Pré requis:

Info sur "décomposition d'un nombre entier"

Sphère metallique

PUISSANCE 1 nomenclature

3D Diamond

"Décomposition" d' un nombre

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Nombre entier  ; produit

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facteurs   ; premier

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DIVISION EUCLIDIENNE

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

)Le nombre premier    

2°) liste des nombres premiers

 

Objectifs suivants

Tableau        Sphère metallique31

Les nombres premiers (présentation)

1°) Rendre une fraction irréductible

)Calcul du   PGCD       

3°) Calcul du  PPCM

 

DOSSIER:  

Décomposer un nombre (entier naturel ) en produit de facteurs premiers

 

TEST

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WAR MATH : N°31

Rappels :

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DECOMPOSITION  d ’ un nombre entier sous la forme d' un produit de facteurs premiers

 

INFOS : OBJECTIF: Savoir écrire un nombre composé sous forme de produit de facteurs premiers

 

 

RAPPEL:

         a) Revoir la liste des nombres premiers  de 0 à 99.

         b)  Le produit est le résultat de la multiplication.

         c)  On appelle "facteur" le nombre ou lettre situé a droite et à gauche du signe  "multiplié".

         d) Voir l’Objectif : Puissance1

           Le produit d'un même nombre s'appelle  "puissance"

 

    

 TEST RAPPEL

 

   a)    Citer les nombres premiers compris entre 0 et 50

   b)    Qu'appelle-t-on  "produit" ?

   c)    Qu'appelle-t-on   "facteur"

   d)    Ecrire sous forme de puissance:

           22=          ;   333=                               ;  777777 =  ;

 

 

ATTENTION ,c'est exceptionnellement  et pour les besoins de l’exercice ,que le signe  " x"  représente le signe multiplié.

 

           aaaa  =                            bbbbb =

 

           aabb=                          aaabbbbb=

  

           2aa=               22 aa =           222aa=                  222aaa =

 


 

 

INFORMATION COURS:

 

 

A savoir :

 

         Tout nombre entier naturel ,non premier ,supérieur à 1 peut-être décomposé en produit de facteurs premiers.

 

Procédure (Mode opératoire )permettant d 'effectuer une décomposition  d' un nombre en produit de facteurs premiers

 

 

Ordre

Exemples:

Avec « 420 » ; « 123 » et « 539 »

)Diviser le nombre (donné) par son plus petit diviseur premier;

(Pour trouver le plus petit diviseur premier on essaie la division avec  2 ;3; 5; 7;11; 13 ; .....jusqu'à ce que dans la division euclidienne "r"  égal 0)

on obtient alors un "quotient 1"

« 420 »  se divise par 2 (plus petit diviseur premier)  (quotient 1=210)

ainsi :   420 =  210 x 2

 

« 123 »    se divise par 3  « (plus petit diviseur premier); (quotient1 =41)

 

« 539 »    se divise par 7 (plus petit diviseur premier)  ; (quotient1 =77)

 

2°) (on prend le quotient1 obtenu dans la division précédente) 

        On divise le quotient précédent par son plus petit diviseur premier

 

(on essaie  avec   2;3;5;7;...., jusqu'à ce que l'on obtienne  le reste égal 0 dans la division euclidienne)

 

Pour « 420 »      ; quotient1 = 210 (:2 ) ;On obtient le quotient2 =105

Ainsi  420 =  2 x 2 x 105

 

Pour  « 123 »      ; quotient 1= 41

Pour    « 539 »      ; quotient1 = 77

 

)Si le quotient n'est pas encore premier ,on continu à diviser

 

on divise le  quotient obtenu précédemment par un autre nombre premier ,ainsi de suite jusqu'à ce que le quotient devienne premier.

 

Pour « 420 »    105 on ne peut le diviser par « 2 »     le  quotient2 =105 ;…est divisible par 3

on  obtient le quotient : quotient3 = 35

Ainsi  420 =  2 x 2 x 3 x 35

 

Idem ;……….idem …….

quotient3 = 35 ;……(se divise par 5)

quotient 4  = 7

420 =  2 x 2 x 3 x 5 x 7

4°) on termine la décomposition en divisant  le dernier quotient  "premier " par lui-même.

 

Le quotient 4  = 7  ; se divise par le dernier diviseur premier "7"

 

Ainsi  420 =  2 x 2 x 3 x 5 x 7x 1

5°) le dernier quotient est égal à "1"

Quotient 5 = 1

 

)Rendre compte Lon prend tous les diviseurs premiers !

Pour conclure :

 

420 =  2 2 3 5 7

 

« 2 2 3 5 7 »

  est la décomposition du nombre « 420 » , écrit sous forme d’un produit de nombres premiers.

 

         

 

 

 

 

 

Disposition pratique de calcul : dans un cadre de (5 cm sur 5cm ) séparer verticalement dans le milieu pour obtenir 2 colonnes .

dans la colonne de gauche

            nous y inscrirons le nombre donné à décomposer et dessous  nous inscrirons successivement les quotients obtenus par calcul (ceux ci sont par ordre décroissant).

 

Colonne de droite :

lieu des diviseurs premiers, classer par ordre décroissant.

 

Colonne de gauche :

lieu des quotients ; par ordre décroissant.

 
Dans la colonne de droite nous y inscrirons les nombres premiers  ,diviseurs des quotients obtenus successivement
   Exemple  d'application:

I)   Consigne:                décomposer 420 en produit de facteurs premiers.

 

  Questions à se poser pour effectuer la décomposition :

 

Q1 ) prendre le nombre 420 et s’interroger :     420   est - il divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »=210 et r = 0 ; ( 420est divisible par 2 : voir les caractères de divisibilité)

Q2) prendre le quotient précédent 210  et s ’ interroger : 210  est - il divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »=105 et r = 0  ( 210 est divisible par 2 : voir les caractères de divisibilité)

 

Q3)  prendre le quotient précédent « 105 »  et s ’ interroger :est ce que « 105 » est divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »= 52 et r =1 ;donc 105 n’est pas divisible par 2 ;

( 105 est divisible par 3  : voir les caractères de divisibilité)

 

 essayer si 105 est divisible par 3 ; on effectue l’opération ; « q »=35 ;r =0 ; ( 105 est divisible par 3 )

procéder ainsi de suite........

 

 

        

 colonne gauche:                       colonne: de droite                          liste des nombres                                                                                                                        premiers

     QUOTIENTS             DIVISEURS

2;3;5;7;11;13;19;23;29;..

 
                   420                           2  (premier nombre premier) ( 21)                         

                                           (420=2x210+0)

              210                      2  (deuxième nombre premier)     (22)              2;3;5;7;11;13;19;23;29;..

                                          (210=2x105+0)

 

              105             Þ         3   (troisième nombre premier) (31)          ( 2 ); 

3;5;7;11;13;19;23;29;..

 
                                           (105=3x35+0)

 

               35              Ù          5  (quatrième  nombre premier)      (  2 ;3 );5;7;11;13;19;23;29;..    

                                           (35=5x7 +0)            (51)

 

                7               Ù          7     (cinquième  nombre premier)      ( 2;3;5 );7;11;13;19;23;29;..

                                                     (7=7x1+0)    (71 )

                 1                             1

 

 

 

   lorsque le calcul en colonne est terminé  il faut rendre compte de la façon suivante:

 

           420 =  2 2 3 5 7 (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRESENTATION  DU RESULTAT :

 

on peut exprimer aussi le résultat d'une décomposition en facteurs premiers de trois façons:

 

 

exemple  avec 420:

A) Normalement  :

       420 =  2 2 3 5 7 (1)

 

B   )    Sous forme indicielle :

 

       420 =  21 223151 71 (1)

 

C  )en utilisant les plus hauts indices on peut mettre le résultat  sous forme d'un produit de puissances :

 

       420 =  22  31  51 71

 

 

 

     que l’on écrira  après  simplification d ‘ écriture:      420  = 22  3  5 7

 

Commentaire:

 

               La décomposition d’un nombre entier est unique. ( Cela signifie qu’il n’y a pas deux solutions ou deux façons de donner la décomposition d’un nombre en "produit" de facteurs premiers.)

 

  


 

II ) Exemple de résolution d’exercice 

 

 

sujet donné :   :  écrire 120 sous forme de produit de facteurs premiers.

Autre forme de question pour obtenir le même résultat :

                              « décomposer le nombre 120 sous forme de produit de facteurs premiers » 

 

       réponse:

 

a)calcul:

 


         120            2

          60            2

          30            2

          15            3

           5            5

           1            (1)   

   

 b) résultat:

                      120=  22235

                   ce qui donne sous forme indiciée    120=  2122233151

 

 

ou     sous forme de « puissances »    120= 2 33    5

  Commentaire pour tout exercice procéder comme ci dessus:

    a)  calcul:

    b) résultat:

    c) encadrer ,ou souligner le résultat

.

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Décomposer des produits de facteurs avec "x"…

 

TRAVAUX :  devoir à préparer.


 

       

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

 

      1)  Un nombre  peut être décomposé   de plusieurs façons,(donnez un exemple).

      2) Que signifie « indicer un nombre » ; quelle est la fonction de l’indice ?

      3)  Donner la procédure permettant  de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.

 

 

EVALUATION:

 

     

 

1°)        Calculer les  N   suivant :

 ( La calculatrice est autorisée)

 

 

 

 

23 =

 

 

2233    =

 

 

 

23   3   5 =

 

 

 

2 13 3  52  =

 

 

257 =

 

 

235272   =

 

 

2711 =

 

 

2271112   =

 

 

2  5   =

 

2 2 5 3    =

 

37=

 

3372       =

 

2313=

 

 

23213=

 

 

257=

 

 

22527=

 

 

 

 


2° ) Faire la  décomposition des nombres suivants ; sous forme d ‘un produit de facteurs premiers. (expliquer la méthode)

50

42

144

192

430

924

 

 

 

 

 

 

 

En plus :

 

B    )      ECRIRE les nombres suivants sous forme d’un  produit  de facteurs premiers.

 

 

 

 28 =

 

 

 

135 =

 

 

 

2820 =

 

 

 

74528  =

 

 

 

128452  =

 

 

 

 

 

 

C  )     Décomposer les nombres suivant en produit de facteurs premiers.

 

 

 

45 =

 

 

64 =

 

 

78 =

 

 

105 =

 

 

120 =

 

 

147 =

 

 

252 =

 

 

337 =

 

 

1328 =

 

 

137826 =

 

 

 

 

 

 

Un facteur est un nombre ou une lettre situés à gauche ou à droite du signe "multiplié", attention ce signe "multiplié"  n ' existe pas obligatoirement