|
Résolution de l’équation du premier degré à deux inconnues |
|
|
Fonction linéaire (représentation graphique) |
|
|
Fonction affine (représentation graphique) |
|
ENVIRONNEMENT du dossier:
|
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
DOSSIER : Résolution d’ un SYSTEME :
·
de 2 INEQUATIONS du
PREMIER DEGRE à deux INCONNUES .
·
de 3 INEQUATIONS du PREMIER DEGRE à deux INCONNUES
|
TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
COURS
|
|
SYSTEME avec 2 INEQUATIONS : |
Info
plus. |
Par définition : la donnée simultanée de deux
(ou plusieurs) inéquations s’appelle un « système d’inéquations ».
Résoudre un système d’inéquations c’est chercher toutes les solutions
« communes » aux inéquations.
Application 1:
On demande de résoudre graphiquement le
système : 
|
Transformations : On transforme (1) y
>2 x -1 On transforme (2) -2y
> -x - 4 Û 2y < x + 4 soit y < %Ï
le système devient : %Ï
On trace les droites : ” d’équation : y = 2x -1 et ”
‘ d’équation : y’ = |
|
Pour chaque inéquation on considère le demi plan
qui convient (on considère le point origine O (0 ;0) ; on cherche si
il appartient ou pas au demi plan )
La solution graphique du système correspond à tous
les points communs aux deux demi plans (zone non barrée)
Remarques : les droites ” et ”
‘ sont sécantes au point de coordonnées
( 2 ;3) ; Ce point n’est pas
solution du système. ( parce que nous avons des inégalités strictes)
|
|
Résolution graphique d’un
SYSTEME à 3
INEQUATIONS |
|
Exemple 1:
Résoudre le
système :
Etant donnés deux axes de coordonnées
« O x » et « O
y » nous allons déterminer dans quelle région du plan se trouvent les
points « M » dont les coordonnées satisfont à ces trois inéquations.
Pour cela construisons les droites qui ont
respectivement pour équations :
(1)
3 x + 2 y - 6 = 0 ( D)
(2)
x - 2 y + 2 = 0 ( D’)
(3)
4x - 3y +12 = 0 ( D’’)
Pour que l’inéquation (1) soit satisfaite il faut
et il suffit que « M » soit dans la région qui contient l’origine (
car pour « x » = 0 ; « y » = 0 l’inéquation est
satisfaite).
Pour que l’inéquation (2) soit satisfaite il faut
et il suffit que « M » soit dans la région qui ne contient pas
l’origine ( car pour « x » = 0 ; « y » = 0
l’inéquation n’est pas satisfaite).
Enfin pour que l’inéquation (3) soit satisfaite il
faut et il suffit que « M » soit dans la région qui contient
l’origine ( car pour « x » = 0 ; « y » = 0
l’inéquation est satisfaite).
|
|
Finalement, on voit que « M » doit être à
l’intérieur du triangle ABC formé par les 3 droites (D) ; (D’) ; (D’’).
Exemple 2 : Résoudre graphiquement.
On désire acheter pour une bibliothèque des romans
de la pléiade (60 € l’un) et des encyclopédies (120€ l’une). On exige les trois
conditions suivantes :
1°) Au moins deux romans.
2°) Plus d’ encyclopédies que de romans.
3°) La dépense doit
être inférieure ou égale à 900 € .
Quelles sont les diverses possibilités
d’achats ?
|
Désignons par « x » le nombre de romans
(nombre entier) et « y » le nombre d’encyclopédies (nombre entier) Les trois contraintes : |
|
D’où : 
Nous devons tracer les droites ” ; ”’ ;
”’’ telles que 
Etude
du graphique :
Le
graphique montre « 8 » solutions répondant au problème.
Remarque :
Le
point « M » ( 3 pléiade , 6
encyclopédies) correspond à la dépense maximale de 900 €.
Le
point « m » ( 2 romans , 3 encyclopédies) correspond à la dépense
minimale de 480 €.
RESOLUTION DE PROBLEMES.
Exemple : Un fabriquant de
meubles peut fabriquer deux modèles de
table , « X » et « Y » , demandant chacun des temps
d’usinage et de finition différents. Son bois lui permet d’usiner 11 tables par
jour. Un ouvrier met 3 heures pour
usiner une table « X » et 2 heures pour une table « Y ». La
personne qui s’occupe des finitions met 15 mn pour finir une table
« X » et 1 heure pour une table « Y ».
Les quatre ouvriers représentent au total 30 heures
de travail quotidien et la personne qui
s’occupe des finitions travaille 8 heures par jour.
a)
Chercher le système
d’inéquations vérifiées par le
nombres de tables « X » et le nombre de tables « Y ».
b)
Si le fabriquant veut produire 11 tables par jour,
quelles sont ses possibilités ?
c)
Recherchez, parmi les solutions trouvées en
« b » si tous les ouvriers
travaillent à temps complet ?
d)
Si une table « Y » est vendus 10% plus chère qu’une table
« X », quelle solution choisira le fabriquant ?
CONTROLE :
1°)
Donner la procédure qui permet de résoudre « graphiquement » un système
d’inéquations du premier degré à deux
inconnues.
A) Résoudre le système suivant :
|
|
Corrigé dans le cours. |
B) Résoudre graphiquement les systèmes
d’inéquations suivants :
|
a) |
c) |
|
b) |
d) Que reste - t- il de l’ensemble des solutions si
l’on ajoute l’équation x + y = 1 ? |
C ) Représenter graphiquement l’ensemble des
solutions de chacun des systèmes :
|
a) |
b) |
D ) Montrer à l’aide d’un graphique que le système
suivant admet une seule solution entière.
Donner cette
solution.
Un fabriquant de meubles peut fabriquer deux modèles de table ,
« X » et « Y » , demandant chacun des temps d’usinage et de
finition différents. Son bois lui permet d’usiner 11 tables par jour. Un
ouvrier met 3 heures pour usiner une
table « X » et 2 heures pour une table « Y ». La personne
qui s’occupe des finitions met 15 mn pour finir une table « X » et 1
heure pour une table « Y ».
Les quatre ouvriers représentent au total 30 heures
de travail quotidien et la personne qui
s’occupe des finitions travaille 8 heures par jour.
e)
Cherchez le système
d’inéquations vérifiées par le
nombres de tables « X » et le nombre de tables « Y ».
f)
Si le fabriquant veut produire 11 tables par jour,
quelles sont ses possibilités ?
g)
Recherchez, parmi les solutions trouvées en
« b » si tous les ouvriers
travaillent à temps complet ?
h)
Si une table « Y » est vendue 10% plus chère qu’une table
« X », quelle solution choisira le fabriquant ?
Problème N° 2 : Résoudre graphiquement.
On désire acheter pour une bibliothèque des romans
de la pléiade (60 € l’un) et des encyclopédies (120€ l’une). On exige les trois
conditions suivantes :
1°) Au moins deux romans.
2°) Plus d’ encyclopédie que de romans.
3°) La dépense doit
être inférieure ou égale à 900 € .
Quelles sont les diverses possibilités
d’achats ?
(Voir dans le cours pour le corrigé)