Les partages proportionnels

Multiplication d’une fraction par un nombre

Index        

Objectif précédent  

1°) Les fractions « égales »

2°) Grandeurs.

Objectif suivant

Les grandeurs proportionnelles (présentation)

2°)rapports de deux grandeurs.

3°)Géométrie plane :  Rapport de deux segments.

1°) Sommaire : sur les grandeurs proportionnelles

2°)  Les suites ou progressions..

Chapitres :

1)

Des ( 2) rapports . (définitions)

·        « rapport par différence »   ou   rapport arithmétique.

·       « rapport par quotient »     ou   rap­port géométrique.

2)

Des proportions

• Propriétés des équi- différences.

• Propriétés des proportions.

3 )

Des progressions

• A)  Propriétés des progressions arithmétiques

Info plus. Les suites arithmétiques.

• B)  Propriétés des progressions géométriques

Info plus. Les suites géométriques.

Travaux auto formatifs

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité : voir « les logarithmes »

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

1)

Des rapports .

        En général, on appelle rapport le résultat de la comparaison de deux quantités; mais deux quantités mathématiques, a et b, ne peuvent être comparées que de deux manières :

1° pour savoir de combien l'une surpasse l'autre : 2° combien de fois l'une contient l'autre.

Dans le premier cas, on obtient le rapport au moyen d'une soustraction, et on le nomme pour cela rapport par différence ou rapport arithmétique.

Dans le second cas, le rapport est le quotient d'une division, et on l'appelle rapport par quotient ou rap­port géométrique.

Ainsi, a — b     exprime le rapport arithmétique des quantités a et b;  tandis que   ou a : b désigne leur rapport géométrique.

Dans les deux cas, les quantités que l'on compare, a et b, se nomment les  termes  du rapport.

Les deux termes d'un rapport doivent représenter des quantités de la même espèce ou être pris dans un sens abstrait, sans quoi le rapport n'aurait pas de signi­fication,

2)

Des proportions ;  ( définition de …. info ++)

On donne .le nom de proportion à l'expression de deux rapports égaux.

La proportion est arithmé­tique ou géométrique, selon que les rapports que l'on compare sont par différence ou par quotient.

La pro­portion arithmétique s'appelle aussi équi différence, tandis que le mot « proportion » tout seul s'entend de la proportion géométrique.

On indique la proportion arithmétique comme il suit : a . b : c . d,

ou bien          a — b  = c  — d

La proportion géométrique s'écrit ainsi : a : b :: c : d,  ou  (a : b ): (c : d)

ou mieux encore    

Dans le premier cas, on prononce « a est à b » comme « c est à d »,    et dans le second, « a divisé par b » égale « c divisé par d », ou plus brièvement, « a sur b égale c sur d »

Dans toute proportion, le premier terme a et le dernier d se nomment les extrêmes, tandis que les intermédiaires b et c s'appellent les moyens.

Une proportion dans laquelle les deux termes moyens sont égaux, se nomme proportion continue; ainsi

(a - m) : (m - d)  et (p : n): (n : q)sont des proportions continues.

 Dans ce cas, la quantité m est une moyenne proportionnelle arithmétique entre a et d, tandis que n est moyenne proportionnelle géométrique entre les extrêmes p et q  .

Propriétés des équi- différences.

 Principe fondamental. Dans toute proportion arithmétique, la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

Ce principe découle de la définition; en effet, poser a . b : c . d c'est exprimer que a — b = c — d, ou bien, en transposant, que a + d = b  + c.

Ce théorème donne le moyen de retrouver un  des quatre termes d'une équi-différence dont les trois autres  sont donnés : soit, par exemple, a . b : c . x ; puisqu'on doit avoir a + x = b + c, on aura x = b + c — a.

Si la proposition était continue et qu'on eût  a. x : x. b, , on aurait 2x = a + b, ou bien  ce qui  prouve que la moyenne arithmétique entre deux quan­tités égale la moitié de leur somme.

Propriétés des proportions.

·       Propriété fondamentale. Dans toute proportion géométrique, le produit des extrêmes est égal au pro­duit des moyens.

Soient les quatre quantités proportionnelles a, b, c, d qui donnent les rapports égaux  ; si l'on chasse  les dénominateurs, on a ad = bc, ce qui démontre le principe énoncé.

Réciproquement,  Quand le produit de deux facteurs est égal au produit de deux autres, ces quatre facteurs forment une proportion.

En effet, soit l'égalité m x  n= p x q ; ( que l’on peut écrire : m n = p q )  si l'on divise d'abord les deux membres par n et ensuite par p, on

aura      et par conséquent

On voit donc que quatre quantités forment une pro­portion dans deux circonstances distinctes, selon que, prises deux à deux, elles donnent des quotients ou des produits égaux ; or, pour fixer les idées, on dit que deux quantités a et b sont directement proportionnelles à deux autres c et d, quand on  a

et  que deux quantités m et n sont inversement ou réci­proquement proportionnelles à deux autres p et q, quand on a mn = p q.

·       La propriété fondamentale d'une proportion géométrique fournit le moyen de retrouver un quatrième terme dans une proportion dont les trois autres sont

connus ; en effet, les deux rapports égaux     donnent ax = bc   et  ,.  Dans ce cas, x s'appelle une quatrième proportionnelle entre les trois quantités a, b, c.   Si la proportion donnée était continue et qu'on eût    elle donnerait  x² = ac   et 

alors x se nomme une moyenne proportionnelle géo­métrique entre les deux quantités a et c.

Une moyenne géométrique entre deux quantités est donc la racine carrée du produit de ces deux quantités.

·       La propriété fondamentale et sa réciproque servent à démontrer toutes les propriétés des pro­portions

En effet, la proportion   donne les suivantes :

   ;  ;

ce qui prouve que dans toute proportion on peut, sans la détruire,

1° Multiplier les quatre termes par un même nombre

2° Multiplier les deux numérateurs par un même nombre ;

3° Augmenter chaque numérateur de son dénominateur.

Ce que nous disons pour la multiplication et l'addition est vrai aussi pour la division et la soustraction.

·       Quand on multiplie deux proportions, terme  à terme, les produits sont en proportion,

En effet, les deux égalités

 et

donne  évidemment cette nouvelle égalité 

il en serait de même si l'on divisait, terme à terme, le; deux proportions données.

Il en découle de là deux autres  principes :

·       Dans toute proportion, on peut élever les quatre termes à une même puissance, ou bien en extraire une racine du même degré, sans détruire la proportion.

Ainsi :    donne      et      

Dans une suite de rapports égaux, ta somme des numérateurs et la somme des dénominateurs ont entre elles un rapport égal aux rapports donnés.

Supposons qu’on ait 

Représentons   ce rapport commun par « q » et posons :

 ;  ; ……………… ;

ce qui donne  a = b q ;  c = d q ; m = n q ;  

ajoutons ensuite, membre à membre, et mettons q en facteur commun pour avoir l'égalité

a + c + m = (b + d + n)q  ;

celle-ci donne à son tour :

Des progressions

      On donne le nom de progression à une suite indéfinie de termes tels que le rapport qui existe entre deux termes consécutifs est constamment le même dans toute la série.

*µCe rapport constant s'appelle la raison de la pro­gression, et celle-ci est arithmétique ou géométrique, selon que le rapport est une différence ou un quotient ; ainsi, si l'on écrit

S ₁ :   4 . 7 . 10 . 13 , 16 . 19 . etc..., ; on forme une progression arithmétique dont la raison est 3;

tandis que si l'on écrivait

S₂ : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64. etc... ; on aurait une progression géométrique dont 2 est  la raison.

Les progressions sont dites croissantes ou décrois­santes., selon que les termes vont en augmentant ou en diminuant.

A )  Propriétés des progressions arithmétiques ou par différence.

·      principe fondamental. Dans toute progression arithmétique croissante, un terme d'un rang quelconque est égal au premier terme, augmenté d'autant de fois la raison  ( r )  qu'il y a de termes avant celui que l'on cherche.

Soit en général la progression croissante :      a ;  b ;  c ;  e ;  f ;  g ……….. dont nous représenterons la raison par r.

 D'après la définition même, il est évident qu'on aura

b = a + r ;

c = b +  r = a + 2 r ;

 e = c +  r = a + 3 r ;

etc.....................................

c'est-à-dire que la progression pourra être écrite ainsi :

Prog.  a ; a + r ; a + 2 r ;  a + 3 r ; a + 4 r .......

; ce qui démontre le principe énoncé. En conséquence, si l'on désigne par t  un terme quelconque et par n le rang qu'il occupe, ce terme en aura alors n — 1 avant lui, et sa valeur sera exprimée par la formule

formule [a] :        t =  a +  (n — 1 )r

Comme application, si l'on demandait le 15^e terme de la progression par différence écrite ci-dessus (*), dont le premier terme est 4 et la raison 3, on aurait

T  = 4 + 14 X 3 == 46.

D'après ce principe, on peut résoudre le problème suivant :

       problème I^er.     Insérer entre deux termes donnés  un nombre quelconque de moyens arithmétiques ou dif­férentiels, c'est-à-dire former une progression par différence dont le premier terme et le dernier sont connus.

Supposons qu'on veuille insérer m moyens différen­tiels entre a et t ; alors le dernier terme t en aura m +1  avant lui, et la formule [a] donnera

t = a + (m+1 )r ;

et comme la seule inconnue ici est la raison r ,  on   tirera sa valeur qui est

formule  [ b ]               ;                               

Proposons-nous, par exemple, d'insérer sept moyens différentiels entre les deux nombres 6 et 30 ; la formule  [ b ] donnera pour la raison inconnue.

  soit     =   3

et la progression demandée sera :      6 ;  9 ; 12 ; 15 ; 18 ;  21 ; 24 ; 27 ; 30.

Remarque. Si l'on insérait un même nombre de moyens différentiels entre tous les termes consécutifs d'une progression donnée, on formerait ainsi une seule et même progression, parce que la formule [ b ]   donne­rait la même raison pour toutes les insertions.

théorème.

Dans toute progression arithmétique, les termes à égale distance des extrêmes font une somme constante,

Soit la progression arithmétique croissante   

On sait que la raison étant représentée par r , on a   « b = a  + r » ;   « c = a + 2 r » ;  «d = a + 2 r » ; etc…........

Si l'on renverse les termes pour former la progression décroissante

la raison n'aura pas changé, et l'on aura

k  = l — r ;   h =  l — 2r ;…….. ,  etc. …

En conséquence,  ces deux progressions,  ajoutées terme à terme, donneront

a + l = b + k = c + h =  etc.  …….     

pboblème 2 . Trouver la somme des termes d'une progression par différence.

Appelons  « S »   la somme des termes de la progression

      :  ;

nous aurons évidemment

S =   a + b + c + ....  ..........+ h + k + l,

S =   l + k + h + .........+ c + b + a ;

en ajoutant « terme à terme »  et en désignant par « n » le nombre des termes,

Aussi : (  a + l ) =  ( b + k)  = ( c +  h)  = ……= (h + c) = (k + b) =( l + a )   tel que

En additionnant  S + S  = (  a + l ) +  ( b + k)  + ( c +  h)  + ……+ (h + c) + (k + b) +( l + a )  

et en désignant par « n » le nombre des termes,

nous obtenons     2 S  = (a + l)n,

d'où       ; formule [ c ]

par conséquent  :

  La somme des terme  d'une progression par différence quelconque est égale à la demi somme des deux termes extrêmes, multipliée par le nombre des termes de cette progression.

problème  3  Trouver la somme des cent pre­miers nombres entiers depuis 1 jusqu'à 100.

Nous avons ici une progression arithmétique dont la raison est 1; ainsi la formule [c] deviendra

S =   = 101 X 50 = 5050.

problème 4 . Exprimer la somme « S » des « n » pre­miers nombres impairs.

Les nombres impairs font une progression par diffé­rence dont la raison est 2 ;- on aura donc  a = 1 ;   r  =  2 ;  l = l + 2 ( n – 1)  = 2n — 1, et la formule [c]

donnera           ;

ainsi la somme des n premiers nombres impairs est i carré de n.

Minutes [a] et [c} résolvent toutes les questions relatives aux progressions par différence.      (Voir v n<» 281 à 257.)

B ) Propriétés des progressions géométriques ou « par quotient » ,

Principe Fondamentale :

Dans toute progression géométrique  croissante, un terme d'un rang quelconque  est égal  au premier multiplié par la raison élevée à la puissance  marquée par le nombre des termes qu'il y a avant  celui que l'on cherche.

Soit la progression par quotient :       : Prog.  =     

D’après la définition, si l'on représente la raison par « r »   pourra écrire ainsi cette progression

et si l’on désigne par n le rang du terme l , qui alors  aura  n— 1   termes avant lui, on aura :      l =  a q ^{n-1     ;      formule :}   [d],

Cette  formule démontre le principe énoncé.

Proposons-nous, pour exemple, de calculer le 7 ^ième  terme de la   progression

Prog :  =    

La formule  [d] donnera l = 4 x 2⁶ = 286.

Ce  principe nous servira à résoudre le problème suivant ..

problème 1^er. Insérer entre deux termes donnés un  nombre quelconque de moyens géométriques ou proportionnels

Supposons qu'on veuille insérer m moyens géométriques  entre a et  k   : alors le dernier terme k  en aura « m+1 » avant lui., et la formule [d] deviendra : k = a r ^m+1

Et comme l’inconnue , ici , est la raison « r » , on aura :     et        ; formule [e]

c'est-à-dire qu'on obtiendra la raison cherchée en divi­sant le dernier terme par le premier, et en extrayant du quotient la racine dont le degré est marqué par le nombre plus un des moyens à insérer. Cette raison sera rarement entière; mais dans le cas où elle est moindre que l'unité, la progression est décroissante.

Prenons un exemple dans la progression numérique précédente, et proposons-nous d'insérer 5  moyens géo­métriques entre les deux nombres 4 et 256; la règle et la formule [e] donneront pour la raison cherchée :

 ;  devient   ;  devient   ; devient    ;   ; devient 

et nous aurons  la progression :   

Remarque. Si l'on insérait entre les termes consé­cutifs d'une progression donnée un même nombre de moyens géométriques, on formerait une seule et même progression, parce que la raison serait la même partout.

problème II. Trouver la somme des termes d'une progression géométrique.

Soit la progression par quotient   a ; b ;  c ; d ;…    

qu'on écrit aussi de cette manière :  a ;  a r  ;  a r² ; a r³ ;………… ; a r^n-1     

en nommant S    la somme cherchée, on aura

S =a ;  a r  ;  a r² ; a r³ ;………… ; a r^n-2 ; a r^n-1

Si  l’on multiplie tous les termes de cette égalité par la raison « r » , on obtient :

S r =a r  ;  a r² ; a r³ ;………… ; a r^n-1 ; a rⁿ

Et en retranchant la première somme “S”  de celle ci , on aura :

S r – S =  a rⁿ – a   ; ou  S( r – 1 )  =  a ( rⁿ – 1 );

D’ où enfin la formule [f] :  

Application :

Soit, par exemple, à calculer la somme des 10 premiers termes de la progression

 S =  3 ;6 ;12 ; 24 ;……………..

Nous aurons

Les formules [ d ] ;[ e ] et  [ f ]  résolvent toutes les questions relatives aux progressions par quotient.

Cliquez  Ici pour exercices :……

Quand la progression géométriques est décroissante , c'est-à-dire quand la raison « r » est une fraction , il y a lieu de modifier  la formule  [ f ]     en changeant les signes des termes , parce que le dénominateur « r -1 »devient négatif par la supposition de «  r < 1 » .

Cette formule est donc, dans ce cas ,

[ g ]   

ou bien  

Sous cette forme on voit que la somme « S » se compose de deux parties :

La première   , constante, la seconde  , susceptible de devenir d’autant plus petite que « n » sera grand ; car si « r < 1 » , ses puissances successives diminueront rapidement. On peut dons prendre un assez grand nombre de termes pour que  deviennent moindre que toute quantité  assignable, et que la valeur de « S » se rapproche autant que l’on voudra de la constante :      . En conséquence, « la LIMITE » vers laquelle tend la somme des termes d’une progression géométrique décroissante, prolongée indéfiniment, est égale au premier terme divisé par l’unité  ( premier nombre :  « a » de la progression )  diminuée de la raison . «  r » .

Enfin, à l’infini on a rigoureusement

 Exemple :

Ainsi, dans la progression indéfinie :  

On aura :