NOTIONS sur les grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles......

Pré requis:

Les partages proportionnels

 

Multiplication d’une fraction par un nombre

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Les fractions « égales »

2°) Grandeurs.

Objectif suivant Sphère metallique

Les grandeurs proportionnelles (présentation)

)rapports de deux grandeurs.

)Géométrie plane :  Rapport de deux segments.

Sommaire : Sphère metallique

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER : Notion  sur 

LES GRANDEURS « directement » ou  les grandeurs  « inversement » PROPORTIONNELLES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs

 

 

 

 

TEST

 Filescrosoft Officeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

Définitions basiques

 

Des rapports et des proportions :

Tous ce que l’on peut découvrir sur les grandeurs se réduit à les exprimer les unes par les autres , en les comparant ; cette comparaison , qui ne peut jamais avoir lieu qu’entre des quantités de même espèce ; détermine le rapport que ces quantités ont entre elles .

Il y a deux manières d’établir un rapport :

Si l’on compare , par exemple , 15 et 5 , en retranchant  5 de 15 , on reconnaît que le plus grand nombre surpasse de 10 le plus petit . Dans ce cas , on détermine un rapport de différence .

Mais au lieu d’une soustraction on opère une division , on reconnaît que le plus grand nombre contient trois fois le plus petit , ou , ce qui revient au même , que le plus petit est contenu trois fois dans le plus grand , et , dans ce cas , on détermine un rapport par quotient .

C’est ce dernier « rapport » que nous utilisons pour la suite de tous les cours.

 

 Rapport  « direct » ou « inverse » :

Deux choses sont en rapport lorsqu’elles dépendent l’une de l’autre , lorsque pour déterminer l’une  avec un degré de précision quelconque , l’autre doit nécessairement être connue .

Un rapport peut être direct ou inverse ; il est direct , lorsque les liaisons qui existent entre les deux quantités que l’on compare sont telles que l’augmentation de l’une  occasionne nécessairement l’augmentation de l’autre ; il est inverse lorsque l’augmentation de l’une occasionne nécessairement la diminution de l’autre .

 

Ainsi , dans cet énoncé : quatre ouvriers ont fait  10 mètres d’ouvrage en un certain temps , combien  6 ouvriers en feraient-ils dans le même temps ?

Il est clair que plus il y aura d’ouvriers , plus ils feront d’ouvrage : donc le produit de l’ouvrage augmente en proportion de l’augmentation du nombre d’ouvriers , et conséquemment le rapport de l’ouvrage est direct avec celui des ouvriers . 

Dans ce nouvel énoncé : quatre ouvriers seraient 8 jours pour faire un certain ouvrage , combien faudrait- il de temps à 6 ouvriers pour faire le même ouvrage ?  On voit que plus il y aura d’ouvriers , moins ils seront de temps : donc une augmentation dans le nombre des ouvriers donne une diminution dans le temps , et conséquemment le rapport qui existe entre le nombre d’ouvriers et l’ouvrage fait est inverse .

 

Le rapport :

 

Le rapport qui existe entre deux quantités est le quotient de la première , divisé par la seconde .

En comparant 5 et 6 ; 5 et 6 sont les deux termes du rapport : 5 est l’antécédent  , 6 le conséquent , et le rapport entre ces deux nombres est = 5/6 ; conséquemment de deux quantités en rapport , la première est le dividende , la deuxième le diviseur , et le quotient exprime le rapport ; deux nombres en rapport sont donc une division indiquée d’une manière abrégée : le dividende est l’antécédent  , le diviseur le conséquent , et la division abrégée , réduite à sa plus simple expression , est le rapport qui existe entre ces deux nombres. En comparant cette définition  à celle de la fraction , on reconnaîtra qu’il n’y a pas de différence  entre une fraction et l’expression qui indique que deux nombres sont en rapport , et que conséquemment l’un de l’autre doivent jouir des mêmes propriétés : donc ,

 

1°) En multipliant ou en divisant l’antécédent (dividende)  par un nombre  , sans toucher au conséquent (diviseur)  , le rapport est multiplié ou divisé par le même nombre .

2°) En multipliant ou divisant le conséquent ( diviseur), sans toucher à l’antécédent ( dividende) , le rapport est divisé ou multiplié  par le même nombre .

 

)En multipliant ou divisant  l’antécédent (dividende ou numérateur)   et le conséquent ( diviseur ou dénominateur) par le même nombre , le rapport ne change pas .

 

)En divisant l’antécédent (dividende) par le rapport , lors même qu’il serait réduit  à sa plus simple expression  , on obtient le conséquent .

 

5°) Lorsque l’antécédent et le conséquent sont égaux , le rapport est l’unité .

 

)Lorsque  l’antécédent  ( dividende ) est plus grand que le conséquent , le rapport est plus grand que l’unité .

7°) Lorsque  l’antécédent  ( dividende ) est plus petit que le conséquent , le rapport est plus petit  que l’unité .

 

8°) lorsque le conséquent ( le diviseur ) est l’unité  , le rapport est égal à l’antécédent ( dividende ) .

 

9°) Et lorsque l’antécédent  est l’unité  , la plus simple expression du rapport est égale à l’antécédent , divisé par le conséquent , c’est à dire que relativement à la 8ème et 9ème propriété  , le rapport de 4 a 1 est 4 , et celui de 1 à 4 est

 

La proportion :

 

Lorsqu’en comparant quatre quantités , le rapport qui existe entre la première et la seconde est le même que celui qui existe entre la troisième et la quatrième , les quatre quantités forme une proportion *,donc toutes les fois que deux fractions peuvent être ramener à une expression commune , sans rien changer à leur valeur , elles forment ensemble une proportion ; donc   et  forment une proportion ; parce que l’une et l’autre peuvent être ramenées à l’expression commune  ; donc 9 ;3 ; 12 et 4 , forment une proportion. Pour indiquer cette proportion , on l’écrit ainsi ; 9 : 3 : : 12 : 4 et l’on prononce ; 9 sont à 3 comme 12 sont à 4, d’où il en résulte que toutes proportions sont composées de quatre termes : le premier et le dernier s’appellent les extrêmes  , le deuxième et le troisième s’appellent les moyens ; mais deux fractions qui peuvent  de réduire à la même expression sont égales : donc la proportion 9 :3 : :12 :4 peut se représenter par   =   . Cette expression nous conduira à trouver et à démontrer  les propriétés dont jouissent  les nombres en proportion . D’abord , on voit que le premier terme , divisé par le second , est égal au troisième , divisé par le quatrième : donc , quel que soit le terme inconnue d’une proportion , on le détermine toujours au moyen des trois autres.  Supposons que le premier terme est inconnu , on aura  = = 3 , et si le = 3 , le premier terme sera  33 = 9 ; car le quotient d’une division , multiplié par le diviseur  , = le dividende .

Supposons maintenant que le deuxième terme est inconnu, on aura = = 3   ; = 3  , le  deuxième terme est  = 3 , car le dividende divisé par le quotient est égal au diviseur  @ .

 

 

Or , si   =   , il est évident que   =  ; donc la transposition des deux rapports ne trouble point leur égalité ; donc les 3ème et le 4ème termes étant inconnus , en transposant les deux rapports , on les déterminera comme il vient d’être indiqué .

* en parlant de rapports et de proportions , sans énoncer leur nature , il est toujours sous – entendu qu’il est question de rapports et de proportions par quotient.

 

 

Produit en croix @ :

Maintenant , dans l’expression   =   , le numérateur de la 1ère fraction est le 1er extrême , et le dénominateur est le 1er moyen. Le numérateur de la 2ème fraction est le deuxième moyen , et le dénominateur le deuxième extrême ; or , l’on sait  que pour former une proportion  , les deux fractions doivent pouvoir être réduite à la même expression , ce qui revient à les réduire au même dénominateur et au même numérateur . Dans ce cas , il faut que le numérateur de la première , multiplié par le dénominateur de la seconde , soit égal au numérateur de la deuxième  , multiplié par le dénominateur de la première ; mais le numérateur de la première  et le dénominateur de la seconde sont les extrêmes , et le numérateur de la deuxième et le dénominateur de la première sont les moyens : donc le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; donc , pour que quatre nombres  soient en proportion , il faut que le produit des extrêmes  soit égal au produit des moyens ; car si cela n’était point , les deux fractions qui expriment les rapports de ces nombres ne pourraient se réduire à la même expression , les quotients seraient inégaux , et conséquemment la proportion n’existerait point .

 

Recherche d’un des termes d’une proportion : 

 

De l’égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens , il est facile de déduire une autre méthode  pour  déterminer l’un des termes inconnus au moyen des trois autres. En supposant successivement que le 1er extrême ; le 1er moyen , le 2ème moyen et le 2ème extrême sont inconnue  , on aura :

Le 1er ex.  4 = 3  12  = 36 ; donc le 1er . = = 9

94  ou 36 = 1er moy. 12 ; donc le 1er moyen =  = 3

9 4 ou 36 = 3  le 2ème moy. ; donc le 2ème moy. =   = 12

9le 2ème ex. = 312 = 36 ; donc le 2ème  extrême =   = 4

d’où il en résulte que trois termes d’une proportion  étant connus , on trouve  le quatrième  en divisant le produit  des extrêmes par le moyen connu  , ou le produit des moyens par l’extrême connu , suivant que le terme dont on veut déterminer  la valeur est un moyen ou un extrême .

 

          La théorie des fractions ferait encore découvrir une infinité de propriétés applicables aux proportions. Cette théorie n’est pas à connaître si on  se limite à l’arithmétique , en effet cette théorie n’a pas d’application en arithmétique.

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

Approches : si l’on observe des objets semblables mais de différentes grandeurs , on peut exprimer la relation ou la proportion qui existe entre eux .

 

Il existe une proportion entre le poids d’un objet et son volume ; entre le prix d’un objet et sa grandeur ( masse , capacité , longueur, …) ; entre un travail  et le temps mis pour le réaliser . Il existe une relation entre la distance parcourue en un temps donné et la vitesse de la marche ; entre le temps nécessaire  pour faire un devoir  et la longueur de ce devoir .

Toutes ces grandeurs sont dites : directement proportionnelles .

 

Au contraire , que plus on marche vite  , moins de temps on mettra à parcourir une distance ; que plus on écrit vite , moins de temps il faudra pour écrire une page ; que plus on emploie d’ouvriers , moins de temps on mettra  pour faire un ouvrage ; plus un champ rectangulaire est long  , moins il sera large pour une même superficie ,… Toutes ces grandeurs sont dites : inversement  proportionnelles.

 

NOTION de «  Quantités proportionnelles »

INFO PLUS +++

 

Deux quantités varient souvent dans le même rapport : si l’une  croît ou diminue  , l’autre augmente ou diminue dans le même rapport : ainsi le prix d’une marchandise croît avec la quantité ( masse , capacité , longueur, …) ; le salaire avec les journées de travail ; le temps nécessaire pour effectuer un parcours en fonction de la vitesse moyenne ;…

 

 

Un salarié en 5 jours gagnera cinq fois plus qu’en un jour  et de fois moins qu’en dix jours ; 20 kg  de pommes vaudront  5 fois plus que 4 kg ; le temps pour fabriquer 30 objets sera 6 fois plus grand que pour en fabriquer  5 . Ces quantités sont directement proportionnelles .

 

DEFINITION :

            Deux grandeurs qui dépendent l’une de l’autre sont directement proportionnelles lorsque , l’une d’elles devenant 2 ; 3 ; 4 ; … ;n fois plus grande  ou plus petite , l’autre devient , 2 ; 3 ; 4 ; … ;n fois plus grande  ou plus petite.

 

 

 

 

 

 

 

Les quantités inversement proportionnelles :

Info plus +++

 

 

 

Exemples : Plus on emploiera de salariés pour faire   un travail , moins de temps on mettra ; la vitesse d’un train est inversement proportionnelle à la durée du trajet . Le nombre de journées nécessaires pour accomplir un ouvrage est inversement proportionnel au nombre d’heures de travail par jour , etc.  

 

 

Définition : deux grandeurs qui dépendent l’une de l’autre  sont inversement proportionnelles lorsque , l’une d’elles devenant 2 ; 3 ; 4 ;… n fois plus grande ou plus petite , l’autre devient  en même temps 2 ; 3 ; 4 ;… n fois plus petite  ou plus grande .

 

 

Les grandeurs proportionnelles permettent de résoudre un grand nombre de problèmes pratiques tels que les calculs des salaires , des prix , des intérêts , de l’escompte , des bénéfices , des alliages et répartitions proportionnelles , des impôts , etc.

 

Dans la plupart des cas , elles se résolvent au moyen de la « règle de trois » .

 

Dans le calcul des grandeurs proportionnelles , les rapports peuvent être plus ou moins nombreux et se combiner entre eux  de divers façons donnant tantôt des proportions directes , tantôt des proportions inverses . Il importe pour ne pas se tromper de faire attention à la nature de ces divers rapports.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

 

1°) Quand dit-on que deux grandeurs sont proportionnelles ?:

 

2°) Quand dit-on que deux grandeurs sont inversement proportionnelles ?:

 

 

 

EVALUATION:

 

1°) Si deux  livres coûtent 56 francs ; combien coûteront trois livres ; sept livres ; dix livres ?

 

2°) Un salarié gagne 1600 F pour quatre jours de travail . Combien recevra -t-il  pour une semaine de cinq jours ? pour 15 jours ; 24 jours ?

 

 

>