la tangente d'un angle

CAP industriel.

Géométrie : DOSSIER : TRIGONOMETRIE / Objectif cours 29

Pré requis :

Liste des pré requis
Sinus d’un angle
Cosinus d’un angle

Environnement du dossier :

Index

Table de trigo :

Objectif précédent :

Coefficient directeur d’une droite

Objectif suivant

1°) la fonction linéaire

2°) La tangente en 1 point d’une courbe…

tableau

Présentation

DOSSIER : TRIGONOMETRIE

TANGENTE d'un angle (pente)

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation		Interdisciplinarité Calcul : fonction linéaire. Calcul : fonction affine	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation



				Comme le dessin ci contre le montre : La ligne passant par OP est appelée « horizontale » La ligne MP est appelée « élévation » La pente est d’abord exprimée par un nombre décimal. Ce nombre est obtenu en effectuant le calcul : Ce nombre est ensuite exprimée pour une distance de l’horizontale de 100. Ainsi sur les panneaux de signalisation on rencontre des valeurs de 8% ; 14 % , 20 %
Signification de 14 % : lorsque qu’un véhicule se déplace théoriquement sur une horizontale de 100 m , il monte une hauteur de 14 m ( 14 m représente la hauteur d’un immeuble de 4 étages environ. Pour connaître la distance parcourue ( dans la montée ) par un véhicule qui monte une pente de 14 % il faut calculer la longueur OM , avec « Pythagore » , on trouvera 100 , 86 m ( Soit 100² = 10 000 ; 14 ² = 166 : on fait la racine carrée de 10 166 ce qui donne (avec une calculatrice) = 100 , 86 )
				« Pente » et « tangente » : Dans un triangle rectangle OAA’ , on appelle « pente » la tangente de l’angle « O » . La tangent de l’angle « 0 » est égal au rapport de la longueur du segment AA’ sur la longueur du segment O A’. Plus généralement : Dans un triangle rectangle ,La tangente d’un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur du côté adjacent à cet angle. Tangent de l’angle O = Tangente de l’angle A =

COURS

INFORMATIONS

Rechercher « la pente d’une descente ou d’une montée » ; le coefficient directeur d’une droite (voir « fonction linéaire » , et les autres fonctions ) ; cela revient à rechercher une valeur numérique obtenue en faisant le rapport de deux autres valeurs numériques , appelé « tangente ».

Relation trigonométrique dans le triangle rectangle : La TANGENTE.

Le tangente d’un « angle » :

symbole « tangente » est « tan »

« a » ; « b » , « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;

le coté « c » est le coté opp à l’angle a

le coté « a » est le coté opp. à l’angle b

le coté « c » est le coté adjacent à l’angle b

le coté « a » est le coté adjacent à l’angle a

« b » est l’hypoténuse.

L’angle b = l ’angle b’

a

b

b’

c

Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles exprimés en degré )

l ‘ angle « alpha » a pour symbole :

l ’ angle « bêta » a pour symbole : b

L’écriture « tan » ;lire « tangente de l’angle alpha »

L’écriture « tan » lire « tangente de l’angle bêta »

Par définition :

La tangente d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur du coté adjacent de l’angle considéré.

Traduction : tan =

La tangente est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Sa valeur est obtenue en faisant une division ; cette valeur obtenue par calcul et elle est convertie en degré d’angle à l’aide d ’une table dite « de trigo. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a en mémoire cette table

On fait donc des conversions de nombres en degrés ou de degrés en nombres

CONVERSION D ‘ UNE TANGENTE en valeur d’ANGLE ;et inversement :

Il existe deux possibilités pour avoir la valeur d’un angle à partir de son sinus et inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.

I) avec une table numérique appelée « table de trigonométrie »

II) avec la calculatrice

I) Pour les tables : lire la notice d’utilisation

II ) UTILISATION de la CALCULATRICE :

Mise en marche de la calculatrice AC

Mettre en MODE 4 (mode DEGré)

Passage de Degré en tangente :

Afficher le nombre de degrés : exemple 5 2

Taper sur la touche tan

Lire sur l ’écran : (valeur du sinus : 1 , 2799 ........... )

( table trigo : 1,280 )

Si l’on tape sur : INV tan alors s’affiche le N^bre degrés

Lire sur l’écran : 52

Passage de tangente en degrés

(toujours dans le même mode)

Afficher la valeur du tangente : exemple : 0,540

Taper INV tan

Lire à l’écran : 28°,3690.....

Interpréter : 28° ,37.... ( le « 37 » correspond à un de degré )

le résultat est exprimé en valeur décimale

Résultat par encadrement : tangente 28° < 0,540 < tangente 29°

Remarque :

Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une expression de la valeur d’un angle en valeur « décimale » en une expression de la valeur de l’angle en valeur « sexagésimale » .

Ce qui signifie que l’on peut « rentrer »

en système sexagésimal 20° 30’

ou système décimal : 20, 5

.avoir la conversion en système sexagésimal , c’est à dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),

Si cela est :

Taper : INV ° ‘ ‘’

Affichage à l’écran : degré ° minute ’ seconde ‘’

(les affichages sont différents suivant les calculatrices , les affichages sont « vrais » suivant les performances d’affichage de la calculatrice ).

Taper : sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale

Exercices :

Nous travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.

1 Cas : Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître sa tangente :

On connaît la valeur de l’angle ( en degré ) :la tangente est un nombre que l’on obtient en consultant la table numérique sur des tangentes des angles.

Exemple : la tangente de 53° se note tan 53° ; d’après la table numérique (ou avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 1,327

en résumé on écrira : tan 53° = 1,327

exemples : tan 54° = 1,376....

tan 35° 20’ = 0,7088....

tan 72° 13’ » 72° 10’ = 72,°17 = 3 ,109...

tan 89° = 75,290

tan 89°,9 = 572,957.......

tan 89°,99 = 5729,577....

Remarque : plus le nombre de degré s’approche de zéro ,plus la tangente est « grande »

2 Cas : Quand on connaît la tangente d’un angle ,on peut connaître l ’ angle concerné par cette valeur

On donne la tangente de l’angle alpha : 0,8 ;(traduction : tan a = 0,8 ) ; on demande de trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en consultant la table de « trigo » sur des tangentes ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).

Réponse : si tan a = 0,8 alors ;d’après la table numérique a = environ 39° ; ( entre 39° et 40° )

Autres exemples :

tan a = 0,869 ; a = 41°

tan x = 0,466 ; x = 25 °

tan a = 3,511 ; a =74°,10...

Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.

Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.

Soit un triangle rectangle :

a

b

Traduction mathématique :

tan a = tan b =

Attention : le coté adjacent et le coté opposé sont des grandeurs qui doivent avoir la même unité . (ce sont des longueurs exprimées soit en mm ;en cm , .....)

Si on applique cette égalité au triangle rectangle ,dessiné ci-dessus :

tan b = donne tan b = ( reste à connaître les valeurs de « a » et « b » pour effectuer le calcul de la tangente)

tan a = donc sin a =

Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du

coté opposé ; donc dans le rapport « coté opposé sur hypoténuse ».

La valeur de la tangente est comprise entre zéro et l’infini ( pour une valeur en degré très proche de 90°)

Traduction : 0< valeur de la tangente <

Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul du sinus d’un angle est une division :

exemple :

soit 3 = ; deux transformations de cette égalité sont possibles ;

on peut en déduire que

si 3 = alors 6 = 3 2 ou alors que 2 =

ainsi à partir de cet exemple (qui est vrai) on peut écrire que si :

tan a =

alors par transformation coté opposé = tan a coté adjacent

et que ,toujours ,par transformation :

coté adjacent =

Il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,on peut retrouver la valeur de la troisième par calcul .

APPLICATIONS :

Soit un triangle rectangle :

a

b

EXERCICE RESOLU N° 1

Calcul d’un coté dans un triangle rectangle :

On donne : le coté adjacent à a est égale à:..103.92 mm...... l’angle a = ...60°..........................

Calculer : la longueur de « b »

Correction :

1°) On sait que : tan a =

on sait que la valeur de tan 60° = 1,732 ; coté adjacent = 103,92mmm ;coté opp = b

2°) on remplace dans (1) 1,732 =

3°) Calcul :

1,762 =

on transforme :

On fait le produit en croix :

1,732 103,92 = b 1

179,989...... = b

Résultat : au mm prés b = 180 mm

(faire le dessin du triangle pour vérifier)

EXERCICE RESOLU N° 2

Calcul d’un coté dans un triangle rectangle : On donne : longueur du coté opposé à b = 100 mm ... ; l’angle b = ...35°

Calculer : la longueur du coté adjacent

Corrigé :

tan b = devient : 0,700 =

Calcul : =

0,700 x = 100 1

donc x = 100 : 0,700

x= 142,857.....

Résultat : le coté adjacent a pour longueur : 143 mm

EXERCICE RESOLU N° 3

Calcul d’un angle dans un triangle rectangle :

Soit un triangle rectangle :

On donne : le coté « a » est égale à :.54,83 mm........ ; le coté « b » = 42 mm

Calculer : l’angle : a

Corrigé : d’après la relation tan a =

donc on remplace les mots par leur valeur :

tana = ; tan a =

on fait la division :

tan a = 0,766 004012

On cherche la valeur de l’angle :

d’après la calculatrice a = 37°,4522....

Conclusion a =37°,5

Remarque :si dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième

( somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais aussi la longueur (ou mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus ; ou le cosinus trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.

Suite de l’exercice N ° 3 (certains diront que l’on peut appliquer « Pythagore », ce que nous ferons si nous avons traité ce thème)

L’angle a = 37°,5 ; j’en déduis que l’angle b = 90 -37°,5 = 52°,5

Je connais la valeur des deux cotés ; je dois rechercher la longueur de l’hypoténuse :

J ‘ai le choix d’appliquer la relation du sinus ou le cosinus.

Je choisi le sinus , plus précisément le sinus de l’angle a = 37°,5

d’après la table : sin 37°,5 = 0,609

ensuite j’applique la relation : sin a = ;

soit sin 37°,5 = ce qui donne après transformation : hypoténuse = 42 : 0,609

Donc hypoténuse = 68,9655...

Résultat : L’hypoténuse = 69 mm

Récapitulatif de l’exercice N°3 : Dans un triangle rectangle ; connaissant deux mesures (La longueur de l’hypoténuse et la longueur d’un coté du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du triangle :

Avec : (deux mesures) le coté « a » égale à :54,83 mm. ; le coté b = 42 mm

j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a =37°,5 ;

puis de l’angle b = 90 -37°,5 = 52°,5°

ce qui m’a permis de calculer la valeur de l’hypoténuse = 69 mm

Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

CONTROLE

TRAVAIL à faire :

tan

Compléter le tableau suivant :

Soit un triangle rectangle :

a

b

I ) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )

hypoténuse	12
a		33		0,866
b			1 ,25
tan

II ) Compléter le tableau suivant :

l’angle = 60°

hypoténuse	12 dm
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
tan

III) Compléter le tableau :

hypoténuse	12 dm			1 m
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
tan
tan b
b
	60°	30°	45°

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS.
et

DEVOIR

CONTROLE :

Traduire en langage littéral :

tan

Traduire en symbole mathématique :

« tangente de l’angle alpha »

« tangente de l’angle bêta »

Traduire en langage littéral :

tan =

Traduire en langage mathématique

« La tangente d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur de coté adjacent. »

Compléter la phrase :

Le tangente est un nombre qui n’a pas ................. ; précisez que peut être sa valeur............

Quand on connaît le tangente d’un angle ...........................................

Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

*Donnez la définition littérale de la « tangente »

(traduire ensuite en langage mathématique)

EVALUATION :

Compléter le tableau suivant :

Avec la table :

a	15° 30’	27°..	45° 30’	60°	77°
tan

Avec la calculatrice :

a	10,5	24,00	58,50	74°	82,5°
tan

Au choix (calculatrice ou table)

tan	0,122	0,3826	0,6427	3,9366	54,9945
a

Soit un triangle rectangle :

a

b

I ) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )

hypoténuse	12
a		33		0,866
b			1 ,25
tan
tan

II ) Compléter le tableau suivant :

l’angle a = 60°

hypoténuse	12 dm
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
tan
tan

III) Compléter le tableau :

hypoténuse	12 dm			1 m
a		33 cm		0,866 m
b			1 ,25 dm
tan
tan

=	60°	30°	45°

1°) Une route à un dénivelé de 8m sur 55 m quel est l’angle d’inclinaison de la pente ?.

Quelle est la valeur de la pente en pourcentage ?

2° ) Une route devient dangereuse à partir d’une pente de 8 % , quelle est la valeur de l’angle de cette pente.

3°) Une droite linéaire passe par le point O (0, 0 ) et le point A(+3 ; +2 )

calculer le coefficient directeur de la droite (pente )