Fiche 3^ème  : PYTHAGORE dans le plan et dans l’espace.

Fiche 1 : Le théorème de Pythagore.

Fiche 2 : Réciproque du théorème de Pythagore.

Fiche 3 : Longueurs dont la mesure s’exprime avec un radical.

Fiche 4 : Diagonale d’un rectangle ou d’un carré.

Fiche 5 : Triangle équilatéral.

Fiche 6 :  Des démonstrations dans l’espace.

Fiche 7 : Droite perpendiculaire à un plan .

Fiche 8 :  Calculs dans le cube.

Fiche 9 : Situations problèmes.

Fiche 1. Le théorème de Pythagore.

Rappelons ce théorème étudié en 4^ème .

Si « ABC » est un triangle rectangle en « A » alors : 

BC²  = BA² + AC²

Activité : exercice 1 :

FDE  est un triangle rectangle  en « E ». L’unité est le cm.

Sachant que « DE = 3 »   et  « EF = 6 » , calculez « DF ».

Donnez la valeur exacte de « DF » sous forme simplifiée puis donnez une valeur approchée  de « DF »  à  10 ^-3  près.    

Activité : exercice 2 :

« GKH »   est un triangle rectangle  en « H ». L’unité est le cm.

Sachant que « GK = 41 »   et  « HK = 9 » , calculez « GH ».

Activité : exercice 3 :

Dessinez  un  triangle « ABC »   rectangle en « A » dont on donne l’hypoténuse [BC] et le pied « H » de la hauteur issue de « A ».

·       Sachant que « BC = 18 cm »  et  « BH = 8 cm », en appelant « O » le centre du cercle circonscrit au triangle « ABC », calculez ( en cm) « AO » , « AH » , « AB », « AC ».

Activité : exercice 4 :

On donne un cercle de centre « O » et de rayon « R= 26 cm ».

[MN ] est une corde telle que « MN= 48 cm ».

« P » étant le projeté de « O » sur (MN) , calculez « OP ».

Fiche 2 : Réciproque du théorème de Pythagore

Info ++++sur ….

Vous avez vu dans la leçon précédente :le théorème suivante.

Si dans un triangle, le carré d’un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , alors ce triangle est   rectangle.

Exercice 1 : Dans les quatre cas ci-dessous , dites si les triangles sont rectangle « oui » ou « non ».

Triangle

Longueurs des côtés en cm.

Triangle rectangle « oui »   ou « non ».

« ABC »

AB = 3,4 ; BC = 3 ; CA = 1,6

« DEF »

DE = 4 ; EF = 5 ; FD = 6

« GHK »

GH =  ; HK = 8 ; KG =

« LMN »

LM =  ; MN =  ; NL =

Exercice 2 : ci-contre un triangle « EDF » . [EK]  est hauteur.

Sachant que les dimensions sont en cm : EK = 12 ; DK = 9 ;et KF = 16 , faites les calculs nécessaires pour savoir si le triangle « EDF » est rectangle ou non.

Exercice 3 : Un triangle « ABC »  dont le côté . [AC]  à une longueur qui peut varier.

On sait que ( en cm) AB = 2   et BC =  .

1°) Déterminez « AC » de telle sorte que le triangle « ABC » soit rectangle en « B ».

2°) Même question pour obtenir un triangle « ABC » rectangle en « A3 puis en « C » .

Fiche 3 : Longueurs dont la mesure s’exprime avec un radical.

Observez la figure ci-contre.

« OA = 1 » (l’unité est le cm)

OAB est un triangle rectangle en « A »  tel que « AB = 1 »

Calculez « OB » . Vous trouvez   « OB = ……………. »

( 1² + 1² = 2 ) ; OB =   =

OBC est un triangle rectangle en « B » tel que « BC = 1 »

 Calculez « OC ». Vous trouvez : OC = ………= ………..

OCD est un triangle rectangle  en « C » tel que CD = 1.

Calculez OD . Vous trouvez  OD = …………………………

·       Poursuivez la construction ( en colimaçon).

·       Placez les points « E » , « F » ,  « G » , « H »  , « I »  , « J ».

Par le calcul , vous trouvez :  OE = ………………. ; OF = ……………. ; OG = …………. ; OH = …………….. ; OI = ………………… ; OJ = …………….

Exercice :

Construisez un segment dont la mesure  de la longueur  ( en cm ) est  .

(Indication : 13 = 4 + 9 )

Fiche 4 : Diagonale d’un rectangle ou d’un carré.

Rectangle :

« ABCD » est un rectangle  .

AB = a ;  BC = b ; AC  = BD = d .

Calculons “d”:  AC² = AB² + ………

C’est à dire :  d² = a² + ………

Le rectangle ci-contre est tel que  ( en mm) ; a = 28 ; b = 45 .

Mesure  AC ( en mm ) . Vous  lisez  AC = ………….

Par le calcul :  AC =    =

Carré :

EFGH est un carré de côté « a »  ( « a » est positif ).

Appelons « d » la longueur de chaque diagonale.

Calculons « d » :

«  d =    , c’st à dire    « d =   »

Théorème :

Dans tout carré de côté « a » et de diagonale « d » : d = 

Exercice 2 :

OAB est un triangle rectangle isocèle  ( OA = AB ).

Construisez successivement ( en colimaçon)

Les triangles rectangles isocèles OBC , OCD , ODE .

Sachant que OA = 5 , calculez OB , OC , OD , OE .

Sachant que OA = L , calculez OB , OC , OD , OE.

Fiche 5 : Triangle équilatéral.

Info +++le triangle équilatéral.

« ABC » est un triangle équilatéral de côté « a »  ( a > 0) .

[AH]  est une hauteur . Appelons « h » la longueur « AH ».

Nous allons calculer « h » en fonction de « a ».

Dans le triangle « ABH » rectangle en « H » , « AB= a » , « BH =  » .

Grâce au théorème de Pythagore : AH² = AB² - BH²

    =

Donc :  c'est-à-dire :

Théorème :

Dans un triangle équilatéral de côté « a » et de hauteur « h » :

Activité :

On donne un cercle de centre « O » et de rayon « R ». [ AB ]  est un diamètre.

La médiatrice  de [ OB ]  coupe (OB) en « H » et le cercle en « M » et « N ».

1°) Démontrez que « OMB » est un triangle équilatéral.

2°) Calculez en fonction de « R » :  « MH » , « MN » , « AM ».

3°) Que pouvez-vous dire du triangle « AMN » ?  ( faîtes une démonstration).

Fiche 6 :  Des démonstrations dans l’espace.

Fiche complémentaire…@ …

« ABCDEFGH » est un cube, c'est-à-dire un solide dont les 6 faces sont des carrés.

«Appelons « a » la longueur en (cm) des arêtes.

La longueur  (L) (en cm) des diagonales de ces carrés est donc égale  à :

« L =   »

Vous en déduisez que le triangle « AHF » est un triangle équilatèral.

·       Les diagonales du carré « EFGH » se coupent en « O ».

Que pouvez-vous dire de [ AO ]  pour le triangle « AHF » ? ………………………………………………………………………..

Quelle est la longueur ( en cm) de « AO » ? …………………………………………………………… ;

Nous allons démontrer par le calcul que les droites ( AE ) et  ( EG ) sont perpendiculaires.

Considérons le triangle « AEO » et démontrons qu’il est rectangle en « E ».

[ EO ]  est une demi-diagonale du carré  « EFGH »  donc  «  EO = ……….. »   ;   « EO² = …………. » ; «  « EA = ……….. » ; « EA² = …….. »

Vous avez trouvé que « AO =    »   donc  «  AO² = …….. »

« EO² + E A² =     =   …………………..   donc  « EO² + E A² =  …..AO² »  dont le triangle « EAO » est ……………………… ;donc  ( AE ) est perpendiculaire ( EG ) .

Si nous faisons le point :

[ AE ] ; [ HE ] ; [ EF ] ; sont des arêtes du cube .

Donc (AE) est perpendiculaire à ( EH ) et à ( EF ).

( EH ) et ( EF ) déterminent un plan et on vient de prouver que ( A E ) est perpendiculaire à ( EG ) qui est une autre droite de ce plan.

·       A votre avis , ( AE ) est-elle perpendiculaire à toutes les droites du plan ? …………

C’est ce que nous allons mettre  en évidence maintenant….

Fiche 7 : Droite perpendiculaire à un plan .

Info @ +++++

Définition :

Dire qu’une droite est perpendiculaire à un plan c’est dire qu’elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan.

Prendre la « FICHE 7 bis »  On a dessiné deux droites « d » et « d’ » sécantes en « O ».

On a tracé par « O » la perpendiculaire à « d » et la perpendiculaire à « d’ ».

Découpez cette figure suivant les pointillés et une portion de «  » .

Pliez suivant la droite « d » et la droite « d’ » et pliez la languette puis collez la languette de telle sorte que la perpendiculaire en « O » à « d » coïncide avec la perpendiculaire en « O » en « d’ ».

On appellera  «  » cette perpendiculaire à « d » et « d’ » .

Découpez l’équerre dessinée au coin de la page  « FICHE 7 bis »   et à l’aide de celle-ci , contrôlez que «  » est perpendiculaire à toutes les droites  du plan défini par « d » et « d’ ».

On dira alors  ( il est possible de le démontrer ) .’

Théorème :

Si une droite perpendiculaire à deux droites sécantes d’un plan alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan.

(On dit alors , par définition, qu’elle est perpendiculaire au plan ).

Conséquence : pour démontrer qu’une droite est perpendiculaire à un plan , il suffit  de prouver qu’elle est perpendiculaire à deux droites  sécantes de ce plan.

Fiche 8 :  Calculs dans le cube.

Info ++@+ le cube et calculs…..

« ABCDEFGH » est un cube de 6 cm d’arête.

1°) Démontrez verbalement que « DBFH » est un rectangle.

Utilisez le théorème de la fiche « 7 » et la propriété :

Si deux droites sont perpendiculaires à un plan alors elles sont …………….……

2°) Calculons  « DB » ; « DF » ; et « HB » .

[ DB ] est la diagonale du carrée  « ABCD » , donc « DB = ……….. » ;

[ DF ] et [ HB ] ;sont les diagonales de « DBFH » , donc «  DF = HB=   =    = …….. »

3° )  [ DF ] et [ HB ] se coupent en « O ».

Démontrons que « O » est le milieu de  [ DF ] ,  [ HB ] ,  [ AG ] et [ EC ] et que «  DF = HB = AG = EC ».

« DEFH » étant rectangle ses diagonales [ DF ] et [ HB ] se  coupent en leur ..milieu…et ont même  longueur .

On démontre  de même que « DAFG » est un rectangle ainsi que ……………………………

Donc ………………et ………………… ont même milieu et ont même longueur ainsi que …………………..et …………………….

4°) « M » est le milieu de [ HG ] et « N » est le milieu de [ BF ] .

Calculez « AN».

5°) Démontrez que « MHA » est un triangle rectangle  et calculez  AM . 

6°) Démontrez que « NFM » est un triangle rectangle  et calculez  MN . 

7°) Le triangle « AMN » est-il rectangle ?

8°) « P » est le milieu [ CG ] . Démontrez que « APM » est isocèle.

9°) « R » est le milieu de [ DH ] . En utilisant le rectangle « DBFH » , calculez « RN ».

10°) Démontrez que « RMN » est un triangle rectangle.

Fiche 9 : Situations  problèmes.

Info +++ @ +++++

Problème 1 :

« ABCD » est un rectangle dont les dimensions sont « 15 cm » et « 20 cm ».

« H » est le projeté orthogonal de « A » sur ( DB) .

1°) Calculer « BD ».

2°) Calculez l’aire du triangle « ABD » et déduisez – en « AH ».

3°) Calculez « DH » et « HB ».

Problème 2 :

« ABCD » est un trapèze , ( AB ) //  ( CD ) ,   [ AH ] et [ BK ] sont des hauteurs.

« AD = 10 cm » , « AB = 10 cm » ,   = 60°  ,   = 30°.

En utilisant le fait que  “ADH” et “BCK” sont des demi- triangles équilatéraux.

Calculez :  « DH » , «  AH » , « BC » , « KC » , «  DC » et « AC ».

Donnez les valeurs exactes puis les valeurs approchées à  10 ^-2 près. 

Problème 3 :

« DEF » est un triangle isocèle . « DE = EF = 50 cm »  et « DF = 80 cm ».

Les médianes [ EH ] et [ DK ] et [ FL ] se coupent en « G ».

Calculez la longueur de chacune des médianes.

( Utilisez la propriété du centre de gravité)

Problème 4 :

Les côtés des carrés du quadrilatère ci-contre ont pour longueur « 1 cm ». ( Echelle  0,8)

Déterminez par le calcul la longueur de tous les segments de la figure qui ont un nom.

Rangez ces segments dans l’ordre de longueur croissante. 

Problème 5 :

Une sphère a « 6 m » de rayon. Elle est coupée par un plan dont la distance au centre de la sphère est de « 3m ».

Vous savez que l’intersection est un cercle. (voir le cours @).

Quel est le diamètre de ce cercle à « 1cm » près ?

Problème 6 :

« ABCDEFGH » est  un cube dont l’arête est « 10m ».

« I » est le milieu de  [ AB ] et « J » est le milieu de  [ HG ].

Calculez  « ID » , « IC » , « JD » , « JC ».

Dites en l’expliquant si « DICJ » est un losange.

Problème 7 :

Une boîte parallélépipédique s’ouvre en séparant  deux parties coupées suivant la ligne polygonale « ABCD ».

Quelle longueur de ruban adhésif faut-il pour la fermer totalement le long du tracé « ABCD » ? ( unité le cm).

(D’après le brevet  de Nantes 1987)  

Problème  8 :

    Dans une pièce de 2,55 m de hauteur, on veut relever un meuble de forme parallélépipédique de 0,60 m de profondeur et d’une hauteur de 2,50 m  en procédant comme indiqué sur le dessin ci-contre.

Est-ce possible ?  ( Brevet Montpellier 1987)

Problème  9 :

« ABCDEFGH » est  un parallélépipède rectangle de « 8 cm » de longueur.

« ABCD » est un carré de « 4 cm » de côté et de centre « O ».

1°) Calculez « BD » , « DE » , « EB ».

2°) Quelle est la nature du triangle « EBD » ?

3°) Démontrez que (EO)  n’est pas perpendiculaire à (BD ) .

4°) Expliquez pourquoi (EO) n’est pas perpendiculaire au plan « ( ABCD).

Calculez « EO » de deux façons et calculez « EC ».

( Brevet Poitiers 1987)

FICHE 7 bis

CONTROLE