Pré requis:
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Détermination d’un point |
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Graduation d'une axe |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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Objectif précédent : |
Objectif suivant :les repères ; exemples de repérages d’un point dans un plan . |
DOSSIER: LES REPERES
CARTESIENS
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TEST |
COURS |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
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Corrigé évaluation |
Cas Général :
(« axe » :
voir repérage sur une droite) ; mettre
en relation « droite orientée et nombres classés par ordre croissant de la gauche vers la droite »
Le point d
‘intersection des deux « axes »est
appelé «O » (origine ,et départ des graduations)
Cas particulier : les droites sont perpendiculaires, (on dit
« orthogonales » )
images :
4 repères cartésiens se
distinguent par la position des deux
droites (perpendiculaires ou pas) et par la valeur des longueurs des graduations(identique ou différente) .
« Position
des droites » :
le repère est dit :
- « orthogonal » (droites
sécantes perpendiculairement , angle de 90°)
- « non orthogonal » ( les droites sont sécantes
« oblique » ,angle ¹ 90°)
Ces droites
sont ensuite « graduées » pour former des « axes
gradués »,
«longueur des segments unitaires de graduation » : il est dit
-
« normé » : on dit « normé » si la longueur des
deux segments unitaires est de la même
mesure sur les deux droites sécantes, on qui que le repère est
« normé» ; si d(O,I) = d (O,J) ; repère normé, (parfois on dit
« ortho normal »)
- « non
normé » : On dit
« non normé » si la longueur des deux segments unitaires n ‘ a pas la
même mesure sur les deux droites sécantes ,on qui que
le repère est «non normé» ;
si d(O,I) ¹d (O,J) repère non normé.
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Les différents repères |
NORME |
NON
NORME |
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ORTHO
(orthogonal) |
||
|
NON
ORTHO |
Première définition de
"repère cartésien" :
On appelle « repère cartésien » : du
plan , tout
triplet : ( O, I , J )
« O » est un point ; appelé « point d’origine »
et : [
OI ] et
[ O J ] sont les segments unitaires (norme), servant de
« base » ,et de
« référent pour graduer » les droites sécantes (axes) .
Valeur des
segments unitaires : « 1 ; unité de mesure» (la
valeur du segment unitaire est indépendante de sa longueur .(un segment unitaire vaut « 1 », il
peut mesurer une longueur de 1,5 cm)
Appartenance des segments unitaires :
le segment [ OI ] appartenant à la droite
« horizontale » ( droite des
« x » )
le segment [ O J ]
appartenant à la droite
« oblique ou verticale » (
droite des «y » )
voir :
ligne horizontale, verticale, oblique.
Deuxième définition :
« repère cartésien » et
« base »
On
appelle « repère cartésien » du plan tout
triplet ( O , 
,
) :
« O » est un point ( d ‘ intersection des droites sécantes )
et ( ,
) est appelé
« base » ,(formé par le vecteur « »
et le vecteur « »)
Précision : le point « I » étant l ‘ extrémité
du vecteur « »
et
le point « J » étant l ‘
extrémité du vecteur « »
Représentation
graphique d'une base:
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d'une base |
d'une
non base |
||||||||
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||||||||
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Par
définition : une base est un couple de vecteurs non colinéaires (donc non
portés par des droites parallèles Exemple
: la base ( |
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||||||||
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Les
vecteurs formant une base servent à graduer les axes d'un repère |
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)Norme du vecteur unitaire :
La norme des vecteurs
unitaires vaut « 1 » ;
ce qui se
note : || || = 1 ; || || = 1
Représentation graphique du : repère
cartésien « orthonormé » Ldit aussi
« orthogonal »
les 4
repères cartésiens sont :Il est ou pas « orthogonal », Il
est aussi « orthonormal » ou
« non orthonormal»
(terminer la graduation)
Les repères
cartésiens peuvent être
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repère orthonorméL
fig. 3) on dit
aussi « orthonormal » |
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repère non ortho non normé: L fig.2) |
repère orthonormé : L fig. 3) un
repère orthonormé (orthonormal)
est constitué de deux axes gradués perpendiculaires, la norme des vecteurs de
la base , servant à graduer les axes ont la même norme
sur les deux axes.
On dit
aussi :Les segments unitaires [OI] [OJ ]servant à graduer les deux axes
ont la même longueur)
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repère ortho non normé : L fig. 4)
ortho : un repère ortho non normé est constitué de deux axes
gradués perpendiculaires ,
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:représentation d'un nombre de personnes en fonction de
l'âge. Toutes les représentations graphiques des applications des
fonctions linéaires |
Distance parcourue en fonction du temps.
repère non ortho
normé : L fig.2)
non ortho : un repère non ortho normé est constitué de deux axes
gradués non perpendiculaires
repère non ortho non normé : L fig.
1)
Non ortho : un repère
non ortho non normé est constitué de deux axes gradués non perpendiculaires ,
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Application: pour le plaisir de faire des problèmes mathématiques. |
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Exemples de repères cartésiens couramment utilisés:
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Exemple
N°2 : dans ce repère est tracé une courbe .
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
Traduire en langage
littéral :
( si d(O,I) = d (O,J) ; repère normé )
( si d(O,I) ¹d (O,J) repère non
normé)
Donner une définition de
« repère cartésien »
Construire un repère cartésien orthonormé : d(O,I)
= d (O,J) = « 1, 5 cm )
dans un cadre de 15
cm par 15 cm
EVALUATION
: DEVOIR : Compléter les repères
suivants (mots et graduation):(terminer la graduation!)
....repère :..................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....repère :.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ......repère :............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ......repère :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
