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Pré requis:

Définitions sur : « EQUATIONS et INEQUATIONS »

 

@  Formation : Niveau V (inter actif)

q

@  Formation : Niveau V (Doc.  papier)

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

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Objectif suivant  

   COURS sue les inégalités  niv.IV

Programme « bac prof »

DOSSIER « ALGEBRE » : Le premier degré.(niveau IV)

 

Résoudre un problème du premier degré à une inconnue.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

 

COURS

                

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

1°)Corrigé sur les inéquations

 

Travaux

 

Cours

Corrigé cours

Situations problèmes

Les  équations du premier degré

 

 

 

Les inéquations du premier degré

 

SOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Objectifs : étude de situations  conduisant à des problèmes du premier degré.

 Méthodes de résolution graphique d’une inéquation à deux inconnues  ou système d’inéquation à deux inconnues et savoir réinvestir dans l’étude de situations.

Liste des chapitres :

I ) Premier degré à 1 inconnue :

 

1°) Résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

q

2°) Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.

q

3°) Problème du premier degré à une inconnue

q

4°)Système  d’inéquations du premier degré à une inconnue

 

II ) Premier degré à 2 inconnues :

 

1°) Ecriture d’une équation du premier degré à 2 inconnues.

 

2°) Système d’équations du premier degré à deux inconnues

q

3°) Problème du premier degré à deux inconnues

q

4°) Inéquation du premier degré  à deux inconnues et régionnement du plan

q

5°) Système d’inéquations du premier degré à deux inconnues

q

6°)Programmation linéaire

q

 

 


COURS

 

Pré requis : définitions  Equations et inéquations du premier degré.

I  )   LE  PREMIER DEGRE à UNE INCONNUE :

 

 

1°)  Equation du premier degré à une inconnue

SOS cours        Et @

 

A )   si « a » ¹ , l’équation  « a x = b » admet une solution unique :

 

B ) Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on regroupe , tous les termes contenant l’inconnue dans un membre  et tous les autres termes connus dans l’autre membre.

 

Exemple : 5 x –3 = 2x –1,5

 

Résolution successive :  5x – 2x = 3 – 1,5 ;  3 x =1,5 ; x = 0,5

 

RAPPELS : Avant de passer à la troisième étape « résolution de l’équation » ;il est nécessaire de faire un rappel sur les propriétés des égalités (@) :

 

Définition :

une équation est une égalité qui peut subir toutes les transformations suivantes :

 

Exemple 1

Règle 1

Soit l’égalité    8 = 8

Ajoutons 5 unités à chaque membre :   8 + 5 = 8 + 5

On a , encore l’égalité :  13 =  13

On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une égalité sans altérer cette égalité.

 

Exemple 2

Règle 2

Soit l’égalité    8 = 8

Retranchons 3 unités à chaque membre :   8  - 3 = 8  - 3

On a , encore l’égalité :  5 = 5

On peut retrancher un même nombre aux deux membres d’une égalité sans altérer cette égalité.

 

Exemple 3

Règle 3

Soit l’égalité    8 = 8

Multiplions par  3 unités chaque membre :   8 × 3 = 8 × 3

On a , encore l’égalité :  24 = 24

On peut multiplier les deux membres d’une égalité par un même nombre sans altérer cette égalité.

 

Exemple 4

Règle 4

Soit l’égalité    8 = 8

Divisons  par  2 unités chaque membre :   =   

On a , encore l’égalité :  4  =  4

On peut diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre sans altérer cette égalité.

 

Exemple 5

Règle 5

Soit l’égalité    8 = 5 + 3

On peut retrancher 3 unités à chaque  membre :   8 - 3 = 5

D’autre part , soit l’égalité :  2 = 5 - 3

On peut ajouter 3 unités de chaque côté de l’égalité, et l’on a : 2 + 3 = 5  

 

Si l’on transporte un terme algébrique précédé du signe + ou - , d’un membre d’une égalité dans l’autre membre, ce terme garde sa valeur absolue, mais change de signe.

Toutes les propriétés des égalités s’appliquent aux équations.

 

 

Exemple 6

Règle 6

Soit l’équation 5 x = 20

Divisons les deux membres par « 5 », on obtient :

     x = 

       x  =  4

 

Dans une équation, pour chasser le coefficient de « x », il suffit de diviser les deux membres par ce coefficient.

 

Exemple 7

Règle 7

Soit l’équation  

On a deux fractions qu’on peut réduire au plus petit commun dénominateur. Celui - ci est 12

Effectuons, on a :

multiplions les deux membres par 12, on a :   8 x = 7

 

et        x = 

 

Lorsqu’ une équation présente des dénominateurs différents, on réduit tous les termes au même dénominateur. On supprime ensuite ce dénominateur commun.

 

Remarque : la suppression des dénominateurs s’appelle «  chasser les dénominateurs ». 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ) Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.

@ 1cours.

@ info 2 ++

Définition :  une inéquation est une relation d’ordre mathématique qui comprend une inconnue en général notée « x » : Elle comprend les sigles suivants :

 

£

signifie

« est plus petit ou égal à… »

 

 

³

signifie

« est plus grand ou  égal à… »

 

 

>

signifie

« est strictement plus grand que… »

 

 

<

signifie

« est strictement petit  que… »

 

Il faut lire  de gauche à droite… !!!!.

Elle est du premier degré lorsque la puissance de « x » ne dépasse pas « 1 »

Remarque :ne pas confondre :     x 1  =  x    alors que  x 0 = 1

 

Résolution :

 

Résoudre une inégalité, c’est déterminer pour quelles valeurs de « x » elle est  satisfaite.

On dit aussi « que c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour que l’inéquation soit vérifiée ».  Ces valeurs  sont les « solutions de l’inéquation ».

 

Exemple :  

 

4 x - 1

>

x + 2

 

 

Premier membre

 

Deuxième membre

 

►Si x = 0  , alors ,  le premier membre  vaut  4 * 0  - 1  =  0 - 1  = - 1  et le second membre   vaut 0 + 2 = 2

comme  - 1 > 2 est « faux »  , alors 0 n’est pas solution de l’inéquation

► Si x = 3 ; alors le premier membre vaut  4 * 3  - 1 =  12 - 1 = 11 et le second membre vaut 3 +2 = 5

comme  11 > 5 est « vrai », alors « 3 »  est une solution de l’inéquation .

On remarque qu’il y a une infinité de solutions possibles. On parlera donc d’ensemble de solutions.

 

Remarque : résoudre une égalité du premier degré c’est chercher « une » solution ; alors que résoudre une inégalité c’est chercher « les » solutions qui vérifient….

 

Méthode de résolution

 

L’ objectif :  on veut isoler « x » dans un membre ( généralement dans le premier membre).

 

Procédure : transformer l’inéquation avec l’aide des règles suivantes :

 

Règles

 

Exemple

N°1 :  en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux  membres de l’inéquation.

Si  a < b  alors a + c < b +c

 

Si  a < b  alors a - c < b -c

  a  + 5 < b + 5 

 

a  - 5 < b - 5   

N°2 : en multipliant ou en divisant un même nombre positif non nul les deux  membres de l’inéquation.

Si  a > b  alors a  *  c >  b *c

 

Si  a > b  alors a / c > b /c

  a  * 5 > b * 5 

 

a  / 5 > b / 5   

N°3  : en multipliant ou en divisant un même nombre négatif non nul les deux  membres de l’inéquation et en changeant le signe de l’inégalité.

Si  a > b  alors a *  c <  b *c

 

Si  a > b  alors a / c < b /c

a  * (-5) <  b * (-5) 

 

a  / (-5) < b / (-5)   

 

Remarque :    5 > 3  est vrai si je multiplie par (-1) les deux nombres : on obtient -5 > - 3 ce qui est faux , je dois changer le signe de la relation d’ordre pour que cela soit vrai :  - 5  < - 3 

 

Remarque :  Les théorèmes  relatifs aux  inégalités permettent des transformations analogues à celles  que nous employons pour les « égalités »

 

Ainsi ,on peut, pour les inégalités comme pour les  égalités , faire passer un terme d’un membre dans l’autre en changeant son signe, et procéder aux simplifications visibles « a priori » que nous avons  indiquées  pour les équations ,à savoir : suppression des termes  identiques dans les deux membres , suppression d’un facteur commun à tous les termes (à condition que ce facteur soit positif ) , etc.

On pourra aussi chasser  les dénominateurs.

 

Les inégalités du premier degré à une inconnue se résolvent donc par une démarche tout à fait semblable à celle que nous avons indiquée pour les  équations, et la règle de résolution serait aisée à formuler .

Il faut seulement avoir grand soin de changer le sens de l’égalité lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Si on multiplie  ou si on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre :

-   strictement positif : on conserve le sens de l’inéquation.

-   strictement négatif : on change le sens de l’inéquation.

 

 

Exemple n°1 : résoudre l’inéquation  4 x - 1  >  x + 2

 

1°) On  regroupe les « termes en x » dans le premier membre en appliquant  la règle n°1

                              4 x - 1  - x >  x + 2 - x                  (on retranche « x »)

 on réduit :                    3 x - 1  > 2

2°) on regroupe « les termes sans x » dans le second membre en appliquant la règle 1

                              3 x  - 1 +1 >  + 2   + 1                  (on ajoute  « 1 »)

 on réduit :                    3 x   > 3

 3°) On isole « x » à l’aide de la règle 2  (puisque « 3x » est positif)

                                   3 x / 3  > 3 /3      (on divise par 3 )

On réduit :                            x  > 1

4°) conclusion :

 

Les solutions sont tous les nombres strictement  plus grand que 1 .

 

On note également l’ensemble des solutions ( S )  sous la forme d’un intervalle .Dans ce cas cet intervalle est     ] - 1 ;  +  ¥ [

Tel que                 S = ] - 1 ;  +  ¥ [

« +  ¥ » se lit  « plus l’infini » , ce sont tous les nombres positifs très grands.

On pourrait utiliser la représentation graphique ( axe gradué) pour montrer les solutions .

(cliquer ici pour voir)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Précisions sur la notation des intervalles de nombres :

 

 

intervalles

Lire :

Traduire :

[ 2 ; 5 ] 

:intervalle 2 ; 5 fermé, ce sont tous les nombres « x » tels que

 2 £  x £ 5

[ 2 ; 5 [

:intervalle 2  fermé ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres « x » tels que

2 £  x <  5

] 2 ; 5 [

:intervalle 2 ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres « x » tels que

 2 <  x < 5

] - ¥ ; 2 ]

Ce sont tous les nombres « x » tels que

   x £ 2

] - ¥ ; 2 [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

   x  < 2

[ 2 ; + ¥ [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

 x  ³ 2

] 2 ; + ¥ [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

  x  > 2

 

 

Soit , par exemple n°2 :  résoudre l’inégalité :

3x-5  > 5x +8

on fait passer les termes renfermant les « x » dans le premier membre et les autres dans le second membre, elle devient :

-2x >13

 

d’où en divisant par –2 :     

on doit changer  le signe  « > » en « < »

 

x <

 

ou   x < -6,5

 

 

On  a   changé  le sens , puisque   –2   est négatif.

SOS rappel

 

 

On conserve le sens de l’inéquation si l’on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inéquation par  un nombre strictement positif.

On change le sens de l’inéquation si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inéquation  par un même nombre strictement négatif.

 

 

Exemples :

a) Résoudre :   4 x < 10

on divise par « 4 »   :    x < 

Conclusion L 3 façons ou formes peuvent être utilisées pour conclure)

 

Première forme (l’inégalité):           x < 2,5

 

Deuxième forme (l’intervalle)  :      ]  - ¥ ; 2,5 [

 

Troisième forme : 

 Par le représentation graphique :

                                                                                                [      

                                                                      0         1            2,5                  

                 la partie hachurée représente les non solutions ; la partie à gauche de « 2,5 » représente l’ensemble des solutions , valeurs que peut prendre « x ». 

 

b )Exemple :  Résoudre :  - 2 x £ 5

On divise par « - 2 »   (on change le  sens de la relation d’ordre)  :  x ³

Conclusion :

Première forme :        x ³ -  2,5

Deuxième forme :      [ –2,5 ;+ ¥ [

Troisième forme : 

représentation graphique :

                                            [                                                          

                                        -2,5         - 1          0

                 la partie hachurée représente les non solutions ; la partie à droite de « 2,5 » représente l’ensemble des solutions , valeurs que peut prendre « x ». 

 

Activités :

Donner les solutions des inéquations suivantes sous forme d’intervalle :

 

5x + 2 > - x - 4

3x + 8 > 5

- 4 x + 2 > 0

 7x - 4 < 18

 

 

 

 

 

 

3°)  Résolution d’un problème du premier degré à une inconnue

SOS cours

La résolution  d'un problème par l'algèbre peut se décomposer en quatre parties:

1°) choix de la ou des inconnues

2°) mise en équation

3°) résolution des équations

4°) discussion du problème

 

Exemple de problème :

Enoncé

 

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

 

 

1°)  Appelons « x » la part du premier.

2°) On a :

Part du premier :      x  ;

Part du deuxième :   x + 5 000

Part du troisième :

                    (x + 5000)  - 1000   ou    x + 4 000

Il est évident qu’on obtient l’équation :

       x +  x + 5 000  + x + 4000 = 60 000

 

3°)  on a à résoudre l’équation trouvée :

            x+ x + 5 000 + x + 4 000 = x

 

On gardera tous les « x » du même côté de l’égalité, ce qui fera « 3x », et l’on fera passer les nombres 5 000 et 4 000 du côté opposé. D’après les règles précédentes, on aura :        x + x + x = 60 000 + 5 000 + 4000

                          3 x = 51 000

                             x = 17 000

4°)

La part du 1er héritier sera de 17 000 €

Le 2e héritier aura : 17 000 + 5 000 = 22 000 €

Le 3e héritier aura    22 000 - 1000 = 21 000 €

Commentaire : le résultat est positif et devaient l’être forcément.

Vérification :     17 000 + 22 000 + 21 000 = 60 000 €

 

Remarque : ici , l’équation était « simple » , et ne présentait aucun dénominateur à faire disparaître.

 

@info

4°) Résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue.

@info

 

Résoudre un système d’inéquations :

Résoudre un système d’inéquations ( dit aussi inéquations simultanées) à une inconnue, c’est trouver les valeurs de cette inconnue qui satisfont à la fois à toutes ces inéquations.

 

Pour résoudre un  tel  système , il suffit de résoudre successivement toutes les inéquations données et de conserver les solutions communes.

 

Pour cela, si le résultat n’est pas immédiat, il peut être commode de ranger par ordre  de grandeur croissante les valeurs limites trouvées. On détermine ainsi un  certain nombre d’intervalles. On barre ceux dans lesquels l’inconnue ne doit pas se trouver. Les intervalles non barrés donnent les solutions du système.

 

Exemple : résoudre  le système :   

 

 

 

1ère équation :  -x > -2  c’est à dire    « x < 2 »

2ème équation    - x > 2    c’est à dire    x < -2

3ème équation   - 2x < 9   c’est  à dire      x > 4,5

 

Le résultat est immédiat :            -4 , 5 < x < -2

 

 

 

II ) LE  PREMIER DEGRE à DEUX  INCONNUES :

 

 

A) Equation du premier degré à deux inconnues

SOS cours

 

 Ecriture :   l’équation du premier degré  à 2 inconnues peut se mettre sous la forme « a x + by + c = 0 » 

Exemples :   3 x - 5 y + 4 = 0   ;   2x + y - 3 = 0

 

Dans l’étude de système d’équations , l’équation se met sous la forme : a x + by =  c

 

Exemples :

   3 x - 5 y + 4 = 0    s’écrira       3x  -   5 y  = - 4

   2x + y - 3 = 0       s’écrira       2x  +     y   = + 3

 

Dans un système à deux équations on retrouvera l’écriture :

 

B) SYSTÈME DE DEUX ÈQUATIONS À  DEUX INCONNUES :

@ Info plus :

 

Soit le système

Résoudre ce système, c’est trouver les solutions communes aux deux équations qui le composent.

Pour résoudre un système on peut utiliser  3  méthodes : 2  méthodes  par résolution algébrique  et une  méthode par résolution graphique.

 

Résolution algébrique : Pour ces deux méthodes , on forme à partir du système donné, une équation contenant une seule inconnue. Il faut donc faire disparaître ou « éliminer » l’autre inconnue.

 

1°) Par substitution

@ Info +

 

Cette méthode consiste à exprimer une inconnue « en fonction » de l’autre dans une équation et à substituer l’expression trouvée (la  valeur ainsi trouvée) dans l’autre équation.

Exemple :

Résoudre le système ( I )  suivant :

 

1°) transformation de l’équation (1) :   2x - 3 y = 1    devient   y =        (3)

Toute solution du système (I) est solution du système (II):

système ( II )                 

 

2°) Remplacement de l’équation  (3) dans l’équation (2)

                                                3 x + 5 ( )  = - 27 ;

   

 après développement on obtient   9x + 10 x - 5 = - 81 

                             soit après regroupement :  19 x = - 76

                             ainsi :                                      x = - 4

 

recherche de la valeur de « y » connaissant celle de « x »

    si   y =        et x =  -4 ; alors     y =  = - 3

 

Conclusion :  si le système admet  une solution,  c‘est :  x = - 4 ; y = - 3

 

Vérifions par le calcul qu’il en est bien ainsi :  (pour x = - 4 ;et pour ;  y=  - 3)

 

Dans l’ équation  2x - 3y = 1   ;   2 × ( -4) - 3 ( -3 ) = +1

Dans l’équation   3x + 5 y =  - 27    ;   3 ( -4) +  5(-3) = - 27

 

Vérifions par le tracé : il faut tracer  la droite  ( D1 ) d’équation      y1 =      et la

droite  ( D2 )d’équation : y2 =    ; le point d’intersection des deux droites est

 

solution du système soit le point de coordonnés ( - 4 ; - 3 )  . A VERIFIER !!!!

 


 

2°) Par combinaison.

@ Info +

Cette méthode consiste à ajouter membre à membre les deux équations après multiplication par un facteur adapté, de façon à éliminer l’une des deux inconnues.

 

Exemple : résoudre le système

 

 

Les coefficients de « y » sont +2 et +5. Nous pouvons les rendre symétriques en multipliant les deux membres de la première équation par « 5 » et ceux de la seconde par « -2 » ; Nous obtenons :

 

 

En additionnant, on obtient : 33x = 99 ; soit  x = 3  

 

Remplaçons « x » par « 3 » dans l’équation (1)

   27 + 2y = 17  ou  2y = - 10 soit  y = -5

 

On vérifie que :  x = 3 ; et y = -5 est bien solution du système

 

 

 

 

En conclusion la méthode de l’addition consiste à multiplier les deux membres de chaque équation par des « multiplicateurs » de façon que les coefficients d’une inconnue deviennent symétriques. On élimine cette inconnue par addition.

 

3°) Résolution graphique

@ Info +

 

Chaque équation du système  est transformée de  manière à être interprétée comme une équation de droite.

Résoudre un système « par le graphique » revient à déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites.

 

Exemple1 : résoudre graphiquement le système

 

 

 

Exemple 2 : Résoudre graphiquement le système :

 

 

 

C  )  PROBLEMES A PLUSIEURS INCONNUES  ( 2 et 3 ).

 

Définition :lorsqu’un problème conduit à la résolution d’un système de plusieurs équations du premier degré , on dit encore que  c’est un problème du premier degré.

La marche à suivre pour résoudre ces problèmes est analogue à celle utilisée pour un problème à une inconnue, c’est à dire :

1°) On choisit les inconnues ;

2°)On met le problème en équation.

3°) On résout le système d’équations obtenu ;

4°) On discute, c’est à dire qu’on regarde si la solution obtenue satisfait aux différentes conditions qui doivent vérifier les inconnues.

 

 

1°) Problème résolu. :à deux inconnues

@

Un cycliste parcourt un trajet AB qui comporte uniquement des montées et des descentes. Les vitesses moyennes sont de 10 km/h en montée et 30 km/h en descente. Dans le sens A vers  B il met 4 h 20 mn , dans le sens de B vers A il met 5h. On demande la longueur des montées et des descentes dans le sens A vers B.

 

Résolution :

Soient « x »la longueur des montées, et « y » celle des descentes dans le sens A vers B, ces longueurs étant évaluées en kilomètres.

 

La mise en équation est immédiate. On doit avoir :

 

 

c’est à dire :  

En procédant par exemple par addition on obtient :

D’où :

Discussion :pour les valeurs trouvées soient acceptables, il faut et il suffit qu’elles soient positives. Ces conditions sont réalisées et les distances cherchées  sont 30 km et 40 km.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Problème résolu à  trois inconnues.

 

Un cycliste parcourt un trajet AB qui comporte des montées , des paliers et des descentes. Les vitesses  sont 10 km/h en montée ; 20 km/h en palier ; 30 km/h en descente. Dans le sens AB il met 6 h 50mn ; dans le sens BA il met 7 h 30 mn. Le trajet AB comportant 120 km, on demande la longueur des montées, des paliers , des descentes.

 

Résolution :

Désignons par « x » la longueur totale des paliers, par « y » celles des montées dans le sens A B, par « z » celle des descentes, ces distances étant exprimées en km. Exprimons les temps en heures, donc les vitesses en kilomètres - heure.

 

La  distance AB est 120 km :  x + y + z = 120

 

La durée du trajet AB est 6 h 50 m n  , soit 6 h  ou   d ’heure :

 

 

 

Dans le sens BA , les montées deviennent descentes et les descentes deviennent montées. La durée du trajet  BA est  7 h ,  soit  heures.

    

Nous sommes conduits à résoudre le système suivant :

 

 

 

Pour résoudre ce système, formons un système de 2 équations à 2 INCONNUES. Pour cela nous éliminons « x » entre (2) et (3) :    4 y - 4z = - 40

 

Eliminons « x » entre (1) et (3) 

 

 

-3 x - 3 y - 3z  = -   360

 3x  + 2y + 6 z =     450

 

 

       0 x -   y  +3z   =      90

 

On obtient :

  Þ         Þ

 

Donc : z = 40 et y = 30 et en substituant  dans (1) : x = 50

On pourra vérifier que cette solution convient au problème. IL y a donc dans le sens AB ; 50 km de paliers ; 30 km de montées et 40 km de descentes.,

D ) Inéquation du premier degré à deux inconnues et régionnement du plan :

Info @ SOS :

 

Ecriture :   l’inéquation du premier degré  à 2 inconnues peut se mettre sous la forme 

« a x + by + c > 0 » 

Lire :     strictement supérieur à 0

« a x + by + c < 0 » 

Lire :     strictement inférieur à 0

« a x + by + c "e 0 » 

Lire :     strictement supérieur ou égal à 0

« a x + by + c "d 0 » 

Lire :     strictement inférieur ou égal à 0

 

 

Exemples :   3 x - 5 y + 4 > 0   ;   2x + y - 3 < 0

 

Dans l’étude d’une inéquation ou d’un système d’inéquations , on trouvera l’écriture  sous la forme :

                          a x + by "e  c    ou   : a x + by "d  c 

 

Exemple : résoudre graphiquement :     x - 2y + 4 > 0

Objectif : on recherche tous les points dont les coordonnées vérifient l’inégalité.

On transforme successivement  pour obtenir une inéquation de la forme :     y ….

%Ï On  transforme  l’inéquation :

     x - 2y + 4 > 0

            - 2y  > -x - 4

              2y  <  x + 4

               y <

  On trace la droite d’équation :  y =

  Recherche de la zone (1/2 plan qui convient):

 

On essaye l’origine ( 0 ; 0),  remplaçons  ces valeurs dans l’équation : y <

                               

                                       0 < 0 + 2

 

cette inégalité est vraie.

conclusion : tous les points du demi- plan qui contient l’origine vérifient l’inégalité.

On hachure le demi plan qui  ne convient pas. (on peut colorier le demi -plan qui convient) 

 

 

 

 

 

 

 

@ Info -

E) SYSTEMES D’INEQUATIONS du premier degré à deux inconnues.

@Info+

        Nous nous bornerons à une méthode graphique. Celle -ci résulte immédiatement. Du théorème énoncé (cours : définition)):

          La droite (D) qui a pour équation    a x + by + c = 0   partage le plan en deux régions.

Pour tous les points de l’une on a : a x + by + c > 0

Et pour tous les points de l’autre :  a x + b y + c < 0

          

Le théorème réciproque se démontre immédiatement par l’absurde. On en conclut que les relations précédentes sont « caractéristiques » des points des deux régions que détermine la droite « D ».

 

 

Exemple : résoudre le système :


 

 

Etant donnés deux axes de coordonnées Ox ; Oy ; nous allons déterminer dans quelle région du plan se trouvent les points « M » dont les coordonnées satisfont à ces trois inéquations.

 

Pour cela nous construisons les droites qui ont respectivement pour équations :

 

 

                                    3 x + 2y - 6   = 0   ( D)

                                      x   - 2y + 2  = 0   ( D’)

                                     4x - 3y +12  = 0 ( D’’)

 

Pour que l’inéquation (1) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine ( car pour x = 0 ; y = 0 l’inéquation est satisfaite ).

 

Pour que l’inéquation (2) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui ne contient par l’origine ( car pour x= 0 ; y = 0   l’inéquation n’est pas satisfaite).

 

Enfin pour que l’inéquation (3) soit satisfaite il faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine ( car  pour x = 0 ; y = 0 l’inéquation est satisfaite).

 

TRACER :

 

 

 

Finalement , on voit que M doit être à l’intérieur du triangle ABC formé par les 3 droites  ( D ) ; (D’) ; (D’’).

 

 


Résumé du cours :

 

A ) Equation du premier degré :

 

1°) Equation du premier degré à une inconnue :

  a x = b , avec « a » non nul , la solution est    x =

 

2°) SYSTÈME DE DEUX ÈQUATIONS À  DEUX INCONNUES :

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues on dispose de trois méthodes :

2 méthodes « algébrique » : dites   l’une  « par substitution » , l’autre par « combinaison ».

 la troisième est appelée : « méthode graphique »

 

B ) Inéquation du premier degré :

 

Inéquation du premier degré  à une inconnue :

Info plus.@ :

Premier cas : si a > 0 , on conserve le sens de l’inégalité :

ax  £  b   Û   x £  Û  x Î ] - ¥ ; ]

 

deuxième cas : si a < 0 , on change le sens de l’ inégalité

ax  £  b   Û   x ³  Û  x Î [  ; + ¥[

 

Inéquation du premier degré  à deux  inconnues :

 @ Info plus

Soit l’équation  « ax + by +c = 0 »

Par transformation elle devient  la droite « D » d’équation     , cette droite partage le plan en deux demi-plans de « frontière » « D » tels que :

- Pour tout point  M ( x ; y) de l’un ,         a x + by "e c ;

- pour tout  point  M (x ; y ) de l’autre     a x  + by "d c

 

Pour sélectionner   le demi-plan recherché, on teste un point  quelconque M ( xM ;yM )    du plan n’appartenant pas à la droite.

Très souvent ; par commodité,pour éviter les calculs ,  on choisit l’origine « O ».

Ainsi on analyse le résultat :

               0x +  0 y  ( ?) "e  ou           0x +  0 y  ( ?) "d   

la solution est donnée au cas par cas !!!!!!        

    

Système d’inéquations du premier degré  à une inconnue :

I@ Info plus

 

En général, on résoudre « graphiquement » ce genre de système.

 

Résoudre graphiquement  un système d’inéquation, c’est rechercher la partie du plan commune aux demi- plans représentant chacune des inéquations du système.

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

(Travaux servant de préparation et de support  à un devoir sur feuille)

 

CONTROLE :

1°) citer les 7 règles permettant de résoudre les équations du premier degré à une inconnue.

2°) Donner la procédure de résolution d’un problème (par l’algèbre):

(Citer les 4 étapes chronologiques de la résolution d’un problème d’algèbre :

 

EVALUATION

Premier degré : EQUATION.

 

Résoudre :

Résolution

1-a

4,6 x = 18,4

    

 

1-b

 

 

1-c

4 ( x -3) = 2 ( x-5)+3

 

 

1-d

 

 

1- e

 

R-  1- e :  x = -9

 

Corrigé @

Premier degré : INEQUATION.

 

Résoudre :

Résolution

1-a

 5x - 7 "e 1

 

1-b

-2x + 2 < 5,7

 

1-c

8 ( 6x + 3) > 2x

 

1-d

 

 

Réponses  @:  x "d     ;  x "e 1,5 ;  x  >  ; x >

 

Série 1 : (traités dans le cours)

Enoncé du problème N°1

 

On veut partager une somme de 60 000 € entre trois héritiers, de manière que le deuxième ait 5 000 € de plus que le premier, et le troisième 1 000 € de moins que le deuxième. Calculer la part de chacun.

 

 

Enoncé du problème N°2

 

Une marchande apporte au marché un panier de pommes ; elle vend d’abord le   de ce que contenait son panier, puis 12 pommes, puis  du reste, il lui en reste alors 18.

Combien avait-elle de pommes ?

 

 

Enoncé du problème N°3

 

Un jardin rectangulaire de 50 mètres de long est plus grand de 257 mètres carrés qu’un autre de même forme, d’une longueur de 42 mètres et dont la largeur surpasse celle du premier de 1, 50 mètre. Calculer la largeur du premier terrain.

 

 

Enoncé du problème  N°4

 

Un père a 38 ans, son fils a 14 ans . On demande dans combien d’années le père aura juste 3 fois l’âge de son fils.

 

 

Série 2.

 

1°) Un fermier porte au marché un certain nombre d'œufs , qu'il compte vendre 100 centimes pièce ; il en casse 6 , mais il trouve à vendre les autres  150 centimes pièce et rapporte ainsi chez lui 10 francs de plus qu'il ne comptait en partant. Combien avait-il d'œufs?

 

Pb N°2 :

Un marchand de vin désire obtenir 100 litres de vin lui revenant à 5 francs le litre en mélangeant du vin qui lui coûte   3,50 francs le litre avec du vin qui lui coûte 9,50 francs le litre. Combien doit-il prendre de litres de vin de chaque espèce?

 

Pb N°3 : Un voleur s'est emparé d'une bicyclette et s'enfuit sur une route avec une vitesse de 20 km à l'heure ; on s'en aperçoit 3 minutes après son départ et un bicycliste s'élance à sa poursuite avec une vitesse de 22 km à l'heure .Au bout de combien de temps le rattrapera-t-il ? (les vitesses sont des vitesses moyennes)

 

 

Pb N°4:

Un père a 40 ans et son fils en a 16 ; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils ?

Système d’équations :

Pour un concert de jazz, les places valent 3 € et 13 € .

Une association a acheté 32 places pour un montant total de 272 €.

Combien de places de chaque sorte l’association a - t- elle acheté ?

Résoudre le système  d’inéquations suivant :

 

 

CONTROLE:

 

Voir cas par cas !!!!dans les info +++

 

 

EVALUATION:

 

 

Corrigé :

Activités sur les inéquations:

Donner les solutions des inéquations suivantes sous forme d’intervalle :

 

5x + 2 > - x - 4

3x + 8 > 5

- 4 x + 2 > 0

 7x - 4 < 18

 x > -1

 

l’intervalle de « x » solution de cette inéquation est

] - 1 ; + ¥[

 x > - 1

 

l’intervalle de « x » solution de cette inéquation est

] - 1 ; + ¥[

 x < 0,5

 

l’intervalle de « x » solution de cette inéquation est

] - ¥ ; 0,5 [

   x  <  22/7

 

l’intervalle de « x » solution de cette inéquation est

] -  ¥ ; 22 / 7 [