Dans le système sexagésimal : Il y a 60 minutes dans une heure ( 1 h = 60 min) et dans une minute il y a 60 secondes ( 1 min = 60 s ) .Le système de mesure utilisé est dans ce cas le système sexagésimal.

On sait que un quart d’heure représente 15 minutes d’heure .

Quelle fraction d’heure représente : 30 min ; 45 min . ?

On sait déjà que : 15 min = h ( lire : quinze minutes représentent les quinze soixantièmes d’une heure)

Alors 30 min représentent les d’heure , et que 45 min représentent les d’heure , comme 36 minutes représentent les d’heure.

Ces fractions ; ; ; peuvent s’exprimer sous forme décimale.

Ainsi :

= 0,25

= 0,75

= 0,5

= 0,6

Conclusion : la durée peut – être exprimée en valeur décimale .

Pour exprimer une durée ( ou un angle) dans le système décimal , en prenant l’heure ( ou le degré ) pour unité , on divise le nombre de minutes par 60.

Inversement , pour passer du système décimal ( l’heure , ou le degré pour unité ) au système sexagésimal , il suffit de multiplier la partie décimale par 60 pour obtenir le nombre de minutes .

Exemple : Exprimer 3,20 h dans le système sexagésimal

On a 3, 20 h = 3 h + 0,20 h

0,20 60 = 12 donc 0,20 h = 12 min.

Finalement : 3,20 h = 3 h 12 min

Remarque : on peut mesurer les angles en utilisant également un système sexagésimal : dans un degré il y a 60 minutes ( 1° = 60’) et dans une minute il y a 60 secondes ( 1’ = 60 ‘’) .

De la même manière que précédemment , on peut utiliser des degrés décimaux .

INFORMATIONS

1 ) Le système décimal classe et range tous les éléments (unités) en paquet de dix ( pour obtenir des multiples d’unité ou élément ). Il ( 1 élément)dit aussi unité en part de 10 ( pour obtenir des sous multiples) ; on dit que l’on compte en base 10 .

2 ) le système sexagésimal classe ou range tous les sous multiples d’unités ( minute et seconde d’angles , ou d’heures ) en « paquet » de 60.(on dit que l’on compte en base 60)

3 ) Dans la vie courante ( quotidienne) le système sexagésimal est utilisé pour donner « la durée entre deux événement » ; c’est le temps écoulé ( l’heure est découpée en minutes ( une heure = 60 minutes ) , et la minute qui est découpée en secondes ( une minute = 60 secondes ).

Cas particulier : la seconde est découpée dans le système décimal ,( à savoir : on utilise couramment en sport le dixième de seconde et le centième de seconde , voir le millième de seconde en sport automobile F1 ou en natation).

II ) LES MESURES D ’ANGLES :

Rappel : Le cercle est la figure décrite par un point A d’une droite tournant autour d’un des ses points « O » appelé « centre.

Le segment circulaire A A ₁ est un ARC , les deux droites OA et OA ₁ qui sont concourantes en un point « O » déterminent un angle « O » noté : ou encore

Le cercle de divise en 360 degrés, le quart du cercle ou quadrant vaut donc 90° et le demi cercle 180°.

Le degré se partage en 6O minutes et la minute en 60 secondes.

Les angles s’évaluent aussi en degrés, minutes et secondes, car la géométrie apprend que l’angle de « 1° » est celui qui intercepte sur un cercle quelconque décrit de son sommet pour centre un arc de « 1° ».

L’angle droit correspond au quadrant et vaut « 90° » .

Si un angle par exemple vaut :

119° + 18 minutes + 35 secondes , on écrit :

= 119° 18’ 35’’

La division précédente du cercle est dite « sexagésimale ».

On doit parfois écrire la mesure du temps , d’un arc et par suite d’un angle avec un nombre décimal . On utilise alors la division centésimale de l’heure ou du cercle .

Dans cette division le quadrant et par suite l’angle droit vaut 100 parties appelées « grades » ; le grade vaut dix décigrades et le décigrade vaut dit centigrades. Un angle de 60° devient avec la division centésimales : 66,666…gr.

On retiendra : Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base "60"

Ce système est utilisé dans la mesure du temps il permet de compter les heures en minutes, les minutes en secondes.

Ce système est aussi utilisé dans la mesure des angles exprimés en degrés .

UTILISATION de la CALCULATRICE .

PASSAGE d'un SYSTEME SEXAGESIMAL en SYSTEME DECIMAL :

Procédure permettant de rentrer un angle exprimé en sexagésimal dans une calculatrice :

1 ) Condition : il faut que la calculatrice soit dotée de la touche

° ‘ ‘’

ensuite : « rentrer »la valeur de l’angle

l’angle s ’ écrit sous la forme :

x ° y’ z’’

C ‘ est à dire :

« x »

représente la valeur en degrés

« y »

représente la valeur en minutes

« z »

représente la valeur en secondes

Application : soit l'exemple : 14° 26’ 37’’

2 ) Mettre la calculatrice en mode « degré »

3 ) Rentrer les valeurs numériques

a) la première valeur à rentrer est le nombre de degrés

Pour x° Taper « 1 » et « 4 » puis sur la touche ° ‘ ‘’

b )la deuxième valeur à rentrer est le nombre de minutes

Pour y ‘ Taper « 2 » et « 6 » puis sur la touche ° ‘ ‘’

c ) la troisième valeur à rentrer est le nombre de secondes

Pour z ‘’ Taper 3 7 puis sur la touche ° ‘ ‘’

L’opération est terminée :vous avez introduit dans la calculatrice la valeur de l’angle en valeur sexagésimale .

Lecture sur l’écran

4 ° ) Vous pouvez avoir la valeur décimale de l ’angle en utilisant la touche INV

1°

un demi degré

un dixième de degré

un tiers de degré

un quart de degré

0°,cinquante cinq

Sexagésimal

60’

60 : 2 =30’

60 :10 =6’

60 :3 =20’

60 :4 = 15’

0°30’30’’

Décimal

1 :2 =0,5

1 : 10 =0,1

0,333333

1 : 4 = 0,25

0°,55

Méthode de calcul de conversion d’ une valeur exprimée dans le système sexagésimale en valeur décimale et vis versa :

Remarque : les valeurs entières des degrés ne changent pas

Valeur sexagésimale

Valeur décimale

11°

11° 0’

11,0°

11h

11h 0 min ou 11h 0’

11,0 h

On dit qu’il faut décimaliser les 60’ d’un degré ou les ou 60’’ d’une heure .

Il faut savoir : que cent centièmes ( 100/100) de 1 degré dans le système décimale correspond à soixante soixantièmes ( 60/60 )de 1degré dans le système sexagésimale .

Donc : Dans le système décimale le degré est divisé en 100 parties égales ; dans le système sexagésimale le degré est divisé en 60 parties égales .

Transformer des minutes en degré ; (ou des minutes en heure) :

60 minutes

Equivaut à

1 degré

Une minute

Equivaut à

= 0,017 degré à 1/1000 près

30 minutes

Equivaut à

30 = = 0,5 degré

45 minutes

Equivaut à

45 = = 0,75 degré

53 minutes

Equivaut à

53 = = 0,883 degré au 1/1000 près

113 '

Equivaut à

113 = 1,833 °

Conclusion :

Pour transformer des minutes en degré il suffit de diviser ces minutes par « 60 »

Pour transformer des secondes en minutes il suffit de diviser ces secondes par « 60 »

Inversement :

B ) Degré :transformer une valeur décimale en minutes : (Ou des heures et en minutes)

1 degré

Equivaut à

60 minutes

0,017 degré

Equivaut à

0,017 fois 60 = 1 minute

0,5 degré

Equivaut à

0,5 60 = 30 minutes

0,75 degré

Equivaut à

0,75 60 = 45 minutes

0,883 degré

Equivaut à

0,883 60 = 53 minutes

2,5 degrés

Equivaut à

2,560 = 150 '

Conclusion :

Pour transformer des degré en minutes il suffit de multiplier ces degrés par « 60 »

Et Pour transformer des minutes en secondes il suffit de multiplier ces minutes par « 60 »

Applications :

Convertir

25,30° = 25°+ 0,3 x 60’ = 25°18’

25°,50 = 25° + 0,5 x 60’ = 25°30’

12,5 minutes = 12 minute et 30 secondes

Exemples :

Mettre sous forme décimale :

Recherchez l’opération :

5h 38 min 42sec

5,645 h

15°22’

» 15,37°

37 min 14 sec

» 0,6206 h

15680 sec

» 4,3556 h

51° 50’’

» 51,0139 °

Transformer en heures , minutes et secondes

Recherchez l’opération :

4,7855 h

» 4 h 47 min 8 sec

8 , 8h

= 8h 48 min

895 min

= 14 h 55 min

27 650 sec

=7 h 40 min 50 sec

INTERDISCIPLINARITE:

Le temps (heure, ; minutes ; secondes )

Les angles (Degrés ; minutes ; secondes )

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS : de préparation du devoir :

CONTROLE :

1. recherche dans le dictionnaire : définition de système décimal ?

2. recherche dans le dictionnaire : définition de système sexagésimal ?

3. Donner un exemple de la vie courante utilisant le système sexagésimal. Préciser.

EVALUATION:

Exercices :

Mettre sous forme décimale :

5h 38 min 42sec

15°22’

37 min 14 sec

15680 sec

51° 50’’

Transformer en heures , minutes et secondes

4,7855 h

8 , 8h

895 min

27 650 sec

Calculer et mettre le résultat sous forme sexagésimale :

Série 1

Réponse

42° 13’ 20’’ - 27° 12’’ =

42° 13’ 10’’ - 25° 57’ 27 ‘’ =

( 33° 21’ 27’’ ) : 3=

42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27=

3 ( 32° 17’ 27’’ ) =

Calculer et mettre le résultat sous forme sexagésimale.

Série 2

Réponses

35°11’29’’+17°50’38’’=

17,35h – 5h 43min 17 sec =

11h 5min 22 sec – 3 h 38 min =

3,475h 2,8 =

17° 37’ 45’’ 5,3 =

12h44min : 8 =

36°19’56’’0,75 – 25,475° =