Pré requis:

Détermination d’un point et les lieux géométriques

 

Quadrillage

 

Détermination d’un point

Graduation d'une axe

Droites sécantes

ENVIRONNEMENT du dossier:

INDEX    

Objectif précédent :

1°) graduation et règle graduée ;…  

2°) les graphiques

Objectif suivant :les repère; exemples de repérages d’un point dans un plan .

 

Tableau       2°) Liste des cours sur le repérage

DOSSIER: LES REPERES CARTESIENS

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

Cas Général :

 

Le repère « cartésien » est constitué par l’intersection de deux droites orientées et  graduées appelées « axe »

(« axe » : voir repérage sur une droite) ; mettre en relation « droite orientée et nombres classés par ordre croissant  de la gauche vers la droite »

Le  point d ‘intersection des deux « axes »est appelé  «O »  (origine ,et départ des graduations)

 

Cas particulier : les droites sont perpendiculaires, (on dit « orthogonales » )

 
images :             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4 repères cartésiens se distinguent  par la position des deux droites (perpendiculaires ou pas) et par la valeur des longueurs des graduations(identique ou différente) .

« Position des droites » :  le repère est dit :

 - « orthogonal »  (droites sécantes perpendiculairement ,  angle de 90°)

-  « non orthogonal »  ( les  droites sont sécantes « oblique »   ,angle ¹ 90°)

Ces droites  sont ensuite « graduées » pour former des « axes gradués »,

«longueur des segments unitaires de  graduation » : il est dit

- « normé » :   on dit « normé » si la longueur des deux segments unitaires  est de la même mesure sur les deux droites sécantes, on qui que le repère est « normé» ; si  d(O,I) = d (O,J) ; repère normé, (parfois on dit « ortho normal »)

 - « non  normé » :   On dit « non normé » si la longueur des deux segments unitaires n ‘ a pas la même mesure sur les deux droites sécantes ,on qui que le repère est «non  normé» ;  si  d(O,I) ¹d (O,J)  repère non normé.

 

 

 

Les différents repères

NORME

NON NORME

ORTHO (orthogonal)

repère Orthonor

L  fig. 3)

repère ortho non normé

L  fig. 4)

NON ORTHO

repère non ortho normé

L  fig. 1)

repère non ortho non normé

L  fig. 2)

 

 

 

Première définition de "repère cartésien" :

 

On appelle « repère cartésien » : du plan  , tout triplet :  ( O, I , J )

                          « O » est  un point ; appelé « point d’origine »

                  et :    [ OI ]  et   [ O J ]    sont les segments unitaires (norme), servant de « base » ,et de « référent  pour  graduer » les droites sécantes  (axes) .

  Valeur des segments unitaires : « 1 ;  unité de mesure»     (la valeur du segment unitaire est indépendante de sa longueur .(un segment unitaire vaut « 1 », il peut mesurer une longueur de 1,5 cm) 

Appartenance des segments unitaires :                    

le segment          [ OI ]      appartenant à la droite « horizontale »  ( droite des « x » )

le segment         [ O J ]      appartenant à la droite « oblique ou verticale  »  ( droite des «y » )

 

voir : ligne horizontale, verticale, oblique.


Deuxième définition : « repère cartésien »  et « base »

(voir leçon : vecteurs  et ses coordonnées)

 

On appelle « repère cartésien » du plan  tout  triplet   ( O , ,  :

Où:

                   « O » est un point   ( d ‘ intersection des droites sécantes )

        et      ( , )  est appelé  « base »  ,(formé par le vecteur «  » et le vecteur  «  »)

 

                   Précision :  le point « I » étant l ‘ extrémité du  vecteur  «  »

                                  et le point  « J » étant l ‘ extrémité du  vecteur  «  »

Représentation graphique d'une base:

 

d'une base

d'une  non  base

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Par définition : une base est un couple de vecteurs non colinéaires (donc non portés par des droites parallèles

Exemple : la base ( , )

 

 et   sont colinéaires , ils ne peuvent former une base.

Les vecteurs formant une base servent à graduer les axes d'un  repère

 

 

 

Norme du vecteur unitaire :

                         La norme des vecteurs unitaires   vaut « 1 » ;

ce qui se note :  || || = 1    ; || || = 1   
Représentation  graphique du : repère cartésien « orthonormé » 
Ldit aussi « orthogonal »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



les  4   repères   cartésiens sont   :Il est ou pas « orthogonal », Il est aussi « orthonormal »  ou « non  orthonormal»

(terminer la graduation)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Les repères  cartésiens peuvent être

repère orthonorméL  fig. 3)

 on dit aussi « orthonormal »

repère ortho non normé: L  fig. 4)

repère non ortho normé: L  fig. 1)

repère non ortho non normé: L  fig.2)

 

NOTES

repère orthonormé : L  fig. 3) un repère  orthonormé (orthonormal) est constitué de deux axes gradués perpendiculaires, la norme des vecteurs de la base , servant à graduer les axes ont la  même norme sur les deux axes.

On dit aussi :Les segments unitaires [OI]  [OJ ]servant à graduer les deux axes ont la même longueur)

 

Application: les cartes géographiques

repère ortho non normé : L  fig. 4)

ortho  : un repère  ortho non normé est constitué de deux axes gradués perpendiculaires  ,

non normé : les  graduations  n ' ont  pas la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes  n ' ont pas  la même longueur)

Exemples d'applications :

:représentation  d'un nombre de personnes en fonction de l'âge.

Les abaques.

Toutes les représentations graphiques des applications des fonctions linéaires

Distance parcourue en fonction du temps.

Distance parcourue en fonction du temps.

repère non ortho normé : L  fig.2)

non ortho :  un repère  non ortho normé est constitué de deux axes gradués non perpendiculaires 

normé  : , les graduations  ont  la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes ont la même longueur)

 

 

Application: pour le plaisir de faire des problèmes.

repère non ortho non normé : L  fig. 1)

Non ortho :      un repère  non ortho non normé est constitué de deux axes gradués non perpendiculaires  ,

Non normé :   les  graduations  n ' ont  pas la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes  n ' ont pas  la même longueur)

Application: pour le plaisir de faire des problèmes mathématiques.

Exemples de repères cartésiens couramment utilisés:

N°1 :

Exemple N°2 : dans ce repère est tracé une courbe .


 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

Que signifie les mots :

« orthogonal » 

« non orthogonal » 

« non  normé » :

« normé » :

Traduire en langage littéral : 

( si  d(O,I) = d (O,J) ; repère normé  )

 

 ( si  d(O,I) ¹d (O,J)  repère non normé)

Donner une définition de « repère cartésien »

Construire un repère cartésien  orthonormé : d(O,I) = d (O,J)   = « 1, 5 cm )

dans un cadre de    15  cm par  15 cm

EVALUATION :   DEVOIR : Compléter les repères suivants (mots et graduation):(terminer la graduation!)

....repère :.....................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

.....repère :..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

......repère :.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

......repère :...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

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