Prérequis
:
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Racines carrés d'opérations simples |
ENVIRONNEMENT du dossier
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
Tableau
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DOSSIER
: Rappels sur l‘ensemble des calculs utilisés pour «
PYTHAGORE » :
les
racines carrées
A ) Soit l’égalité :
x = a + b on peut transformer l’égalité et
écrire : 
= 
si 2500 =
1600 +900 on peut
écrire : 
= 
Calculs dans
chaque membre :
Premier membre : donne 50
Deuxième
membre : , devient
donne
50
B ) Soit
l’égalité :
x2 = a2
+ b2 on peut
transformer l’égalité et écrire : 
= 
(si l’on veut la valeur de « x » il faut faire la racine
carrée de la somme des carrés).
si 502 = 40 2+
30 2 on peut écrire 
= 
sachant
que 
= x donc on en déduit que =50
On peut
écrire que x =
Calcul
de : on
ne peut pas donner directement le résultat ,il faut faire l’ensemble des
opérations sous la racine, afin de n’avoir qu’un nombre , il nous sera possible
alors de calculer la racine de ce nombre.
Calculs : 402 = 1600
; 302 = 900 ; 1600+900 = 2500
on peut écrire
l’égalité suivante : = ;
on calcule : = 50
Sur les
racines carrées :
La racine
carrée d’une somme ou d’une différence n’est pas transformable.
Traduction mathématique :
1 ) n’est pas égale à 
2 ) 
n’est pas égale à 
Pour s’en convaincre il suffit de donner une valeur à
« a » et à « b » ; remplacer ces valeurs dans les
expressions et comparer les résultats ( exemple prendre « a »= 5 et « b » = 3 ) .
Remarque
sur le choix des valeurs « a » et « b » :
« a » doit être supérieur à « b » dans la relation « » ,parce que l’on ne peut pas faire la racine carrée d’un
nombre négatif . 
= 
« impossible »
Il faut
impérativement faire l’addition (ou la soustraction) pour pouvoir calculer la racine carrée.
Pour
savoir résoudre tous les cas de " Pythagore" ( c'est à dire trouver la longueur d'un côté
du triangle rectangle connaissant les deux autres longueurs )
Il faut savoir résoudre les équations de la forme :
x2 = a2 + b2
c2 = a2 + x2
c2
= x2 + b2
Voir leçon sur les
égalités : les quatre théorèmes
Objectif EG4
« on peut faire la racine
carrée des deux membres d’une égalité ,on dit que l’égalité reste vraie ». !
Exercice N°1 : Trouver
« x » si « a »=30
et « b »=40 à partir de
x2 = a2 + b2 ( se souvenir que = x )
On pose =
si « a » = 30
et « b » =40 alors
= 
= 
= ,
premier membre : =
x , deuxième membre : donne 50
conclusion x =
50
Exercice N°2 : Trouver « x » si « c »=50 et « a » =30 ;à partir de
c2
= a2 + x2 ( se souvenir que = x )
Il faut
donc « isoler » « x » ;
par
transformation : (un terme change
de membre ,il change de signe )
c2 - a2
= + x2
On pose 
=
si « a » = 30 et
«c » =50 alors
=
=
=
, premier membre : donne
40 , deuxième
membre : donne
x
conclusion x =
40
Exercice N°2 : Trouver « x » si « c » = 50 et « b » = 40 ; à partir de la
relation :
c2 = x2 + b2 ( se souvenir que = x )
Il faut donc
« isoler »
« x » ;
par
transformation : (un terme change
de membre ,il change de signe )
c2 - b2
= + x2
On pose 
=
si « b » = 40 et
«c » =50 alors
=
=
=
, premier membre : donne
30 , deuxième
membre : donne
x
conclusion x
= 30
Ceci clos
les trois types d’exercices à savoir traiter pour faire « PYTHAGORE »