algébrique
est un ensemble de nombres relatifs et de variables sur lesquels sont indiquées
des opérations à effectuer.
Commentaire
: La forme simplifiée d’une somme algébrique est une expression algébrique.
En algèbre, il n’est donné à traiter que des expressions
algébriques.
Une expression algébrique est un
ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par les signes des opérations arithmétiques élémentaires, de
telle manière que, si l’on remplace chaque lettre par un nombre , les règles de l’arithmétique
permettent d’effectuer les opérations
indiquées . Le résultat final du calcul est dit
la valeur numérique de
l’expression pour les valeurs
particulières données aux lettres .
On dit aussi : Une expression algébrique est un ensemble de
nombres (donnés explicitement ou représentés par des lettres ) reliés par les
signes des six opérations.
Exemples :
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2ax2 -8bx |
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a - |
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Expression
algébrique rationnelle:
Une expression
algébrique est dite "rationnelle" quand elle ne contient pas de
lettres sous un radical.
Dit autrement: une expression algébrique est dite rationnelle
lorsque , parmi les opérations à effectuer sur les nombres représentés par des lettres , il n'y
a aucune extraction de racine.
Ainsi : 
Expression
algébrique irrationnelle:
Une expression
algébrique est dite "irrationnelle" quand elle contient
une ou des lettres sous un radical.
(parmi les opérations à
effectuer sur les nombres représentés par des lettres , il y a une extraction
de racine.)
Exemples : 
; x - 
; …..
Nombres irrationnels ?
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Expression
algébrique rationnelle entière :
Une expression algébrique rationnelle est dite "entière" lorsque , parmi
les opérations à effectuer sur les nombres représentées par des lettres , il
n'y a pas de division.
Exemple : ( a 2 + b 2 ) (c2
+ d2 )
Expression
algébrique rationnelle fractionnaire :
Une expression
algébrique rationnelle est dite
"fractionnaire" lorsque , parmi les opérations à effectuer sur les
nombres représentées par des lettres , il
a une division.
Exemple : 
Définition d’une variable:
Une variable est une lettre, elle représente ,généralement
,en sciences physique ,une quantité qui peut prendre diverses valeurs.
Toutes les expressions algébriques doivent se transformer en somme algébrique.
Exemples d’expressions algébriques:
a) Construite
uniquement avec des nombres:
6 + 10,5 – 15,2 - 13,5 + 3,8
b) Construite avec des
chiffres et des lettres (les lettres
sont appelées variables )
3x +5
7 a x2 -
3 by
(voir niveau sup.
une expression algébrique est dite
« entière » ; rationnelle ; irrationnelle)
Définition
d’une somme algébrique:
Une somme algébrique est une addition
de termes (parenthèses contenant des signes positifs
ou négatifs et des chiffres, situées à
droite et à gauche du signe opératoire +
)
Les
termes sont entourés par des parenthèses,
ces parenthèses sont séparés par le signe opératoire +.
Toutes les expressions algébriques
se transforment en somme algébrique.
Savoir
transformer une « expression » en « somme algébrique »
Important : Toute expression algébrique doit se
transformer en somme algébrique.
Intérêts:
a) pour pouvoir identifier
« les termes » (voir Obj. EG
1)
b) pour appliquer les règles
concernant les opérations avec des nombres décimaux
A) transformation d’une suite d’opérations contenant des additions ou
soustractions de nombres:
Procédure
pour transformer une expression en somme
1) Mettre le signe + en tête
d’expression ;s ’ il est manquant
2) Mettre les chiffres (qui constituent une valeur
numérique) et le signe qui le précède (placé devant )dans des parenthèses.
3) Séparer les parenthèses par le
signe opératoire +
4) Rendre compte.
Exemples :
I ) 8 + 3
-13 devient (+8) + (+3) +(-13)
II) - 5,2 - 6 +12 devient
(-5,2) +(- 6 ) + (+ 12)
III ) 4 + 5
+ 3,2 - 8 - 17,2 devient :
Description de la démarche :
1 ° ) le « quatre »
en tête d’expression devient (+4)
2 °) (+4)....(+5)
....(+3,2).....(-8)...... (-17,2)
( on met le nombre et le signe qui le précède dans des parenthèses)
3°) (+4)..+..(+5) ..+..(+3,2)..+...(-8)...+...
(-17,2) ( on sépare les
parenthèses par le signe « + »)
l’expression
4 +5 + 3,2 - 8 - 17,2 devient (+4)+(+5) +(+3,2)+(-8)+(-17,2)
autre exemple :
l’expression
algébrique « 6 + 10,5 -
15,2 - 13,5 + 3,8 » devient la somme algébrique « (+6) + (+10,5) + ( -15,2 ) +
(-13,5) + (+3,8) »
B ) Transformation
d’une suite d’opérations contenant des additions , des soustractions , et des
produits de facteurs (multiplication de
nombres) ; ou divisions :
Il faut identifier les multiplications ou divisions ;et les
effectuer ;ensuite procéder comme ci dessus :
I) 3,1 + 39 - 60,3
devient (+3,1) + (+ 39 ) + (- 60,3)
II ) -3,1 + 
- 9 
6,7 ;
devient (+ 3,1)+( + 
)+(- 9 6,7)
VOIR par la suite
la transformation d’expression contenant
des « x »
Exemple 1: L’expression
algébrique 3x +5 devient la somme algébrique (+3x) + (+5)
Exemple 2: ‘’ ‘’ -5x2 + 3x
-6 devient la somme algébrique (-5x2) + (+3x) + (-6)
Exemple 3:
7 a x2 - 3 by
devient la somme algébrique
(+7 ax2 ) + ( -3 by)
Exemple 4
: L’expression algébrique 3x -12y
+ 
-15 devient
la somme algébrique (+3x) +
(-12y) + (+ ) + (-15)
Remarquez: nous avons tracé
des parenthèses et ensuite séparé les parenthèses par le signe
opératoire + ; ensuite nous avons
placé dans les parenthèses les groupes de
lettres et chiffres précédé de leur signe.(en tête d’expression (voir 3x et
7 ax2) .
On remarque l’absence de
signe, le signe + avait été supprimé
,par convention, lorsque la somme algébrique a été transformée en expression
algébrique.
Dans
l’expression algébrique les signes
« + » et « - » ne sont pas des signes opératoires
mais des signes de nombres relatifs;
SIMPLIFICATION D’UNE SOMME
ALGEBRIQUE EN EXPRESSION ALGEBRIQUE :
Je peux simplifier une somme algébrique ,pour cela il suffit de
supprimer les parenthèses et les signes
+ se trouvant entre les parenthèses et en tte d’expression. mais attention danger il faut savoir faire l ' inverse .
Remarque importante: La soustraction n’existe pas en calcul algébrique (voir l’objectif
concernant la soustraction de deux nombres relatifs),cela permettant de
comprendre pourquoi en algèbre on parle de « somme algébrique ».
Expressions algébriques équivalentes.
On dit que deux expressions algébriques sont
"équivalentes" (ou identiques ) lorsque , en remplaçant dans
les deux expressions chaque lettre par un même nombre arbitraire , et en effectuant
tous les calculs indiqués , on obtient toujours deux résultats égaux.
Ainsi, considérons les deux expressions
a 3 - b3 et
( a - b ) ( a2 -2ab + b2 )
Elles sont
équivalentes parce que si l'on remplace
"a" par un nombre quelconque
et "b" par un nombre quelconque et si , dans ces conditions ,
on calcule la valeur numérique de a3 - b3 et la valeur numérique de ( a - b ) ( a2
-2ab + b2 )
On trouve deux nombres
égaux
Exemple :
Remplaçons "a" par « 5 » et "b" par « 2 » dans
les expressions a 3
- b3 et ( a - b ) ( a2 -2ab + b2
)
a3 - b3 = 53
- 23 = 125 - 8 = 117
( a - b ) ( a2 -2ab +
b2 ) = ( 5 -2 ) ( 52-2 
5 2 + 22 )= 3
39 = 117
si nous remplaçons "a"
par 10 , "b" par 1 :
a3 - b3=
999
( a - b ) ( a2 -2ab
+ b2 ) = 9 111 = 999
On trouve une nouvelle fois le
même nombre .
Le calcul algébrique a pour but de remplacer
certaines expressions algébriques
données par des expressions équivalentes
.
Pour cela il
faudra maîtriser les connaissances
dispensées en FACTORISATION et DEVELOPPEMENT
.
TRAVAUX
AUTO FORMATIFS.
1°) Donnez la
définition d’une expression algébrique.
2° ) Donner la
définition de « variable »
3° ) Donner la
définition de « somme algébrique ».
4° ) Quelle relation y
a t - il entre « somme algébrique » et « expression
algébrique »?
5° ) Pour faire du
calcul algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?
6°) Donner la procédure
permettant de transformer une expression algébrique en somme algébrique.
I ) Remettre sous forme relative les nombre
suivants:
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II ) Transformer
toutes les expressions suivantes en somme algébrique et calculer |
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1.
9 + 5 |
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2.
-9 - 7 |
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3.
5,7 - 17,4 |
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4.
8 + 5 - 15,7 |
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||
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6.
9 |
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7.
8 - 4 |
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8.
- 9 - 6 |
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9.
- 8 |
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Remplacer les lettres par leur valeur et effectuer
le calcul si vous avez fait les opérations avec les nombres relatifs
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1 ) Soit B = x - y
Transformer l'expression en somme; faire le calcul:
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a) avec
x = 3 ;
y =
6 ; |
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b)
avec x =
-2,5 ; y = -5,3 |
2° ) idem que ci dessus:
Soit l'égalité C =
x + y -z
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A = 2x - 3y |
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B = -1,5x + 0,5y - 4z |
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B = - 4x / 8 +z ; avec a) x =
-4 z = +5 |
+ z
C = 9 x /
1,5 + 3 y / 2
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Avec x = -
6 y = - 10 |
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D = - 5/2 + 3 x - 7/2 y - z
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Avec x
= 15 y = -12 ; z = -30
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Faire le calcul des
sommes algébriques suivantes:
(montrer les étapes successives de
transformation; l’utilisation de la
calculatrice est autorisée comme moyen de vérification ,mais attention il faut
bien connaître sa machine, elle peut vous donner un résultat qui n’est pas
conforme)
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Première série: |
Transformation
expression en somme algébrique: |
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a) 3,7+ 5,9 - 50,4 = |
||
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b) -4,8
+ 13,9 - 3,1 - 5,3 + 6,4 = |
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Deuxième série |
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c) 9 + 3,7+ ( 8,2 - 6,3) = |
||
|
d) 9 +
3,7 - ( 7,9 -12,2) = |
||
|
e) ( 8,2 - 6,3 ) -( 7,9 -12,2) = |
||
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f) +
3,7+ ( 8,2 - 6,3 ) -( 7,9 -12,2) = |