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Vocabulaire : les radicaux |
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Le "carrée" parfait |
ENVIRONNEMENT du dossier:
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1°)Racines carrés d’opérations simples |
2°) liste des objectifs sur les puissances et racines |
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DOSSIER: RACINES CARREES d’un nombre entier ( N ) .
I )
« RACINE » d’un nombre " : Nomenclature
II )
« Racine carrée »
III )
Approximation de la racine
carrée de 2 ; notée 
ou 
IV) Valeur
approchée et encadrement d’une racine carrée.
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COURS |
Interdisciplinarité |
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Travaux avec la
calculatrice : taper des
valeurs et comparer le résultat donné
par la table numérique |
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Définition de l’objectif
: Savoir « donner » le radical d’un
nombre.. (On dit aussi donner la
racine « carrée ou cubique d’un
nombre »)
Rappel
nous abordons la racine carrée d’un nombre entier naturel ;
ne pas confondre avec la racine carrée d’un
nombre relatif…
Partie 1 :
I ) « RACINE » Nomenclature
Le mot « Radical » est le nom donné au signe : 
Ce signe est constitué d’un « vé » prolongé
par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).
Exemples :
; 
; 
; 
b
) « Radicande »
Le nombre
(ou opération) situé sous la barre
horizontale s’appelle : radicande
c
) Info sur les informations qui
gravitent autour du radical :
La barre horizontale prolongeant le
« vé » couvre la partie numérique(exemple
; ici 25 est
appelé le « radicande ».
en prolongement de la
branche la plus courte du
« vé » (à gauche) de la
pointe du « vé » est
inscrit un nombre ( « n » appelé « indice ») ;
il indique le degré de la
« racine » :
Quand « n » vaut
« 2 » on dit : « racine carré » ; et l’on dit
« racine cubique » pour le nombre
« 3 » , ou « quatrième » pour le nombre « 4 » ;ainsi de suite.........
La pointe du « vé » étant sur la ligne d’écriture.
Nota : il est
commun en collège de ne pas mettre le nombre «2 » , et , on a décider ( ?) que l’on devait lire
« racine carrée » à la vue de
ce symbole :attention cela n’est qu’une simplification d’écriture « 
» . Qu’il faudra
oublier au lycée.
La « racine carrée de 9 » s’écrit au collège 
alors que l’on
devrait écrire : 
PARTIE
2
II ) « RACINES CARRES»
PREALABLE: il n ' y
a pas de "racine carrée d ' un nombre", si ce nombre n'est pas
le carré d'un autre .
Cas
courants :
Il y a plusieurs modèles d’écritures mathématiques permettant d’indiquer que l’on veut connaître la racine
"carrée" d’un nombre :
A) Le plus courant au collège :
« Par convention »,au collège; on
« simplifie » l’écriture , on
n’inscrit pas la valeur "2" sur la branche du vé
on dit i: « racine carrée de 25 » que l’on traduit en écriture
mathématique par « 
»
Racine carrée .de « x » s’écrit en
mathématique 
B ) Deuxième
écriture ; au lycée:
Le nombre "2" apparaît sur
le vé .
Cela se traduit par : "faire la
« racine carrée » du nombre « 25 »"
que l’on traduit en écriture mathématique 
Le mot
« carré » est à mettre en relation avec la leçon sur « périmètres
,aires et volumes.
« racine carrée » du nombre «x » se traduit en écriture mathématique par 
C ) Autre
écriture utilisée :
(écriture utilisée sur les calculatrices)
La racine carrée d’ un
nombre est signifiée aussi sous forme de
puissance .(écriture qui sera intéressante pour faire le
calcul des "dérivées" )
On met le nombre sous forme
de puissance "fractionnaire"
de numérateur égale à 1 et de dénominateur égal à 2;
Ainsi : devient
lire: 25 « puissance un demi »
on peut dire aussi : Racine « un demi » de 25.
CONCLUSION:
dans tous
les cas les trois écritures sont équivalentes
,elles ont la même signification.
: est égale est égale
« Racine carrée du nombre 25
? » ( résultat = 5 )
Comment
trouver la valeur de la racine carrée d'un nombre ?
On utilise souvent l'expression "faire la racine carrée d’un
nombre" ou "« extraire » la
racine carrée":
" Faire" la « racine
carrée » d’un nombre « X »(grand
ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ ( sa racine!
)« x » (petit ixe ) qui multiplié à lui même (« x » (petit ixe) fois « x » ( petit
ixe ) a donné « X »(grand ixe).
Exemple: Faire la « racine carrée » d’un nombre « 81 »(grand
ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ «9x » (petit ixe )
qui multiplié à lui même («9x »
(petit ixe) fois «9 » ( petit ixe ) a donné « 81 »(grand ixe).
Traduction
en langage mathématique:
Si
81 = 9 fois9 = 92; alors
9 = 
On
peut écrire : 
= 9
A savoir : 
= x
Comment
obtenir la valeur de la
racine carrée d’un nombre?:
On nous
dit que le nombre donné ( X
) est le « carré » d’un autre nombre( x ): si l'on veut trouver la valeur de « x » , il
faut faire la « racine carrée » de « X ».*
Pour obtenir la valeur
numérique de la racine carrée d’un nombre :
Il y a 4 possibilités:
1 )par calcul.(on dit
"extraire ")
On dit dans ce cas que l'on va « extraire la racine
carrée »;la procédure permettant d’extraire la racine carrée d’un nombre ne sera pas traité dans cet objectif.
2 )par identification :
reconnaît des carrés parfaits ,on
en déduit alors sa racine
Dans
l’exemple:
on connaît les carrés parfaits et alors
on sait que 9fois9 est égal à 81;on conclut que x = 9
,
3 ) par utilisation d’une table numérique Lil faut alors avoir à sa disposition
une table numérique , voir dans les livres de mathématiques.
la procédure d’utilisation d’une table numérique n’est pas prévue dans cet objectif.
4 ) ou utilisation de la calculatrice.(c'est
le cas le plus courant ,)
Exemple d’exercice de
recherche de la racine d'un nombre avec une calculatrice :
Question :
Donner la valeur de la racine carrée de 81; à l'aide d'une calculatrice.
Résolution:
a) On sait que 
= x (parce que l’on sait .....!)
b) On pose : X = 81 ; et l’on remplace X dans l’égalité
précédente
on peut
écrire que :
x= 
c) il ne reste plus qu'à recherche de la valeur numérique : de « x » (voir les
possibilités)
Utilisation de la calculatrice :
Procédure:
(En règle générale il y a sur les
calculatrices deux possibilités , il faut utiliser la notice
du
fabriquant )
a ) soit en utilisant la touche 
taper 8 et 1 puis
sur la touche :résultat affiché : 9
b ) soit en utilisant la
touche : 
ou
|
Procédure pour obtenir la racine
« carrée » à la calculatrice : |
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a) traduire « racine carrée de 81 » : |
811/2 |
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b)taper |
8 et 1 |
|
c)taper sur la touche |
INV. |
|
d)taper sur la touche |
x 1/y ou y 1/x |
|
f)taper le nombre |
2 |
|
g)taper sur le signe |
= |
|
h) lire le résultat sur
l’écran: |
9 |
INFO
(s):
1°) si 3 2 (tris au carré) est égal 9 , on dira que « 
» (neuf puissance un demi) est égal
à 3
2°) Exercices les plus exécutés:
|
Soit une
valeur de x |
on
pose x y |
le
résultat de x y est = X |
on fait
le calcul de |
le
résultat de |
soit
|
si x
= |
x y = X |
calculons X |
|
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5 |
52 |
25 |
|
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3 |
33 |
27 |
|
|
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7 |
74 |
2401 |
|
|
=
=Commentaires:
a) s’ il n’y a pas de difficulté à calculer la puissance
d’un nombre (x y ); il n’en est pas
de même pour calculer la racine nième
d’un nombre (cela est plus difficile !)
b )
lorsque sous la racine il y a des nombres séparés par des signes
opératoires ; que faut -il faire avant de « rechercher » la
racine ?
il faut effectuer l’opération ; Il ne doit rester qu'un nombre sous la racine
!
Si sous le radical il y a
des opérations ,il faut faire "en priorité" le ou les calculs sous la
racine , pour n'avoir plus qu'un seul nombre..
Exemples:
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transformation |
Réponse(affichage à l'écran) |
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19,416488 |
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10,246951 |
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|
181,04143 |
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|
|
1,331187 |
Pour vérifier il faudrait
« élever » la "réponse au
carrée":
Exemple : 19,4164882 = 377,00001
; et conclure que 19,416488 » 
C ) Sous la racine on a une inconnue
"x" , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t -il
procéder pour isoler ?
(exemple: 5 = 
)
Si nous avons une
racine carrée dont le radicande possède une inconnue « x » il faudra
« élevé » au « carrée » ,les deux membres de
l’égalité.(cas rencontré dans
« Pythagore »)
Résultats à connaître « par
cœur »:
1° ) La racine carrée de 2 vaut
1,414 ( voir le calcul de la longueur de la diagonale d’un carré) et 
= 1,732 (utile pour un calcul dans le triangle)
2°) Les racines carrées des carrés parfaits sont
:
Carrés parfaits
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
III ) Approximation de la racine
carrée de 2 ; notée ou :
|
Construction de |
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|
A partir d’un segment OA de longueur 1 , on construit la
perpendiculaire ( D) passant par A . On porte sur (D) le point B tel que AB =
1 D’après le théorème de Pythagore , le segment OB est de
longueur |
|
a) Avec la
table : le résultat de : est donné avec 3 chiffres exacts après la
virgule : 1, 414
b ) Avec les
calculatrices actuelles il est possible d’obtenir de avec une valeur avec 12
chiffres exacts après la virgule :
1,41413562373……
c) Pour obtenir ces
décimales ; un procédé courant en
mathématiques consiste à trouver une suite de nombres ( en général des
rationnels) x0 , x1 ,x2 ,x3 , etc.. ; se rapprochant
de plus en plus de la valeur cherchée
Ici par exemple , on peut choisir x0 = 1
Puis x1 = 
( x0 +
) ; on obtient alors la valeur suivante :
1,5
Puis x2 = ( x1 +
) ; on obtient alors la valeur suivante :
1,41666..
Puis x3 = ( x2 +
) ; on obtient alors la valeur suivante :
1,4142156863
Etc.
Commentaire : comment sait-on que
les nombres xn se rapprochent
de 
au fur et à mesure que
« n » augmente. ? Sans
entrer dans le détail , nous pouvons indiquer qu’une des propriétés utilisées ici est que 
est solution de
l’équation x = ( x +
)
d ) Une autre possibilité est le calcul en posant l’opération appelé « extraction d’une racine
carrée »
Extraire la racine carrée
d’un nombre c’est trouver la racine carrée de ce nombre
IV ) Valeur approchée et encadrement d’une racine carrée
Pré requis : arrondir et troncature
Sur la
calculatrice , on lit 
= 2,236 067 978 ….
En général
il est inutile de donner toutes les décimales.
Mais on peut
affirmer par exemple que : 2,236
< < 2,237
On dit que
l’on a un encadrement de d’amplitude 0,001 .
2,236 est
une valeur approchée par défaut à 10-3
prés (par excès)de
2,237 est
une valeur approchée par excès à 10-3
prés (par défaut)de
Plus généralement :
Si a - 10-n £
x £
a + 10-n
On dit que
« a » est une valeur approchée de « x » à la
précision : 10-n
Autres exemples :
|
Encadrement d’amplitude 10-4
de |
Calculatrice :
donc 44,6989£ |
|
Encadrement d’amplitude 10-4
de |
Calculatrice :
donc : 0,2345£ |
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
Partie
1
1°) Dites tout ce que vous savez sur
ce symbole:
2°) Que désigne le mot « radical » ?
3°) Que désigne le mot « radicande » ?
Partie
2 : LES RACINES CARREES.
4°) Donner les trois écritures utilisées en
mathématique pour indiquer que l’on désire connaître la valeur de la racine carrée d’un
nombre.(prenez le nombre : 36 )
*on ne vous demande pas de faire le calcul !
5°) Traduire en langage
littéral , donner son utilisation :
"ixe" puissance un sur i grec
ou 
traduire :
: 
est égale 
est égale 
6°) Que cherche - t -
on à
obtenir lorsque l’on veut connaître la racine carrée d’un
nombre ?
7°) Quelles sont les différentes
façons de connaître la racine carré d’un nombre ?
*cela sera vraie pour tous les
cas de recherche de la valeur des « racines ».
8°) Donnez la procédure permettant
d’obtenir la racine carrée d’un nombre à la calculatrice!
(Il en existe deux .......).
9°) sous la racine il y a des nombres
séparer par des signes opératoires ; que faut –il faire avant de
rechercher la racine ?
10°) Sous la racine on a une
inconnue , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t –il
procéder pour isoler ?
1° )
Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLavec la calculatrice)
de 100 à 10 8
si elles
existent ! pour 100 ;101 ; 102 ; 103 ; 104 ; 105 ; 106 ;10 7 ; 10 8;
2°)
soit un nombre « x » ; trouver
la racine carrée du nombre :
x =
7,29 ;
=
x =
33,64 ;
=
x = 81 ;
=
x = 291
600 ; =
x = 2 744
000 ;
=
x = 1,5746
108 ; =
3 ° )
Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat
avec la précision du dixième
=
=
=
4 ° ) Faire
les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec
la précision du centième
=
=
(faire
d’abord le calcul sous le radical )
=
5 °) Faire les calculs suivants à l’aide d’une
calculatrice ;donner le résultat avec la précision du millième ((faire
d’abord le calcul sous le radical)
=
=
=
=
=
6°) Donner,
de mémoire, la racine carrée des nombres
suivants:
16 ;
36 ; 81 ; 25 ;
49 ; 4 ; 1 ;
9 ; 144
; 121 ; 64 ; 100 ;
7° ) Donner
la valeur de la racine carrée de "2"
et de "3" .:
8°) donner
le résultat de la racine carrée des nombre suivants :
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= ____________________ à 0,001 près( Résultats dans le cours)
Compléter
le tableau suivant :
Interdisciplinarité: Les racines en sciences
En science on utilise l’écriture m1 ; m2 ; dans quelle activité , préciser ,
comment passe-t-on de l’un à l’autre ?
|
Calcul d’
aire d’un carré : et inverse |
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