LES FRACTIONS:rendre une fraction irréductible

Pré requis:

Sciences : simplification de fraction et « irréductible »
Fraction : nomenclature
Calcul du PGCD
Nombres premiers entre eux

ENVIRONNEMENT du dossier :

Vue en de CLASSE : 6^éme

Index warmaths

Objectif précédent :

simplification d’une fraction

Objectif suivant :

1°)la fraction décimale.

2°) la Fraction représentant un nombre décimal

Tableau 100

1°) Thème Calcul numérique

2°)La fraction (info)

DOSSIER : Rendre une FRACTION IRREDUCTIBLE


TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité : liste n°1 de fiches	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				Liste N°2
				Fiches 161

COURS

Par définition:

Une fraction est dite « irréductible » si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux .

(Rappel info @ l :deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1)

Remarque : Il y a plusieurs procédures (méthodes) permettant de rendre irréductible une fraction :

Méthode1:

procédure	Exemple : rendre irréductible la fraction :
1°) décomposer le numérateur en produit de facteurs premiers. Indicer les facteurs identiques	120= 2 x2 x 2 x3 x 5 120= 2₁x2₂x2₃x3₁x5₁
2°) décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers. Indicer les facteurs identiques	180 = 2₁x2₂x3₁x3₂x5₁
3°) reposer l'égalité	=
4°) supprimer les facteurs commun au numérateur et dénominateur de même indice	=
5°) rendre compte	=

Remarque : on pourrait remplacer les facteurs communs de même indice par "1"

= reste 2_{3 en numérateur} et 3_{2 en dénominateur}

*Cas particulier : cas où il n'y aurait plus de nombres au numérateur :

exemple : on veut rendre irréductible la fraction

attention si au numérateur (ou au dénominateur )tous les facteurs communs de même indice s’annulent , les facteurs disparaissent mais il faut mettre l’élément neutre 1 en numérateur; tel que :

= =

Méthode 2:

pour rendre une fraction irréductible il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Commentaire : il faut calculer le PGCD des deux nombres ; cela revient à calculer le plus petit commun multiple de deux nombres

Procédure :

Exemple : rendre irréductible la fraction

I ) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers et chercher le PGCD de ces deux nombres.

I ) On calcule le PGCD de 42 et 105: ...on trouve 21

II ) Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD

II ) on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD par 21:

ce qui donne:

42 : 21 = 2

105 : 21 = 5

III) On exprime le résultat :

III ) Résultat : = =

IV ) Conclusion

IV ) est la fraction irréductible représentante de la fraction

V) Vérification:

V) Faire le produit en croix de =

Calcul de 42 fois 5 = 210

Calcul de 105 fois 2 =210

Les résultats étant identique on peut conclure que "les fractions sont équivalentes"

Pour confirmer "l'irréductibilité" il faut :

On sait que : une fraction est dite « irréductible » si le numérateur et le dénominateur sont premier entre eux. ;On sait aussi que deux nombres sont « premiers entre eux » si leur PGCD vaut 1 .

On doit faire le PGCD de la nouvelle fraction trouvée ( 2/5)

Ainsi , on calcule le PGCD de 2 et 5 :

le PGCD de deux et cinq vaut « 1 » ,on peut donc confirmer et conclure que la fraction est irréductible puisque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

METHODE 3 :

Procédure permettant de rendre irréductible une fraction:

Pratiquement (pour aller plus vite)

Enoncé type: rendre irréductible la fraction

Résolution type:

I) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.

on décompose 42 et 105 (42 = 2 x 3 x 7 et 105 = 3 x 5 x 7)

ce qui donne:

II)Remettre les produits sous forme fractionnaire:

Ecriture fractionnaire:

III )Barrer les facteurs communs (autant dans l’un que dans l’autre ,ceux ayant même indice)

On barre tous les facteurs communs (ayant même indice):(cela revient a les remplacer par l’élément neutre de la multiplication 1 ).

= = (il nous reste en numérateur 2 et en dénominateur 5)

IV) Exprimer le résultat:

Résultat: =

AUTRES EXEMPLES :

(il faut passer par les « puissances de dix » pour aller plus vite ; si L’objectif Puissance 1 à été fait ;ensuite voir « puissance 2 » cas « puissance d’une fraction » ;

Exemple : Rendre irréductible