Pré requis:

Les  coordonnées d’un point dans un repère cartésien   

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

  1.  Les  coordonnées d’un point dans un repère cartésien 
  2. Axes de coordonnées ( vecteurs)

Objectif suivant :

Le point  "coordonnées"

2°) Le point d'intersection de deux droites perpendiculaire..

3°) étude d'un système de deux équations de deux droites.

tableau   

1°) Repérage :

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

 

DOSSIER : CALCULS  des COORDONNEES  D’UN POINT

Point obtenu par translation ou par symétrie.

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné   

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                        

 

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation  

 

 


COURS :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné  

 

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Un vecteur  étant donné par ses coordonnées dans une base   ( , ) ,  ( x ,y ) , tout point A ( xA , yA ) a pour image dans la translation  T      le point B de coordonnées          

    ( x + x A  ,  y + y A ).

 

Avec         =    ;

Coordonnées du vecteur

 

·         ( x + x A  ,  y + y A )

Coordonnées du vecteur « v »

 ( x ,y) 

Exemples d’exercices  :

Données :

Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que  A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A dans la translation T

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

Nous écrivons :

                            T   :   A B   ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

                            telle que AB = 

 

                ( x + x A  ,  y + y A )  =     ( x ,y)

 

a )par la représentation graphique.

Procédure :

On trace  le vecteur «  » ; on place le point A.  A partir du point « A » , on trace une parallèle au vecteur « v » dont la longueur est égale à la norme du vecteur ; (voir ; tracer d’un parallélogramme) 

On relève les  valeurs des coordonnées du point B sur le repère :

                xB =+ 3 ;yB=-1   ;  que l’on écrit     B (+3 ;-1 )

 

b)détermination de la  position du point « B » par le calcul :

 

(  Voir  le calcul des coordonnées du vecteur )

Sont donnés :  ( 2 ,-3)   et « A  (1 ; 2 ) »   à pour image dans la translation de  le point  B ( xB ; yB )

 

Les coordonnées du vecteur  sont :  (xB –1 ) ; (yB  - 2)

 

Nous savons que    =    on peut donc écrire

 

                     AB (xB 1 )  ; (yB  - 2)=  ( 2 ,-3)  si et seulement si

 

                  ( xB –1 )  = 2   ; soit         xB – 1  = 2    ;    xB  = 3

et              ( yB  - 2) = -  3 ; soit         yB  - 2  =   -3   ;     yB   =  - 1

 

Conclusion :  Les coordonnées du point B sont : ( +3 ; -1) 

 

 

 

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT.

 

 

Pré requis :

a)      Voir "opposé" d'un nombre et la symétrie par rapport à O.

b)      a) calcul des coordonnées d’un vecteur

c)      b) le vecteur colinéaire opposé.

d)      c) le vecteur nul .

 

 

Recherche des coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »   : Exemple :    I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1)

 

Un point « I » d’abscisse xI  et d’ordonnée yI  étant donné : I (xI ; yI )  .

 

Tout point  A ( xA ; yA) a pour image dans la symétrie centrale I , le point B tel que :

 

·         =  - 

Ou 

       =  -    I

 

 

Remarque : si je connais les coordonnées du vecteur  IA , je peux soit en déduire, ou calculer  les coordonnées du vecteur IB  .

 

)Calcul des coordonnées du vecteur :     

  sur « xi »   xA  -  x I  =  ( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )     ( SOS calcul numérique?)

  sur yi   =    y A  -  y I =   ( + 1) – (  + 2) = ( -1)

conclusion :

      les coordonnées du vecteur     ( -1 ; -1 )   ; les coordonnées du vecteur « opposé »     est      = ( + 1 ;+ 1 )

  « l’opposé du vecteur ? ? ? »

 

)Coordonnées du vecteur

sur « xi »   xB  -  x I  =  ( xB ) – ( +3)

  sur yi   =    y B  -  y I =   ( yB) – (  + 2)

 soit  ( xB-3 ; yB –2)

le vecteur   ( xB-3 ; yB –2) = le vecteur–    ( +1 ;+1)  si et seulement si :

xB-3  = 1   et    si   yB –2 = 1 :

après calculs : xB  = 4  et yB = 3   ; 

 les coordonnées de B sont ( 4 ;3  )

 

Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point I  sont  ( + 4 ; + 3  )

(commentaire : les coordonnées du point B sont aussi les coordonnées du vecteur  telles que   vecteur  ( + 4 ; + 3  )

 

 

 

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE

 

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie O  .

Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit de prendre les valeurs « opposées » aux coordonnées données .

Exemple :

 

Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère 

Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B) dans la symétrie centrale  et B ( opp.+3 ; opp.+2)

Soit  B ( -3 ; - 2)

 

 

 

 

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

 

La symétrie peut se faire par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

( voir symétrie axiale ; orthogonale ; réflexion)

 

 

 

 

Exemples :

a)  A ( + 3 ; +2 )  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O )  le point A’ ( + 3 ; -2 )

(*  -2  est l’opposé de +2)

b) A ( + 3 ; + 2 )  a pour  image dans la symétrie par rapport à  ( O )  le point A’’ ( - 3 ; + 2 ).

 

 

(*  - 3  est l’opposé de +3)

Conclusion :

 

1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’ ( x A ; opp. y A) ;  ou A’(  x A ; - y A

 

)1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’’(opp. xA ; y A) ;  ou A’( - x A ; + y A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE

 

A) Traduire : A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie O  .

B) voir cas par cas :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné  

 

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Si  nous écrivons :

                            T   :   A B   ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

                            telle que = 

 

                ( x + x A  ,  y + y A )  =    ( x ,y)

 

a ) Faites une représentation graphique :

 

b) Déterminer la position du point B par le calcul :

 

 

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

 

Comment opère –t –on  pour rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » ?  :

 

 

III) SYMETRIE  PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE.

 

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A)  dans la symétrie O  .

Comment peut- on obtenir  les coordonnées du point dans la symétrie  d’origine O , dans un repère ?.

 

 

 

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

 

Soit un point A ( xA ; y A)  quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’ symétriques axiales  dans un repère cartésien ?.

 

EVALUATION

 

)Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que  A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A ; notée « B » dans la translation T

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

2°) Rechercher  les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »   : On donne   I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1).

 

a)     solution graphique .

b)     par le calcul .

 

3°) Soit un point A( +3 ; +2)  ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère  .

a)     Solution graphique

b) Par le calcul

 

4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point A ( +3 ; +2) :

par rapport à l’axe ( O )  et par rapport à l’axe ( O )

 

a)     Par le calcul.

b)     Par le graphique