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Niveau Vi et V |
DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Pourcentages / Objectif cours 46 |
Pré
requis
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Fractions
équivalentes (égalité de deux fractions ) |
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Multiplication
de deux fractions |
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Multiplication
d'une fraction par un nombre |
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A propos de
"a%" |
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
DOSSIER : Pourcentage et
augmentation en a%
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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Objectif : Augmentation en a%
INFO :
Définition de l ’
Objectif : Savoir trouver la
Nouvelle Grandeur ( NG) d’une Grandeur de Départ (GD) ayant subit une augmentation
de a% .
Cas de la vie courante : sur une affiche on lit :
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à vendre : 1200 €
hors taxe (taxe 25%) |
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Quelle somme réelle doit - on verser ?
les réponses seront données à la fin du
cours !
Pour trouver la « Nouvelle Grandeur »(prix après
augmentation) d’une
« Grandeur de Départ » (prix avant
augmentation) ayant subit une augmentation , il faut :
n
que la « Grandeur de
Départ » (prix avant augmentation) notée (GD)
représente 100% de sa valeur de départ.
n
que l ‘ « augmentation» (différence
entre le prix avant augmentation et le prix après augmentation)
représente « a% » de
cette « Grandeur de Départ » (prix avant
augmentation).
On peut ainsi conclure que :
Le prix à payer : c’est
à dire La Nouvelle Grandeur (NG) sera
égale à 100 / 100 de la grandeur de
départ (GD) plus le « a % «
de cette Grandeur de Départ ( GD) ..
Ce qui se traduit par
l’égalité mathématique suivante :
(1) NG = (100 / 100) GD + (a / 100) GD
si l ’on pose
NG = y ; GD = x
; on remplace dans la relation
(1) :
y = (
) x + (
)
x
ce qui
donne en factorisant :
|
Nous remarquons que
les deux termes ( |
si problème SOS cours : Factoriser |
y = x (+)
A savoir :
|
en regroupant les termes dans la parenthèse , on obtient : |
y = ( |
Traitement mathématique de l’équation :
y = ( 
)
x
( on appellera « traitement » les
transformations possibles de l’égalité en vue de trouver « y » ;
« a » ou « x ». )
Il faut se souvenir que :
« y » est l’ensemble
d’arrivée ; ( en économie on dira que c’est le prix à payer après
augmentation ).
« a » est la valeur de l’échantillon
pour cent de l’ensemble de départ.
« x » est de l’ensemble de départ (en économie ce serait le prix que l’on
payerait avant (ou sans) augmentation.
Premier calcul : rechercher la valeur après
augmentation
On utilise l’égalité : y
= ( )
x
On conclut que « le prix à payer après
augmentation » est de : ( )
x
Application :Un objet
est à vendre à 1200 € hors taxe
,la taxe est de 25%. Quelle somme
payerez vous ?
Résolution
Calcul direct :
1°) on pose :
y =
( )
x
2°) on identifie :
« y »= ? ;
« x » = 1200 € ;
« a » = 25
3°)on remplace
dans (1) :
y
= ( (100+ 25 ) /100 )
1200
€
4°) Calculs :
( (100 +25 ) /100 )1200
F = (( 125)/ 100) )1200
€
= 1,25 1200
€
=
1500 €
5°) Conclusion :
le prix à payer après l ’ augmentation
de 25 % est de 1500 €
On peut trouver le
résultat par une autre méthode :
1° )On calcule la valeur de la remise avec la relation y = (
a /100) x
2°) On pose : prix à payer =
prix affiché + la taxe (en € .)
Deuxième type de calcul
: On recherche le prix avant augmentation :
Soit
l’égalité : y = ( )
x
Nous obtenons après transformation: x =
y / ( )
On conclut que
« la somme » affichée avant réduction
était » de :
y
/ ( )
Application : Un Objet est vendu
toutes taxes comprises 1500 €
( de 25 %) quel était son hors
taxe ( H.T.) ?
Résolution :
1°) On pose la relation y
= ( )
x
2°) On identifie :
« y » = 1500 € (prix à payer après
réduction)
« a » =
25 ; « x » = ?
3°) On remplace
dans (1) :
1500
€ = (( 100 + 25 ) / 100 ) x
4°) Calculs :
1500 € =
(125 /100) x
1500 € =
1,25 x
1500 € /
1,25 =
x
1 200 € = x
5°) Conclusion :
Le prix avant augmentation ( dit aussi « hors taxe » ou
noté H.T. ) était de 1 200 €
Il n’y a pas d ’autres
méthodes !
Troisième type de calcul :rechercher le % d’augmentation :
soit l’égalité :
y = ( )
x
nous obtenons : après transformation
successive :
100y / x = 100 + a
(100y /
x ) - 100 = a
On conclut que
« le taux de l’augmentation » est de : = (100 y / x) - 100
Application : Un Objet est vendu 1500 € après
« augmentation » ;Son prix avant augmentation était de 1200 € . Quelle est le pourcentage
de l’ augmentation ?
Résolution :
1°) On pose la relation y = ( )
x
2°) On
identifie : « y » = 1500
€ (prix à payer après augmentation)
« a » = ?
; « x » = 1200 €
3°) On remplace
dans (1) :
1500 €
= (( 100 +a ) / 100 ) 1200 €
4°) Calculs :
1500 €
/ 1200 € = (100 +a )
/100)
1,25 =
(100 +a ) / 100
1,25 100 =
100 + a
125 = 100
+ a
125-100 =
a
a =
125 - 100
a = 25
5° ) Conclusion :
si
« a » = 25 ; alors
« a% » = 25 %
Le
taux de l ’ augmentation est de 25 %
Autre méthode :
On calcule la valeur de
l ’ augmentation en « francs »
1500 €
- 1200 € = 300 €
On pose : y = (a /
100) x ;
avec « y » = 300 €
; « a » = ? ; « x » = 1200 €
(voir objectif « a% »)
Ce qui donne :
« a % »= 25 %
TRAVAUX AUTO FORMATIFS :
1°) Soit une grandeur donnée (un prix ; une masse ;....) ;
on prévoit de l ‘ augmenter d’un
« certain » pourcentage ( a%).Traduire de façon
« mathématique » ce à quoi est
égale la nouvelle grandeur .
2° ) Mettre sous la forme d’ une équation
mathématique :
Nouveau Prix =
(100 / 100) Ancien Prix + (a /
100) Ancien Prix
avec « y » =
NP ; « x » = A.P.
*+ + Montrer
que nous avons à faire une
application linéaire !
++ Donner la forme de la représentation
graphique (prendre « a %» = 18,6 % )
Exercices :
On augmente
« A = 300 » de 3% ;
exprimer en % ce que devient « A » après augmentation.
Si l’on appelle
« A’ » ;« A » après augmentation; quelle est la
valeur de « A’ » ?
Montrer les deux
méthodes (directe et indirecte )
Résolution
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