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Pré requis :
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Le système sexagésimal |
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Le triangle rectangle |
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Le produit en croix |
Environnement du dossier :
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
DOSSIER « la trigonométrie » : COSINUS d’un angle
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COURS |
Interdisciplinarité |
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Corrigé évaluation |
Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle que nous étudierons sont au nombre de quatre. : le sinus ;
le cosinus ; la tangente et la cotangente.
le
cosinus
I ) Construction et mesure d’un
angle :
|
On recherche le cosinus
de 35,5° : » 0,81 soit =
procédure de tracé : -tracer un arc de rayon 10 cm ; -
sur [ 0x)
placer le point « A » tel que OA = 8,1 cm -
tracer une
perpendiculaire à [ 0x) passant par « A » et coupant l’arc de
cercle en « B » -
l’angle AOB
vaut 35,5° (à vérifier avec un rapporteur) |
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Conclusion :pour construire un
angle on peut utiliser un rapport
trigonométrique. |
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II I ) MESURE d’ un ANGLE :
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Mesure d’un angle « xOy » donné sans le
rapporteur . |
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Procédure : -placer un point « A » sur [Oy) tel que
OA = 10 cm ; -
tracer la projection
orthogonale de « A » sur
[Ox) (image de « A »
est « H ») -
mesurer la longueur
« OH » ( = 8,7 cm) -
on en déduit le cosinus
de l’angle « xOy » = -
-
A l’aide de la
calculatrice ou de la table : on obtient la
valeur de l’angle = 29,5° |
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L’angle b = l ’angle b’
III ) Relation
trigonométrique dans le triangle rectangle : Le COSINUS.
Le cosinus
d’un angle :
symbole « cosinus » est
« cos » :
« a » ;
« b » , « c » sont
les longueurs des cotés du triangle rectangle ;
b a
le coté « c » est le coté opp à l’angle a
le coté
« a » est le coté opp.
à l’angle b
a
« b »
est l’hypoténuse.
b’ b c
Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles exprimés en
degré )
l ‘ angle «
alpha » a pour
symbole : a
l ’ angle « bêta » a
pour symbole : b
L’écriture
« cos a » ;lire «cosinus de l’angle alpha »
L’écriture
« cos b » lire
« cosinus de l’angle bêta »
Par définition :
Le cosinus d’un angle ; dans un
triangle rectangle ; est égal au
rapport de la longueur du coté adjacent à l’angle sur la longueur de
l’hypoténuse.
Traduction : cos =
Le cosinus est un
nombre décimal qui n’a pas d’unité. Sa valeur est obtenue en faisant une
division ; cette valeur obtenue par calcul et elle est convertie en degré
d’angle à l’aide d ’une table dite « de trigo. », ou à l’aide d’une
calculatrice qui a en mémoire cette table
On fait donc des conversions de nombres en degrés ou de degrés en
nombres
IV ) CONVERSION D ‘ UN COSINUS en valeur d’ANGLE ; et
inversement :
Il
existe deux possibilités pour avoir la valeur d’un angle à partir de son
cosinus et inversement avoir la valeur d’un cosinus à partir de la valeur d’un
angle.
I) avec
une table numérique appelée « table
de trigonométrie »
II) avec la calculatrice
II
) UTILISATION de la CALCULATRICE :
Mise en marche de la calculatrice AC
Mettre en
MODE 4
(mode DEGré)
Passage de la valeur de l’angle exprimée en
« degré » en une valeur
décimale appelée « sinus » :
Afficher le
nombre de degrés :
exemple 5 2
Taper sur la touche cos
Lire sur l ’écran : valeur du cosinus : 0 , 6 156 614 75
Si l’on tape sur : INV cos alors
s’affiche le Nbre degrés
Lire sur l’écran : 52
Convertir la valeur du
cosinus en degrés
(toujours
dans le même mode)
Afficher la valeur du cosinus : exemple : 0,540
Taper
successivement sur les
touches : INV cos
Lire à l’écran : 57,31636115
Interpréter : 57° ,31.... ( le « 31 » correspond a un 
de degré )
le résultat
est exprimé en valeur décimale
Résultat par encadrement : cosinus
57° < 0,540
< cosinus 58°
Remarque :
Suivant les types de calculatrice vous pouvez
passer d’une expression de la valeur
d’un angle en écriture
« décimale » en une
expression de la valeur de l’angle en écriture « sexagésimale » .
Ce qui signifie que l’on peut « rentrer » la valeur de l’angle en l’exprimant dans le système sexagésimal 20° 30’
; ou en utilisant le système décimal :
20, 5
Lorsque l’on
annonce que l’on veut avoir la
conversion en système sexagésimal , on veut
exprimer la valeur de
l’angle en (Degré ,minute , seconde),
Si cela est :
Taper les
touches : INV ° ‘ ‘’
Affichage à l’écran : degré ° minute’ seconde ‘’ exemple : 32 °
25 ‘ 34’’ ( lire : trente deux degré , vingt cinq
minutes et trente deux secondes )
(les
affichages sont différents suivant les
calculatrices , les affichages sont
« vrais » suivant les performances d’affichage de la
calculatrice ).
Taper :
sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale
Exercices :
Nous
travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.
1
Cas : Quand on connaît la valeur
d’un angle ; je peux connaître son cosinus :
on
connaît la valeur de l’angle ( en
degré ) :
le cosinus est un nombre
que l’on obtient en consultant la table
numérique sur les cosinus des angles.
Exemple :
le cosinus de 53° se note cos 53° ; d’après la table numérique (ou
avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 0,602 (valeur arrondie)
en résumé on écrira : cos 53° = 0,602
exemples :
cos 54° = 0,588
cos 35° 20’ = cos 35°,33 = 0.816
cos 72° 13’ »
72° 10’ = 72°,17 = 0,306
2 Cas : Quand
on connaît le cosinus d’un angle ,on
peut connaître l ’ angle concerné par cette valeur on donne
le cosinus de l’angle ; alpha vaut 0,8 ;(
ce qui se traduit
par l’écriture : cos a =
0,8 )
trouver la
valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en consultant la table de « trigo » sur les cosinus ;(ou
alors j’utiliserai la calculatrice).
Réponse :
si cos a = 0,8 alors ;d’après la table numérique a = 36,87°
Autres exemples :
cos a =
0,857 ; a =
31°
cos x =
0,433 ; x =
64,°34
cos a
= 0,511 ; a
=59°,27
Que ce soit avec la table numérique ou la
calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.
Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a pas
de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.
Soit un triangle rectangle :
a b
Traduction
mathématique :
cos a =
Attention : le coté opposé et l’hypoténuse sont des
grandeurs qui doivent avoir la même
unité .
(ce sont des longueurs exprimées soit
en mm ;en cm , .....)
Si on applique cette
égalité au triangle rectangle ,dessiné
ci-dessus :
cos b = donne cos b =
( reste à
connaître les valeurs de « hyp. » et « b » pour effectuer le
calcul du cosinus)
cos a = donc cos a =
Dans le triangle
rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la
longueur du
coté adjacent ; donc
dans le rapport « coté adjacent sur hypoténuse » ,le nombre
est toujours supérieur à 0
et inférieur à 1.
Traduction : 0
cos. 1 ;
cosinus 0° = 1 ; cosinus
90° =
0
Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul
du cosinus d’un angle est une division (voir la même chose pour le sinus
) :
exemple :
soit 3
= 
; deux transformations de cette égalité sont
possibles ; on peut en déduire que
:
si 3 =
-
donc on peut en déduire que 6
= 3 
2
-
ou on peut aussi en déduire que 2
= 
ainsi à
partir de cet exemple (qui est vrai) on
peut écrire que si :
cos
a =
alors par
transformation coté adjacent =
cos a
hypoténuse
et que ,toujours ,par transformation :
hypoténuse =
Il
est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,on peut
retrouver la valeur de la troisième par calcul .
APPLICATIONS :
Soit un triangle rectangle :
a
EXERCICE RESOLU
N° 1
Calcul
d’un coté dans un triangle
rectangle :
On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92
mm........
l’angle a =
...60°..........................
Calculer : la longueur de « a »
Correction :
1°)
On sait que : cos a =
on sait que la valeur decos 60° =
0.5 ;Hypoténuse =
103,92mmm ;coté adj = a
2°) on remplace dans (1) 0 ,500
= 
3°) Calcul :
0 ,500 =
transforme :
On fait le produit en croix :
0,500 103,92 = a 1
51,96 = a
Résultat : au mm prés a
= 52 mm
EXERCICE RESOLU N° 2
Calcul d’un coté dans un
triangle rectangle :
On donne : longueur du coté adjacent à b
= 100 mm ........
l’angle b = ...35°
Calculer : la longueur de L’hypoténuse
Corrigé :
cos b =
devient : 0,819 = 
Calcul : 
=
0,819 x = 100 1
donc x =
100 : 0,819
x= 122,1
Résultat : l’hypoténuse à
pour longueur : 122 mm
EXERCICE RESOLU N° 3
Calcul
d’un angle dans un triangle rectangle :
Soit un triangle rectangle :
a
On donne : l’hypoténuse égale à :.54,83
mm........
le coté a = 42 mm
Calculer : l’angle : a
Corrigé : d’après la relation cos a
=
donc on remplace les mots par leur
valeur :
cos a
= 
on fait la division :
cos a
= 0,766 004012
On cherche la valeur de l’angle :
d’après la calculatrice a = 40°
Conclusion a
= 40°
Remarque :si
dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le
troisième
(
somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais
aussi la longueur (ou mesure) d’un coté ,
je peux ,en utilisant la relation sur le sinus
trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.
Suite de l’exercice N ° 3
L’angle a = 40°
; j’en déduis que
l’angle b = 90 -40
= 50°
ensuite j’applique la relation : cos b = ;
soit cos50°
=
ce qui
donne après transformation : b =
0,643 54,83 = 35,25569
Donc « b» = 35,26 mm
(refaire la figure à l’échelle 1 et vérifié)
Récapitulatif
de l’exercice N°3 : Dans un
triangle rectangle ; connaissant deux mesures (La longueur de l’hypoténuse et la
longueur d’un coté du triangle),j’ai pu
retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du
triangle :
Avec : (deux mesures) l’hypoténuse égale à :.54,83 mm. ;
le coté a = 42 mm
j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir
l’angle a = 40°
;
puis de
l’angle b = 90 -40
= 5°
ce
qui m’a permis de calculer la valeur de « b » = 35,26 mm
TRAVAIL à
faire :
Soit un triangle rectangle :
a
I )
Compléter le tableau : (
prendre a = 60° )
|
hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
|
b |
|
|
1
,25 |
|
|
cos 60° |
|
|
|
|
II )
Compléter le tableau suivant :
l’angle
a = 60°
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
Cos
60° |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau :
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1
m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
cos
b |
|
|
|
|
|
cos
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|
1°) Traduire en langage littéral :
« cos a » lire :
« cos b » lire :
2°) Traduire en symbole mathématique :
« cosinus de l’angle
alpha » : …………………………………..
« cosinus de l’angle bêta » :
……………………………
3°) Traduire en langage
littéral :
cos a =
4°) Traduire en langage mathématique
« Le cosinus d’un
angle ; dans un triangle rectangle ;
est égal au rapport de la longueur du coté adjacent
sur la longueur de l’hypoténuse. »
5°) Compléter les phrases suivantes :
Le cosinus est un nombre
qui n’a pas ................. ;Précisez ses limites numériques en fonction des angles .........
Quand on connaît le cosinus
d’un angle ...........................................
Quand on connaît la valeur
d’un angle .........................................
6°) *Donnez la définition
littérale d’un « cosinus ».
7°) Donnez son modèle mathématique.
Compléter
les tableaux suivants :
Avec la table :
|
Si
l’angle a = |
15°
30’ |
27°.. |
45°
30’ |
60° |
77° |
|
cos a = |
|
|
|
|
|
Avec la calculatrice :
|
a |
10,5 |
24,00 |
58,50 |
74° |
82,5° |
|
cos
a |
|
|
|
|
|
Au choix
(calculatrice ou table)
|
cos
a |
0,122 |
0,3826 |
0,6427 |
0,9366 |
0,9945 |
|
a |
|
|
|
|
|
Soit un triangle
rectangle :
a b
I ) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12 |
|
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
|
b |
|
|
1
,25 |
|
|
cos
a |
|
|
|
|
II )
Compléter le tableau suivant :
l’angle
a = 60°
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12 dm |
|
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
cos
a |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau :
|
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
|
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1
m |
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
|
b |
|
|
1
,25 dm |
|
|
cos
a |
|
|
|
|
|
cosb |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|