Pré
requis:
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Valeur
approchée et approximation |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif précédent |
Suivant : |
Tableau : |
(les rationnels et les
irrationnels)
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Interdisciplinarité |
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A ) Notion d’approximations
décimales
ou quotient approchés ( ou
« troncature ») de 253 par 0,7 sont :
Résultat affiché sur la calculatrice : 254 : 0,7 = 362,85714
On exprimera
suivant la demande ou les
contraintes imposées par la situation :
La division de: 254 par
0,7 donne le résultat « 362,85714 »
Ou :
362 à 1
près ;
362,8 à 0,1 près
;
362,85 à 0,01 près ;
362,857 à
0,001 près
Remarque sur la nécessité
d’arrondir : on peut arrondir au
millième une distance exprimée en kilomètre
(
On s’accorde à dire que la règle graduée que l’on
utilise est précise à
B ) Notion
d’arrondis automatiques
Dans certains problèmes , on peut avoir besoin de donner la valeur la plus voisine d’un nombre décimal : on l’appelle
« arrondi automatique ».
Exemples :
L’arrondi automatique entier de 39,9 est 40
L’arrondi automatique entier de 25,3 est 25
L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,83 est
7,8
L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,87 est
7,9
L’arrondi automatique d’ordre 2 de 3,141 est 3,14
( INFO ++++ : cliquez ici pour
connaître certaines règles )
Approximation et calcul numérique :
L’écriture décimale des entiers nous est tellement familière
que nous n’y prêtons plus attention.
Le Il est même beaucoup plus agréable de lire 1995
que mille neuf cent quatre vingt quinze .
Pour les nombres décimaux également , l’emploi de
cette numération ne pose pas de problème
particulier. La vie quotidienne fournissant
18,25 ; 69 ;90 et
autres .
Mathématique , 18,25 est égal à 73/4 et l’on
utilise indifféremment les deux notations.
Mais les choses ne sont pas aussi simples pour tous
les nombres rationnels.
Ainsi il arrive que l’on obtienne une suite infinie de décimales :
Par exemples :
= 0 , 3 3 3 3
3 3 3 3 ………
= 3 , 143857 143857 143857 143857 ………
= 3 , 14
20 202020202020………
Néanmoins , tous ces développements ont une propriété remarquable : à partir
d’un « certain moment » , ils
deviennent périodiques ; ( c’est à
dire que le même groupe de chiffres se
répète à l’infini ). On peut d’ailleurs démontrer que cette propriété est
caractéristique des rationnels : un nombre est un rationnel si et
seulement si son développement décimal
est périodique à partir d’un certain rang.
Cela
signifie que , même si le développement d’un rationnel est infini , une
quantité finie de chiffres est
suffisante pour le décrire complètement : le début du développement et sa
période .
Exemple : ou 31106 / 9900
est entièrement reconstitué à partir de la donnée de 3,14 et de sa
période 20.
Pour les rationnels le développement est
périodique ; en revanche pour les irrationnels rien de tel n’est possible
, le développement n’est jamais périodique .
Deux types de questions se posent alors :
v
Peut-on relier d’autres
propriétés des nombres ( le fait d’être algébrique , transcendant , etc …) à
des propriétés de leur développement décimal ?
v
Comment , à partir d’un nombre fini de données
, peut-on représenter un irrationnel avec le maximum de précision ?
Ces deux questions , avec les problèmes qui leur sont reliés , font de
nos jours l’objet d’actives recherches .
Par exemple , est-ce que le chiffre 1 apparaît une
infinité de fois dans le développement décimal de 
( lire : racine carrée de deux )?
Si oui , avec quel fréquence ?
*on peut se poser évidemment les mêmes questions à propos
de « pi » ou de n’importe quel nombre.
Voilà un type de question très simple à énoncer
, mais dont on ne connaît pas la réponse : personne à l’heure
actuelle ne sait par exemple si le chiffre 3 apparaît une infinité de fois dans le développement
décimal de « pi »
On pense même qu’il
s’agit là d’un problème extrêmement
difficile .
Commentaire :
Le
résultat a probablement peu d’importance en lui – même . Ce qui est intéressant
, c’est qu’il paraît nécessaire pour le résoudre de trouver des nouvelles
approches , de développer des méthodes complètement neuves . Les méthodes ainsi créer auront
certainement imaginer – pour l’instant difficile à imaginer- dans les domaines
variés des mathématiques , mais aussi dans les sciences appliquées ou la
technologie .
La limitation des calculs effectués par une calculatrice
scientifique ou un ordinateur :
Comme toute machine
l’ordinateur a ses limites , qui tiennent essentiellement à trois
facteurs :
-
les erreurs
d’arrondi : l’ordinateur , ne pouvant stocker qu’un nombre fini de
décimales , est toujours obligé d’arrondir les nombres .Bien sûr , l’erreur
d’arrondi ainsi faite sur un seul nombre est ridiculement faible . Mais il peut
arriver que les erreurs d’arrondi s’accumulent , surtout si l’on effectue une
suite très longue de calculs , jusqu’à rendre le résultat complètement faux .
-
Le temps de
calcul : les calculs demandés prennent un certain temps , très petit pour les calculs simples , mais
qui devient important quand ces calculs se compliquent. ( voir le temps
d’affichage de l’image d’un micro trop lent )
-
Sa capacité de
mémoire : bien que très grand , le nombre d’informations que peut stocker
un ordinateur à un instant donné ne peut pas dépasser une certaine quantité .
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Les tables de trigonométrie (utilisation de la
table et de la calculatrice ) |
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Longueur |
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Surface |
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Volume |
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Géométrie : la Géode ( La Villette ), est
l’approximation d’une sphère
par un polyèdre
TRAVAUX AUTO FORMATIFS
1 ) Que veut dire
approximation" ?
Voir dictionnaire
2°) Que signifie qu’un
développement d’un nombre dévient périodique ?
3°) Donner la
caractéristique ( propriété) d’un nombre rationnel.
4°) Comment peut-on
décrire complètement un nombre
rationnel , dont le développement est infini ?
EVALUATION à préparer
Définissez le rationnel suivant , à partir de son
développement :
ou 31106 / 9900 : il est entièrement reconstitué à partir de
la donnée de ……………….
CONTROLE :Corrigé
1 )Que veut dire approximation" ?
Voir dictionnaire
2°)
que signifie qu’un développement d’un nombre dévient périodique ?
un nombre a un développement périodique
lorsque dans son développement un même groupe de chiffres se répète à l’infini
.
3°) Donner la caractéristique (
propriété) d’un nombre rationnel
Un nombre est un rationnel si et seulement si son
développement décimal est périodique à
partir d’un certain rang.
4°) Comment peut-on décrire complètement
un nombre rationnel , dont le
développement est infini ? même si le développement d’un rationnel est infini ,
une quantité finie de chiffres est
suffisante pour le décrire complètement : le début du développement et sa
période .
EVALUATION à préparer
Définissez le
rationnel suivant , à partir de son développement
ou 31106 / 9900
est entièrement reconstitué à partir de la donnée de 3,14 et de sa
période 20.