initiation à la démonstration , prérequis theorèmes_propriétés basiques

 

 

 

 

Classe de 4ème collège .

Programme classe de 4ème collège..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pré requis:

 

Vers  le corrigé

 

« lire un énoncé et  Rédiger » 

 

Collège : les définitions ;propriétés  et description des quadrilatères

 

Collège : les définitions ; propriétés et description des triangles.

 

Liste des Objectifs

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index  warmaths       Boule verte

NOTIONS   Sphère metallique

 

Objectif suivant :

1°) La démonstration « série 1 » .

2°) Suite   Sphère metallique

 

Liste des cours de géométrie plane

 

tableau    Sphère metallique

 

 

 

 

DOSSIER :   « Bases sur  LA DEMONSTRATION »  au collège

 

 

 

Fiche 1 : Constations  et démonstration.  

 

 

 

Fiche 2 : A quoi sert un théorème ?

 

 

Fiche 3 . Quelles propriétés utiliser dans les démonstrations ?

 

 

Fiche 4 : A propos des dessins .

 

 

Fiche 5  Droites parallèles.

 

 

Fiche 6 : Parallèles coupées par une sécante.   (angle alterne , externe ……)

 

 

Fiche 7 : Une façon de démontrer que des droites sont parallèles.

 

 

Fiche 8 : Somme des angles d’un triangle.

 

 

-         Somme des angles d’un quadrilatère non croisé.

 

 


 

 

 

COURS

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Constations  et démonstration.  

Info ++ droites remarquables et triangle rectangle  

 

 

Ci-contre voici un cercle .

[ AB]  est un diamètre de ce cercle.

« M » est un point de ce cercle.  ( « M » est distinct de « A » et « B » ).

Activités :

Tracez les demi-droites [ MA   et [ MB.

 

A l’aide de votre rapporteur mesurez  l’angle :  .

(angle de sommet « M »)

Vous trouvez approximativement : ………………..° 

demonstration001

 

 

-        Prenez sur le cercle un nouveau point distinct de « A » et « B ». Appelons le « N » .

-        Tracez  les demi-droites  [ NA       et    [NB , mesurez .

Vous trouvez approximativement : ………………..°

 

 

-        Choisissez sur le cercle d’autres points  (distinct de « A » et « B ».)

-        Tracez les demi- droites , mesurez l’angle .

-        Vous trouvez approximativement : ………………..°

 

 

 

A )   Les essais successifs que vous venez de faire  vous suggèrent l’énoncé suivant :

 

 

Etant donné un cercle de diamètre [ AB]  , pour tout point « M » du cercle  distinct de « A » et « B »  , l’angle  . est de …90°….

 

 

 

 

 

Ces activités appellent deux remarques :

1°) Comme il y a une infinité de possibilités de prendre « M » sur le cercle ,

       Vous ne pouvez pas mesurer tous les cas .

        Vous ne pouvez donc pas dire que « dans tous les cas »   =  90° ;

 

2°) Les mesures que vous venez d’effectuer , aussi précises soient – elles , sont toujours  « approximatives » :  90,5° ; 89,7° ; 89,99° ; ……. Vous ne pouvez donc pas dire que     est exactement égal à  90° ;

 

 

 

  B ) Vous concevez alors que pour pouvoir affirmer ce que vous venez de constater, il est indispensable de faire un raisonnement.

 

Pour cela, partant de ce qui est donné et que l’on appelle « l’hypothèse », grâce à un raisonnement déductif que l’on appelle une « démonstration » , on aboutit à ce que vous avez constaté et que l’on appelle « la conclusion ».

Dans l’exemple que nous avons vu , l’hypothèse est :

 

 

[ AB]  est le diamètre du cercle,

« M » est un point quelconque du cercle   « M  A »   ,  « M  B ».

 

 

La conclusion est ………  =  90° ……

 

 

La démonstration sera faite ultérieurement…….( leçon 14 ) , vos connaissances  que vous êtes supposées posséder en mathématiques ne sont pas suffisantes pour la faire maintenant ……..

 

 

 

 

 

Ø L’énoncé d’une propriété importante que l’on a démontrée s’appelle « un théorème ».

 

Il se présente de la manière suivante ( prés traduction) :

 

« si l’hypothèse est vraie , alors la conclusion est vraie. »

Sous-entendu , grâce à une démonstration qui a été faite une fois pour toutes.

 

Ø Dans le cas présent , le théorème pourrait s’énoncer de la manière suivante :

 

 

 

Théorème :

                                  Si  [ AB] est un diamètre d’un cercle et « M » un point quelconque de ce cercle  , « M  A »   ,  « M  B »., alors     est égal à  90° .

 

 

 

 


 

 

Fiche 2 : A quoi sert un théorème ?

 

 

 

 

 

 

Voici , ci – contre , deux cercles «  C  »   et « C’  »de centre « O » et « O’ »  et qui se coupent en « A » et « B ».

 

Tracez ( AO)  et  ( A O’) .

 

( AO) recoupe  le cercle  «  C  »   en « D ».

( A O’) recoupe  le cercle « C’  » en « E » .

 

A votre avis , les points « D » , « B » , « E » sont-ils alignés ?......

 

Apparemment « oui » ….. !

Mais peut-être sont-ils « presque alignés » et peut-être qu’en faisant une autre figure, on ne les trouverait pas du tout alignés.

demonstration002

 

 

 

 

 

La seule façon d’en être certain, c’est de faire une……………………………………….

Pour cela on va vous aider car vous n’avez pas encore assez d’expérience .

 

 

 

Pour le cercle «  C  »    que pouvez –vous dire de [ DA ] ? ……………………………………………………. ;

Tracez  [ AB    et  [ BD   . A quoi cette situation vous fait-elle penser ? ……………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

 

En admettant que cette propriété ait été  démontrée ( ce qui se fera dans la leçon n°…), quelle conclusion pouvez-vous tirer dans le cas présent ? …………………………………………………………………..

 

De même , avec le cercle « C’  », que pouvez-vous affirmer que    = ……………………?

 

 

 

§  Considérons :   ;     = 

Donc   :   =  ……° 

Donc     est un angle ……………….. ; donc les points « D » , « B » , « E »  sont ………………………………………………

 

 

 

 

 

§  Dans ce qui vient d’être fait , vous avez  pu constater que tout n’a pas été démontré.

 

En effet : pour prouver que  = 90° , on a utilisé le théorème de la fiche 1 . mais lui , est censé être démontré une fois pour toutes.

 

Vous  voyez alors qu’une démonstration apparaît comme une construction dans laquelle on utilise des éléments préfabriqués :

Ces éléments préfabriqués sont les théorèmes ( ou propriétés démontrés ou admises ).

La rédaction d’une démonstration consistera à faire comprendre au lecteur que l’on est dans la situation d’application de ce théorème ( ou de cette propriété).

 

 

 

 

 

§  Voici comment il faut rédiger cette démonstration :

 

Tout d’abord , commencez par faire l’inventaire des données de problème ( c’est l’hypothèse ) et précisez ce que vous voulez prouver ( c’est la conclusion ) .

 

 

Hypothèse :

Les  cercles «  C  »   et « C’  » se coupent en « A » et « B ».

[ DA ] est un diamètre de «  C  »  

[ EA ] est un diamètre de  « C’  ».

 

 

Conclusion : ………………………………………………………………………………..

 

 

 

Démonstration :

Dans le cercle «  C  »   , par hypothèse , [ DA ] est …………………………………………………………………….et « B »  est un point du cercle donc , grâce au théorème de la fiche « 1 » , = ………………………….. .

Dans le cercle « C’  », par hypothèse ,……………………………………………………………………………………….et ………………

………………………………………………………..

Donc grâce au théorème de la fiche 1 , ……………………………..

 

Puisque   =     ; donc   :   =  ……°   ; donc   est un angle , donc les points « D » , « B » , « E »  sont ………………………………………………

 

 

 

Attention :

Avant de dire  « grâce  au théorème …. » il faut bien expliquer que l’on est dans  la situation de  l’hypothèse de ce théorème .

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 . Quelles propriétés utiliser dans les démonstrations ?

 

 

 

En rédigeant une démonstration, vous êtes censé vous adresser à quelqu’un.

Pour faire des  démonstrations, vous avez besoin d’utiliser des définitions et des propriétés . IL est alors nécessaire que celles –ci soient connues de votre interlocuteur.

C’est la raison pour laquelle nous allons récapituler dans les premières leçons celles que  vous avez rencontrées dans les années précédentes et qui constitueront le catalogue de ce que vous aurez droit d’utiliser dans vos démonstrations.

 

§  Nous ne démontrerons pas ces propriétés.

Pour certaines , vous en avez déjà fait la démonstration en classe de 6ème te de 5ème .

Pour d’autres , la démonstration n’a pas été faite car elle est un peu compliquée mais on peut vous affirmer  que cette démonstration existe.

 

Pour d’autres , il n’y a pas de démonstration à faire , ces propriétés sont prises comme base , comme point de départ. Les mathématiciens les appellent des « axiomes ».

 

On ne fera pas  ici de distinction entre les propriétés  admises ou démontrées en  6ème te de 5ème  et les axiomes .

Par contre , les propriétés que l’on démontrera  , seront appelées « théorèmes »

 

Voici une propriété qu’il n’y a pas lieu de démontrer :

 

 

 

Propriété 1 :

Par deux points distincts , il passe une droite et une seule.

 

 

 

 

 

Vous pouvez vous demander : « pourquoi énoncer une propriété qui paraît évidente ».

Pour la simple raison que si l’on ne l’énonçait pas , rien ne pourrait nous empêcher de dire que : « par deux points distincts il passe plusieurs droites. »

Dans cette situation , vous pouvez imaginer , les conséquences qui en découleraient ;:

Par exemple : avec 3 points , on aurait plusieurs triangles ayant ces points pour sommets sans que ces triangles soient superposables .

 

Vous voyez alors que cette mise au point est indispensable.

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : A propos des dessins .

 

 

 

 

 

 

Toutes les fois que vous aurez à résoudre un problème de géométrie  , vous ferez un dessin ( on appelle aussi : figure ).

Mais attention, cette figure n’est pas l’objet mathématique de l’énoncé.

Cette figure est « une représentation » de cet objet mathématique.

 

 

 

Exemple :

Dans le cas d’une droite, vous tracez un trait comme ci-contre :

Mais ce trait n’st pas une droite .

D’abord parce qu’une droite est illimitée et ensuite

demonstration003

 

 

Si on regardait ce dessin au microscope , vous verriez quelque chose comme le dessin ci-contre.

demonstration004

 

 

 

Donc ce « trait »   n’est pas une droite mais par convention il représente une droite.

 

 

 

 

 

Un dessin est utile pour avoir une vue d’ensemble des données du problème.

Il permet d’avoir instantanément le nom des différents éléments : points , droites , polygones , etc….

 

Parfois il peut mettre sur la voie lors de la recherche.

Mais attention !  En aucun cas un dessin ne peut constituer une démonstration .

Si vous dîtes « on voit bien que ….. » . Tu fais une  ……………, mais ce n’est pas une ;…démonstration

 

 

 

 

 

§  Attention aux figures particulières : elles introduisent des propriétés qui ne sont pas dans l’énoncé.

 

Exemples :

 

-        Si on vous dit de tracer un triangle quelconque , évitez de le faire « isocèle ».

-        Si on vous dit de tracer un quadrilatère , évitez de faire un rectangle.

 


 

 

 

 

 

Fiche 5  Droites parallèles.

Info +++@ les parallèles .

 

 

 

 

 

Nous allons récapituler ici les propriétés du parallélisme étudiées en « P. 6ème » et   «P.  5ème » .

 

 

 

 

 

Définition :

Deux droites parallèles sont deux droites d’un plan qui n’ont pas de point commun ou qui sont confondues.

 

 

 

Si des droites d’un plan ne sont pas parallèles , elles sont « sécantes »….

Lorsque des droites sont parallèles , on dit qu’elles ont « même direction » .

 

 

 

 

 

Propriété 2 :

Etant donné une droite et un point , il existe une et une seule droite passant par un point et parallèle à la droite donnée.

 

 

 

 

 

Autre forme :

Si des droites ont un point commun et sont parallèles à une autre droite alors elles sont ……parallèles ……

 

 

 

Cette propriété est communément appelée « axiome d’ Euclide ».

 

 

 

Exemple de démonstration  utilisant l’axiome d’ Euclide.

 

 

ci-contre , voici une droite « d » et un point « M » quelconque.

« A » , « B » , « C » , « D »  sont 4 points de la droite « d ».

Placez les points « E » et « F » tels que « ABME » et « MCDF » soient des parallélogrammes.

Démontrez que « E », « M » « F » sont alignés.

demonstration005

 

 

Résolution :

 

On commence par écrire les données ( hypothèse) et la conclusion.

 

Pour cela on extrait de l’énoncé les données essentielles.

Par exemple, n’écrivez pas « E est le point tel que « ABME » soit un parallélogramme ».

Mais écrivez tout simplement «  ABME  est un parallélogramme ».

 

 

 

Déroulement de la recherche : ( à ne pas écrire dans la rédaction d’un devoir)

 

Dire que « E », « M » « F » sont alignés. C’est dire que  « E », « M » « F » sont situés sur la même …droite…. Ou encore  que la droite ( EM )est la …même….. que la droite ( MF ).

 

Un parallélogramme  est un quadrilatère  dont les côtés opposés sont  parallèles …..

Vous en déduisez donc que  ( EM) est parallèle à ( AB)  c'est-à-dire à la droite « d »  et que  ( MF ) est parallèle à (CD)  c'est-à-dire parallèle à la droite « d ».

On est donc en présence de deux droites  passant par un même point ( le point « M ») et qui sont toutes les deux parallèles à un même droite ( la droite « d » ).

On est donc dans la situation de l’axiome d’ Euclide :

  ( EM ) et ( MF ) sont donc parallèles  et par suite   « E », « M » « F » sont alignés.

 

 

 

 

 

Rédaction de la démonstration :

 

 

Par hypothèse « ABME » est un parallélogramme donc ( EM) est ….parallèle… à ( AB) et comme par hypothèse « A » et « B » sont situé sur « d »  , alors (EM) est parallèle à  « d » .

Par hypothèse  « MCDF » est un parallélogramme  donc  ( MF)  est  parallèle  à ( CD)  et comme par hypothèse « C » et « D » sont situé sur « d »  , alors (MF) est parallèle à  « d » .

Puisque ( EM)  et ( MF ) sont toutes deux parallèles à « d » et passant par le point « M »    alors grâce à l’axiome d’ Euclide  , elles sont parallèles  donc  « E », « M » « F » sont alignés.

 

 

 

 

 

 

Autre propriété du parallélisme.

 

 

 

 

 

Propriété 3 :

Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

 

 

 

 

 

On traduit cette propriété en disant que le parallélisme des droites est une relation « transitive » et on parle de la « transitivité  du parallélisme ».

 

 

 

 

 

Exemple : Sachant que « d » est parallèle à « d’ »  et « d’ » parallèle à « d’’ ». On dira que « d » est parallèle à « d’’ » grâce à la transitivité du parallélisme.

 

 

 

 

 

Fiche 6 : Parallèles coupées par une sécante.

Info +++@ ….sécantes et  les angles…

 

 

 

 

 

« xx’ »  et « yy ‘» sont deux parallèles.

Une droite « zz’ »  coupe   « xx’ » en « A » et « yy’ » en « B ».

Ces droites déterminent entre elles  « 8 » angles.

 

Passez de la même couleur ceux qui sont égaux.

( Ne coloriez que la région du sommet )

demonstration006

 

 

Vocabulaire :

 

 

Des angles tels que ..

demonstration007

sont appelés des angles alternes internes

 

Des angles tels que ..

demonstration008

sont appelés des angles alternes externes

Des angles tels que ..

demonstration009

sont appelés des angles correspondants

 

 

 

 

Propriété 4 :

Si des droites sont parallèles alors toute sécante détermine avec elles/

-        Des angles alternes internes égaux.

-        Des angles alternes externes égaux.

-        Des angles correspondants  égaux.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 7 : Une façon de démontrer que des droites sont parallèles.

 

 

 

 

 

 

Vous avez vu  en 5ème  que :

 

 

Propriété 5 :

Si deux  droites déterminent une sécante détermine avec elles/

-        Soit des angles alternes internes égaux.

-        Soit des angles alternes externes égaux.

-        Soit des angles correspondants  égaux.

Alors les deux droites sont ..parallèles……

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

On donne  sur une droite « xy » deux points « E » et « F ».

 

[ Eu   et  [ Fv    sont  2 demi-droites de supports parallèles et situées dans un même demi-plan de frontière « xy ».

Tracez  [ Ez  bissectrice  de     et  [ Ft     bissectrice de  .

 

Démontrez que [ Ez  et  [ Ft       ont des supports parallèles.

demonstration010

 

 

 

 

 

Hypothèse

 

 

[ Eu  //  [ Fv      

[ Eu  et  [ Fv       dans un même demi-plan  de frontière « xy ».

[ Ez  bissectrice  de    

[ Ft     bissectrice de  .

 

 

 

Conclusion :

 

 

 

 

 

Démonstration :

 

 

[ Eu  et  [ Fv     étant situé (par hypothèse)  dans un même demi-plan  de frontière « xy ».

  Les angles     et    occupent la position de ………………………..et comme [ Eu  //  [ Fv     ont des supports parallèles, alors , grâce à la propriété   ……….     ……=….. 

·       Par hypothèse [ Ez  est  bissectrice  de     alors ,par définition ,

·       Par hypothèse [ Ft  est  bissectrice  de     alors ,par définition ,

Puisque     =    alors    =   donc  

 

·          occupent la position de ……………………  et comme  alors , grâce à la propriété ………., [ Fz  et  [ Fv     ont des supports ..parallèles…..

 

.

 

 

 

 

 

Fiche 8 : Somme des angles d’un triangle.

Info +++@ somme des angles dans un triangle.

 

 

 

 

 

Vous avez vu en 5ème que :

 

 

Propriété 6 :

Dans tout triangle , la somme des angles est égale à …180°….

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

 

« ABC » est un triangle  tel que :    et 

 

Calculez la valeur de

demonstration011

 

 

Rappels :

-        Deux angles  dont la somme est de 90°  sont dits : ..complémentaires..

-        Deux angles  dont la somme est de 180°  sont dits : ..supplémentaires..

-        Dans tout triangle rectangle  , les angles  autre que l’angle droit sont aigus et …complémentaires..

 

 

 

 

 

 

Activité 2 :

 

 

« DEF » est un triangle rectangle en « E » tel que

 

[ EH ]  est la hauteur.

 

Calculez :   ,    , et 

demonstration012

 

 

 

 

 

Activité 3 :

 

 

Dessinez en plus grand le triangle « PNM ».représenté grossièrement ci -contre.

demonstration014

demonstration013

 

 

Le côté [ MN] est déjà placé ci-contre

.  et

Tracez  la hauteur [ PK ].

Tracez la bissectrice  [ PJ  de  .

Calculez les angles suivants :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 4 :

 

 

Somme des angles d’un quadrilatère non croisé.

Info ++ sur les quadrilatères…

 

 

 

 

Voici ci-contre deux quadrilatères non croisés.

Quelle est la somme des angles de chacun de ces quadrilatères.

Comment fait-on pour calculer cette somme ?

 

On trace [ FH ]  et [ CA ] , pour découper les figures en une somme de deux triangles… ( 180 + 180 = 360° )

demonstration016

demonstration015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

 

A voir

 

 

EVALUATION:

 

 

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