CAP industriel.

 Géométrie :  DOSSIER : TRIGONOMETRIE   /  Objectif cours 29

Pré requis :

Liste des pré requis

Sinus d’un angle

Cosinus d’un  angle

Environnement du dossier :

Index        

Table de trigo :

Objectif précédent :

Coefficient directeur d’une droite

Objectif suivant

1°) la fonction linéaire

2°) La tangente   en 1 point d’une courbe…

tableau   

Présentation

DOSSIER : TRIGONOMETRIE  

TANGENTE d'un angle (pente)

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                

Calcul : fonction linéaire.

Calcul : fonction affine

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comme le dessin ci contre le montre :

 

La ligne passant par OP est appelée « horizontale »

La ligne MP  est appelée « élévation »

 

 

La pente est d’abord exprimée par un nombre décimal.

 

Ce nombre est obtenu en effectuant le calcul :

 

Ce nombre est ensuite exprimée pour une distance de l’horizontale de 100.

 

Ainsi sur les panneaux de signalisation on rencontre des valeurs de 8% ; 14 %  , 20 %

Signification de  14 % :  lorsque qu’un véhicule se déplace théoriquement sur une horizontale de 100 m , il monte une hauteur de 14 m  ( 14 m représente la hauteur d’un immeuble de 4 étages  environ.

Pour connaître la distance parcourue  ( dans la montée ) par un véhicule qui monte  une pente de 14 %    il faut calculer la longueur OM , avec « Pythagore » , on trouvera 100 , 86 m    

(  Soit   100²   = 10 000 ; 14 ² = 166 : on fait la racine carrée de  10 166    ce qui donne (avec une calculatrice)  = 100 , 86 )    

« Pente »  et « tangente » :

 

Dans un triangle rectangle OAA’  , on appelle « pente » la tangente de l’angle « O » .

 

 

La tangent de l’angle « 0 » est égal au rapport de la longueur du segment  AA’ sur la longueur du segment O A’.

 

Plus généralement :

Dans un triangle rectangle ,La tangente d’un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur  la longueur du côté adjacent à cet angle.

 

 

Tangent de l’angle O   = 

 

Tangente de l’angle A  =  

 

 

 

COURS

 

INFORMATIONS

Rechercher « la pente d’une descente ou d’une montée » ; le coefficient directeur d’une droite (voir « fonction linéaire » , et les autres fonctions ) ; cela revient à rechercher une valeur numérique obtenue en faisant le rapport de deux autres valeurs numériques , appelé « tangente ».

 

 

 

 

 
Relation trigonométrique dans le triangle rectangle :  La TANGENTE.

 

Le  tangente  d’un « angle » :

 

symbole « tangente »  est  « tan »

« a » ;  « b » ,  « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;

le coté « c » est  le coté opp à l’angle a

le coté  « a » est le coté opp.   à l’angle b

le coté « c » est le coté adjacent à  l’angle b

le coté « a » est le coté  adjacent à l’angle a

« b » est l’hypoténuse.

L’angle b = l ’angle b

 

a

 

b

 

b

 

 

c

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Rappel  sur les angles :  (nous travailler avec des angles exprimés en degré )

                      l ‘ angle «  alpha » a   pour symbole :  

                      l ’ angle  « bêta »   a  pour symbole :  b   

 

L’écriture   « tan » ;lire  « tangente  de l’angle alpha » 

L’écriture    « tan  »  lire   « tangente de l’angle bêta »

 


Par définition :

 

 

    La  tangente d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté opposé  sur la longueur du coté adjacent de l’angle considéré.

 

   Traduction :   tan =

 

 

                         La tangente est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Sa valeur est obtenue en faisant une division ; cette valeur obtenue par calcul et elle est convertie en degré d’angle à l’aide d ’une table dite « de trigo. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a en mémoire cette table

 

On fait donc des conversions  de nombres en degrés ou de degrés en nombres

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONVERSION   D ‘ UNE TANGENTE en valeur d’ANGLE ;et inversement :

 

Il existe deux possibilités pour avoir la valeur d’un angle à partir de son sinus et inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.

I)          avec une table numérique  appelée « table de trigonométrie »

II)        avec la calculatrice

 

I)  Pour les tables  : lire la notice d’utilisation

 

II )  UTILISATION de la CALCULATRICE :

 

Mise en marche de la calculatrice    AC

Mettre en        MODE    4    (mode  DEGré)

 

Passage  de Degré en tangente :

 

Afficher le  nombre de degrés :   exemple       5         2

Taper sur la touche         tan 

 

Lire sur l ’écran :            (valeur du sinus :    1 , 2799 ...........                   )     

(  table trigo : 1,280 )

 

Si l’on tape sur :    INV      tan     alors  s’affiche le Nbre degrés   

 

Lire sur l’écran :         52    

 

 

Passage de tangente en degrés

 

(toujours dans le même mode)

 

Afficher la valeur du tangente :    exemple :                 0,540

 

Taper   INV       tan      

 

Lire à l’écran :     28°,3690.....

Interpréter :   28° ,37....      ( le « 37 »   correspond à un   de degré )

     le résultat  est exprimé en valeur décimale

 

     Résultat  par encadrement :       tangente  28°  <   0,540  <  tangente 29°

 

 

Remarque :

Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une expression  de la valeur d’un angle en valeur  « décimale »  en une expression de la valeur de l’angle en valeur « sexagésimale » .

 

Ce qui signifie que l’on peut  « rentrer »

 

en système sexagésimal   20° 30’    

ou    système décimal   :       20, 5

.avoir la conversion en système  sexagésimal  , c’est à dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),

 

 

Si cela est :

 

Taper :   INV               °    ‘’              

 

 

 

Affichage à l’écran :              degré  °    minute     seconde ‘’

 

    (les affichages sont différents  suivant les calculatrices , les affichages sont  « vrais » suivant les performances d’affichage de la calculatrice ).

 

Taper :  sur la touche     °    ‘’           pour revenir à une expression  du degré en valeur décimale

 

 

 

Exercices :

 

Nous travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.

 

  1 Cas : Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître sa tangente :

 

On connaît   la valeur de l’angle  ( en  degré ) :la tangente  est un nombre que l’on obtient en consultant la table  numérique sur des tangentes des angles.

 

Exemple : la tangente de 53°   se note  tan 53° ; d’après la table numérique (ou avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 1,327 

 

en résumé on écrira : tan 53° = 1,327

exemples :  tan 54° =  1,376....

                    tan  35° 20’  =  0,7088....

 

                     tan 72° 13’ » 72° 10’ =  72,°17  =  3 ,109...

                     tan 89°  =  75,290

                     tan  89°,9 =  572,957.......

                     tan 89°,99 =  5729,577....

 

   Remarque : plus le nombre de degré s’approche de zéro ,plus la tangente est « grande »

 

 

 

 

 

2 Cas : Quand on connaît la tangente d’un angle ,on peut connaître  l ’ angle  concerné par cette valeur

 

On donne la tangente de l’angle  alpha : 0,8 ;(traduction : tan  a = 0,8  ) ;  on demande de   trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en  consultant la  table  de « trigo » sur des tangentes  ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).

 

Réponse :  si  tan  a = 0,8   alors ;d’après la table numérique   a  = environ 39°   ;         ( entre   39° et 40° )  

 

Autres exemples :

 

tan a  =  0,869   ;    a = 41°

 

tan   x    =  0,466   ;  x  = 25 °

 

tan a    =  3,511     ;  a =74°,10...

 

Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.

Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.

 

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Traduction mathématique :

 

tan  a =               tan b  =

 

 

Attention :   le coté adjacent  et le coté opposé sont des grandeurs  qui doivent avoir la même unité  .   (ce sont des longueurs  exprimées soit en mm ;en cm  , .....)

 

 

Si on applique cette égalité au triangle rectangle  ,dessiné ci-dessus :

 

  tan b =   donne    tan b =   ( reste à connaître les valeurs de « a » et « b » pour effectuer le calcul de la tangente)

 

 

tan  a =       donc   sin  a =

 

 

Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du

coté opposé ; donc dans le rapport « coté opposé sur hypoténuse ».

        

La valeur de la tangente est comprise entre  zéro et  l’infini ( pour une valeur en degré  très proche de 90°)

 

 Traduction : 0< valeur de la tangente <

 

Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul du sinus d’un angle est une division :

exemple :

soit  3  =       ; deux  transformations de cette égalité sont possibles ;

on peut en déduire que

 

 

si    3  =        alors  6 = 3   2       ou   alors     que   2  = 

 

 

 

ainsi  à partir de cet exemple  (qui est vrai) on peut écrire que si :

 

tan  a =

alors  par transformation        coté opposé     =     tan  a   coté adjacent

 

et que ,toujours ,par transformation :

                                       coté adjacent    =    

 

Il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,on peut retrouver la valeur de la troisième par calcul .

 

 


APPLICATIONS :

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


EXERCICE  RESOLU  N° 1

 

Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle :

                     

On donne : le coté adjacent   à a  est  égale à:..103.92 mm......    l’angle  a = ...60°..........................

 

Calculer : la longueur de   « b »  

 

Correction :

 

 

1°)  On sait que   : tan  a       =      

 

on sait que la valeur de tan 60°   =  1,732   ; coté adjacent  = 103,92mmm ;coté opp  = b

 

 

 

2°) on remplace dans  (1) 1,732   =      

 

 

3°) Calcul :

1,762  =      

 

on transforme :

                      

 

On fait le produit en croix :

         1,732  103,92  =  b  1

         179,989......          = b

 

    Résultat : au mm prés    b =  180 mm

 

(faire le dessin du triangle pour vérifier)

 

EXERCICE   RESOLU N° 2

 

   Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle : On donne : longueur du coté opposé à  b  = 100 mm ... ;  l’angle  b  = ...35°

 

Calculer : la longueur du coté adjacent  

 

Corrigé :

 

 tan  b =   devient :     0,700  = 

 

 

Calcul :   =

 

  0,700 x  = 100   1

 

       donc  x  =  100 : 0,700

                 x= 142,857.....

 

   Résultat :  le coté adjacent a  pour longueur : 143 mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE  RESOLU N° 3

 

   Calcul d’un angle  dans un triangle rectangle :

Soit un triangle rectangle :

a

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


On donne : le coté  « a » est  égale à :.54,83 mm........ ;      le coté  « b »  = 42 mm

 

Calculer : l’angle : a

 

 

 

Corrigé : d’après la relation        tan  a     =      

 

 donc on remplace les mots par leur valeur :

 

tana       =           ;       tan  a     =  

 

 

on fait la division :

 

tan  a       = 0,766 004012

 

On cherche la valeur de l’angle :

 


  d’après la calculatrice       a       = 37°,4522....

 


Conclusion      a   =37°,5

 

Remarque :si dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième 

( somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais aussi la longueur (ou  mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus ; ou le cosinus  trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.

 

Suite de l’exercice N ° 3  (certains diront que l’on peut  appliquer « Pythagore », ce que nous ferons si nous avons traité ce thème)

L’angle  a   = 37°,5     ; j’en déduis  que l’angle  b  = 90 -37°,5  =  52°,5

Je connais la valeur des deux cotés ; je dois rechercher la longueur de l’hypoténuse :

  J ‘ai le choix d’appliquer la relation du sinus ou le cosinus.

 

Je choisi le  sinus  , plus précisément  le sinus de l’angle  a   = 37°,5    

  d’après la table : sin  37°,5    = 0,609

 

ensuite j’applique la relation : sin  a   = ;  

soit  sin  37°,5    =  ce qui donne   après transformation :        hypoténuse =  42 : 0,609 

 

Donc hypoténuse  = 68,9655...

 

Résultat :   L’hypoténuse  = 69 mm

 

Récapitulatif de l’exercice N°3 :  Dans un triangle rectangle ; connaissant deux mesures  (La longueur de l’hypoténuse et la longueur  d’un coté du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires   ainsi que la longueur du troisième coté du triangle :

 

Avec : (deux mesures)  le coté « a »  égale à :54,83 mm. ; le coté  b = 42 mm

j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a   =37°,5   ;

                                      puis de l’angle b  = 90 -37°,5  = 52°,5°

         ce qui m’a permis de calculer la valeur de   l’hypoténuse =  69 mm

 

Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

CONTROLE

TRAVAIL   à faire :

tan  

tan 

 

Compléter le tableau suivant : 

 

 

Soit un triangle rectangle :

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

tan  

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle   = 60°

 

 

hypoténuse

12 dm

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

tan  

 

 

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

tan  

 

 

 

 

tan b

 

 

 

 

b

 

 

 

 

60°

30°

45°

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS.
et

DEVOIR

CONTROLE :

 

 

Traduire en langage littéral :

 tan  

tan 

Traduire en symbole mathématique :

« tangente de l’angle alpha » 

 

 « tangente de l’angle bêta »

 

 Traduire en langage littéral :

 

tan   =

 

Traduire en langage mathématique

 

« La tangente d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur de coté adjacent. »

 

Compléter la phrase : 

 

Le tangente est un nombre qui n’a pas ................. ; précisez que peut être sa valeur............

 

Quand on connaît le tangente d’un angle ...........................................

Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

 

 

 

 

*Donnez la définition littérale de la  « tangente »

 

(traduire ensuite en  langage mathématique)

EVALUATION :

 

Compléter  le tableau suivant :

Avec la table :

 

a

15° 30’

27°..

45° 30’

60°

77°

tan  

 

 

 

 

 

 

Avec la calculatrice :

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

tan  

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table)

 

tan  

0,122

0,3826

0,6427

3,9366

54,9945

a

 

 

 

 

 

 

Soit un triangle rectangle :

 

a

 

b

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

tan 

 

 

 

 

tan  

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

hypoténuse

12 dm

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

tan 

 

 

 

 

tan  

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

tan  

 

 

 

 

tan 

 

 

 

 

 

 

 

 

  =

60°

30°

45°

 

 

 

 

1°) Une route à un dénivelé  de  8m sur 55 m quel est l’angle d’inclinaison de la pente ?.

Quelle est la valeur de la pente en pourcentage ?

 

2° ) Une route devient dangereuse à partir d’une pente de  8 % , quelle est la valeur de l’angle de cette pente.

3°) Une droite linéaire passe par le point O (0, 0 )  et le point A(+3 ; +2 )

 

calculer le coefficient directeur de la droite (pente )

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