Classe de troisième de collège..

 

Programme de 3ème

 

 

 

 

 

Fiche pédagogique à travailler….

 

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Pré requis:

Projection orthogonale d’un segment  (détermination des composantes)

Boule verte

Mesure algébrique d’un bipoint .

Boule verte

DISTANCE entre deux points .

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

)Composantes d’un segment Sphère metallique

2°) Coordonnées d’un vecteur dans un repère

Objectif suivant :

Calcul de la longueur d’un segment dans un plan Sphère metallique

Liste des cours sur la géométrie.

 

 

Fiche : Distance de deux points dans un repère orthonormal.

 

 

 

 

 

Rappel : repère orthonormal et repère orthogonal.

 

 

I ) Distance d’un point à l’origine ( repère orthonormal)

 

 

II ) Distance de deux points quelconques du plan .( dans un repère orthonormal)

 

 

III )   Exercices types.

 

 

TEST

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COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 


 

 

 

Vocabulaire :

Un repère est constitué  par 2 axes de coordonnées de même origine.

Un repère orthogonal :   un repère orthogonal à ses deux axes perpendiculaires . ( on ne parle pas de ses unités )

Un repère orthonormal : un repère est orthonormal di les deux axes sont perpendiculaires et ont même unités de longueur sur les axes.

 

 

 

 

 

I ) Distance d’un point à l’origine ( repère orthonormal)

 

 

Dans les 4 cas ci-dessous , vous allez calculer la distance d’un point à l’origine « O ».

Pour cela , vous faites apparaitre un triangle rectangle ( coloriez –le) et vous appliquez le théorème de Pythagore.

 

 

 

Cas 1

 

 

 

OA² = OA’ ² + A’ A ²

 

OA² = 5² +  3 ²

 

OA² = 25 + 9

OA² = 34

 

OA =        qui s’écrit aussi : OA =  

 

vect027

 

 

Cas 2 :

 

 

OB² = OB’ ² + B’B²

 

OB²  = 3²    +  

 

OB² = 9 + 4   = 13

 

OB =         soit :

vect028

Cas 3 :

 

 

OC²  = ……OC’²……..+ ……C’C²…..

 

OC² = ……1²……. + ……4²……

 

OC²   = ……17………..

 

OC = ……………

vect030

 

Cas 4 :

 

 

 

 

OD²  = ……OD ‘²……..+ ……D’D²…..

 

OD² = ……4²……. + ……2²……

 

OD²   = ……20………..

 

OD = ……………

vect031

 

 

 

 

 

 

Or vous savez que : « Deux nombres opposés ont le même carré ».  Exemple ( - 4 ) ²  =    (info +++@)

 

 

 

Vous pouvez donc , dans vos calculs , faire apparaitre les coordonnées des points « A ; B ; C ; D ».

Ainsi si nous reprenons les 4 cas précédents.

 

 

 

 

 

Cas 1 :

Cas 2 :

Cas 3 :

Cas 4 :

 

A ( 5 ; 3 )

 

OA² =  5 ² + 3 ²

 

 

B ( 3 ; -2 )

 

OB²  = 3²  + ( -2 )²

 C  ( -; -1 )

 

OB² =  ( - 4 ) ² + ( -1

D ( -; 4 )

 

OD² = OD’² + D’D ²

OD² = 4 ²  + ( -2 )²

 

 

 

 

Dans tous les cas , vous constatez que le carré de la distance d’un point à l’origine est égal à la somme des carrés des coordonnées du point.

 On énoncera   alors :

 

 

 

Le théorème :

Le plan étant muni d’un repère orthonormal d’origine « O ».

Si  « M ( m ; m’) »  alors   OM² = m² m’²   ou encore   « OM =  » ;  qui peut s’écrire aussi :  

 

 

 

 

 

Activité 1 :

Le plan est muni d’un repère orthonormal d’origine « O »  ,  «  P ( )  ».

On vous demande de calculer : OP . ( la distance de O à P)

 

 

 

 

 

II ) Distance de deux points quelconques du plan .( dans un repère orthonormal)

 

 

 

 

 

Soit la figure ci-contre :

Sur cette figure on a placé les points  A ( -2 ; 1 ) et B ( 4 ; 3 ).

 

Nous allons choisir de calculer la longueur « AB »

 

 

« M » est l’image de « O »  dans la translation de vecteur    .

 

On a alors     et par conséquent  «  OM = AB »

 

Les coordonnées de  

   sont égales aux coordonnées de « M ».

 

 ;    soit 6 ; 2 )

 

D’après ce qui précède ,  OM² = 6²  + .. .. =  40  donc   AB =   .

 

 

 

 

Cas général : Dans le plan muni d’un repère orthonormal, considérons les points  A ( x , y )    ;  B ( x’ ; y’ ).

En raisonnant comme précédemment on a   y’ – y

 

 

 

 

 

Théorème :

Le plan étant muni d’un repère orthonormal ,

Si  A ( x , y )    et   B ( x’ ; y’ )  alors AB² =  ( x’ – x )²  + ( y’ – y )²   ou  

 

 

 

 

 

 

III )  Exercices types.

 

 

Avertissement : Dans toutes les activités proposées , le repère  est orthonormal .

 

 

 

 

 

Activité 1 : soit  M ( - 8 ; 3 )   et  N ( 4 ; -2 ) . Calculez  « MN » .   ( utilisez le théorème vu précédemment )

 

 

 

 

 

Activité 2 : 

 

 

 

 

Sur la figure ci-contre :

 

Placez les points H( 1 ; 4 ) ; K ( 7 ; - 2  ) ; L ( -3 ; - 6 ).

 

Démontrez que « HKL » est un triangle isocèle.

 

 

Activité 3 : 

 

 

Sur la figure ci-contre :

 

Placez les points E ( 4 ; -2 ) ; D ( 0 ; 6 ) ; F ( 0 ; - 4 ) ;

 

Démontrez que « EDF » est un triangle rectangle.

 

 

Activité 4 : 

 

 

Sur la figure ci-contre :

 

Placez les points :

 

 A ( 3 ; 5 ) ; B ( 2 ; -3 ) ; C ( -5 ; - 7 ) ; D ( -4 ;1 ) .

 

Démontrez que  « ABCD » est un losange.

 

 

Activité 4 : 

 

 

Placez les  points  A ( -3 ; 3 )  et B ( 4 ; -1 )

Soit C ( x ; -3 ) . ON se propose  de déterminer l’ abscisse  « x » du point « C » de telle sorte que le triangle « ABC » soit rectangle ( en « A » , « B »  ou « C » ).

 

Tous les points qui ont pour ordonnée  « -3 » sont situés sur une parallèle à l’axe des abscisses . Tracez – la .

 

Les points « C » cherchés sont situés sur elle.

 

 

1°) Déterminez par le dessin les points « C » possibles. ( Si les triangle est rectangle  en « C » ; « C » est sur le cercle de diamètre   )

 

 

 

 

 

2°)  Déterminez par le calcul les coordonnées des points « C » qui conviennent .

 

( A rédiger sur une autre feuille )

 

 

 

     

 

 

 


 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

CONTROLE :

 

1 ) Donner la procédure permettant d’obtenir par le calcul la longueur d’un segment (distance entre deux points ) dans un plan .

 

 

 

B

 

EVALUATION :

I ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points.

 

 

 

 

 

,

 


échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore » ,

II )  Soit deux points dans un plan : A (+2 ;+1 ) et  B ( +7,5 ; + 5 )

Calculer la distance entre A et B

 

III) Dans un repère orthonormé ( 0,,)

          On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

                montrez que le rep2triangle ABC est rectangle

 

 

 

 

Faire toutes les activités proposées ci-dessus .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fin le 07 octobre  2015.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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