Pré requis: 

Sciences : simplification de fraction et « irréductible »

Fraction : nomenclature

Calcul du PGCD

 

Nombres premiers entre eux

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

 

 

Vue en de CLASSE   : 6éme

Index warmaths

Objectif précédent :

  1. simplification d’une fraction
  2. Savoir transformer une écriture fractionnaire en fraction.

Objectif suivant :

1°)la fraction décimale.

2°) la Fraction représentant un nombre décimal

 

Tableau  100

1°) Thème Calcul numérique

2°)La fraction (info)

DOSSIER :  Rendre une   FRACTION IRREDUCTIBLE

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité :  liste n°1 de fiches

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

Liste N°2

 

 

 

 

 

 

 

Fiches 161

 

 

 

 

 

COURS

 

Par définition:

Une fraction est dite « irréductible » si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux .

        (Rappel info @ l :deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est  égal à 1)

 

Remarque :  Il y a plusieurs procédures  (méthodes)   permettant de rendre irréductible une fraction :

 

Méthode1:

procédure

Exemple : rendre irréductible la fraction :

1°) décomposer le numérateur en produit de facteurs premiers.

Indicer les facteurs identiques

  120= 2 x2 x 2 x3 x 5

   120= 21x22x23x31x51

2°) décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers.

Indicer les facteurs identiques

180 = 21x22x31x32x51

 

3°) reposer l'égalité

=

4°) supprimer les facteurs commun au numérateur et dénominateur de même indice

=

5°) rendre compte

=

 

Remarque : on pourrait remplacer les facteurs communs de même indice par "1"

                                     =     reste  23 en numérateur et 32  en dénominateur

 

*Cas particulier : cas où il n'y aurait plus de nombres au numérateur :

                 exemple : on veut rendre irréductible la fraction        

 

          attention si au  numérateur (ou au dénominateur )tous les facteurs communs de même indice  s’annulent , les facteurs disparaissent  mais il faut mettre  l’élément neutre  1 en numérateur;  tel que :

 

            =    = 

 

 Méthode 2:

                     pour rendre une fraction irréductible il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

 

 

                            Commentaire :    il faut calculer le PGCD des deux nombres ; cela revient à calculer le plus petit commun multiple de deux nombres

 

Procédure :

Exemple : rendre irréductible la fraction  

 

I ) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers et chercher le PGCD de ces deux nombres.

I ) On calcule le PGCD de 42 et 105:  ...on  trouve   21

 

II ) Diviser  le numérateur et le dénominateur par leur  PGCD

 

II ) on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD par 21:

ce qui donne:

                 42 : 21  = 2

                105 : 21  = 5

III) On exprime le résultat :

 

III ) Résultat :   =    =  

 

IV ) Conclusion

IV  )     est la fraction irréductible représentante  de la fraction   

 

V)  Vérification:

 

V)  Faire le produit en croix de   =   

 

Calcul de 42 fois 5  = 210

Calcul de 105 fois 2 =210

Les résultats étant identique on peut conclure que "les fractions sont équivalentes"

 

 

Pour confirmer "l'irréductibilité" il faut :

                   On sait que :  une fraction est dite «  irréductible » si le numérateur et le dénominateur sont premier entre eux. ;On sait aussi que deux nombres sont « premiers entre eux »  si leur PGCD  vaut 1  .

 

 

On  doit faire  le PGCD de la nouvelle fraction trouvée  ( 2/5)

Ainsi , on calcule le PGCD de 2 et 5 :

                   le PGCD de deux et cinq vaut  « 1 »  ,on peut donc confirmer  et conclure que la fraction     est irréductible puisque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

 

 

 

METHODE 3 :

Procédure permettant de rendre irréductible une fraction:

 

 Pratiquement (pour aller plus vite)

 

Enoncé  type: rendre irréductible la fraction  

 

Résolution type:

I) Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.

             on décompose 42 et 105   (42 = 2 x 3 x 7  et 105 = 3 x 5 x 7)

ce qui donne:

II)Remettre  les produits sous forme fractionnaire:

                   Ecriture fractionnaire:

                     =   

III )Barrer les facteurs communs (autant dans l’un que dans l’autre ,ceux ayant même indice)

           On barre tous les facteurs communs  (ayant même indice):(cela revient a les remplacer par l’élément neutre de la multiplication 1 ).            

      = = (il nous reste en numérateur 2 et en dénominateur 5)

 

 IV) Exprimer le résultat:

                  Résultat:         =

 


 

AUTRES EXEMPLES :

 

(il faut passer par les « puissances de dix » pour aller plus vite  ;  si L’objectif  Puissance 1  à été fait ;ensuite  voir « puissance 2 »  cas « puissance d’une fraction »   ;

 

Exemple :   Rendre irréductible

=  

 

Plusieurs solutions sont possibles  :

a)  Première solution :   la plus rapide : « il suffit de barrer autant  de zéros en haut et en bas ».

=

==


b)  Deuxième solution :  "on passe " par  les puissances de dix » ;

cela donne pour  :

1°)

 

2°)

180000 = 232104

 

3°)

120000 = 223104

 

4°) ce qui donne la fraction écrite 

 =

 

 

Autres exercices résolus :

A ) Rendre irréductible :

 

 

 

 

=====        soit                =

 

 

B)  rendre irréductible :

 

====-200

 

 

 

 

 

Autres façons de traiter les deux exercices précédents  ( voir Objectif puissance 3)

A )

 

 

B)

 

 

ALGEBRE:

 

Rendre irréductible:

 

Résultat:

   ; "x" est le PGCD de 3x et xy

 

  ; idem x" est le PGCD de x et xy

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

1.       Que signifie  l’expression « fraction réductible »?

2.    Que veut dire « rendre irréductible une fraction »?

3.    Quelle est la procédure qui permet de rendre irréductible une fraction?

4.     A quelle condition dit-on que la fraction est irréductible?

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

1°)  Rendre irréductible les fractions suivantes:

(On dit aussi :   Rendre les fractions suivantes irréductibles):

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)  Simplifier jusqu’à rendre irréductible les fractions suivantes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réduire :  (en dernier lieu faire le calcul )

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul Algébrique :

 Rendre irréductible les expressions suivantes :

 

Réponses

 

 

 

(Voir document personnel pour autres exercices)

 

 

Interdisciplinarité

 

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