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DOSSIER : FONCTIONS
LINEAIRES / Pourcentages / Objectif cours
47 |
Pré requis
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Fractions équivalentes (égalité de deux fractions ) |
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Multiplication de deux fractions |
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Multiplication d'une fraction par un nombre |
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A propos de "a%" |
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
DOSSIER : Pourcentage : DIMINUTION de a%
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité
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Objectif : Diminution en a%
INFO : Définition de l ’ Objectif : Savoir trouver
la Nouvelle Grandeur
( NG) d’une Grandeur de Départ
(GD) ayant subit une diminution de a% .
( Cas de la
vie courante : en période de solde
, de promotion ou braderie , on peut lire ,sur les étiquettes ou affiches, 2 prix )
Exemple ici - 4
0% sur tout le magasin ; Sur une affiche on peut lire
: 900 € au lieu de 1200 € Y a t - il
« erreur » sur
l’affichage ? Quel est le %
réellement effectué ?
les réponses seront données à la fin du
cours !
Pour trouver la « Nouvelle Grandeur »(prix après diminution) d’une
« Grandeur de Départ » (prix avant diminution) ayant subit une diminution , il
faut :
n
que la « Grandeur de départ » (prix avant diminution) notée (GD) représente 100% de sa valeur de
départ.
n
que
la « diminution » (différence
entre le prix avant diminution et le prix après diminution )
représente « a% » de
cette « Grandeur de Départ » (prix avant diminution).
On peut ainsi conclure que :
La Nouvelle Grandeur (NG) est égale à 100 /
100 de la grandeur de départ (GD) moins le « a % « de cette
Grandeur de Départ (
GD) ..
Ce qui se traduit par
l’égalité mathématique suivante :
(1) NG = (100
/ 100) GD - (a /
100) GD
si l ’on pose
NG = y ; GD = x
; on remplace dans la relation
(1) :
|
|
y = ( |
|
Nous remarquons que les deux termes ( du second membre contiennent comme « facteur commun » : « x » ;(si pb voir objectif :factdeve) |
|
ce donne en factorisant : y = x (
-
)
en regroupant les termes dans la parenthèse : y
= ( 
) x
Traitement mathématique de l’équation :
y = ( ) x
(on appellera
« traitement » les transformations possibles de l’égalité en vue de
trouver « y » ; « a » ou « x ». )
se souvenir que :
« y » est
un élément de l’ensemble d’arrivée ; ( en économie on dira que c’est le
prix à payer après réduction ).
« a » est
la valeur de l’échantillon pour cent éléments de l’ensemble de départ.
« x »
est l’élément de l’ensemble de départ
(en économie ce serait le prix que l’on payerait avant (ou sans)
réduction .
Premier
calcul :rechercher la valeur après diminution :
on utilise
l’égalité : y = ( ) x
On conclut que « le prix à payer après
réduction » est de : ( ) x
Situation - problème :Un objet était à vendre à 1200
€ ,on vous fait une remise de
25%.Quelle somme payerez vous ?
Résolution
Calcul
direct :
1°) on pose : y = ( ) x
2°) on identifie :
« y »= ? ; « x » = 1200 € ;
« a » = 25
3°)on remplace dans (1) :
y = (
(100 - 25 ) /100 )
1200 €
4°)Calculs :
( (100 - 25 ) /100 )1200 € = (( 75)/
100) )1200 €
= 0,75 1200 €
= 900 €
5°)Conclusion : le prix
à payer après la remise de 25 % est de
900 €
On
peut trouver le résultat par une autre
méthode :
1° )on calcule la valeur de la remise avec la relation y = (
a /100) x
2°) On
pose : prix à payer = prix affiché
- remise
Deuxième type
de calcul :on recherche le prix avant diminution
soit
l’égalité :
|
|
y = ( |
|
nous
obtenons après transformation: x = y
/ ( )
( lire « ixe » est égal à « hi grec » divisé par 
On conclut
que « la somme » affichée
avant réduction était » de : y
/ ( )
Application : Un Objet est
vendu 900 F après une remise de 25 % quel était le prix demandé avant la remise ?
Résolution :
1°) On pose la relation y = ( ) x
2°) On
identifie : « y »
= 900 € (prix à payer après réduction)
« a » = 25 ;
« x » = ?
3°) On remplace dans
(1) :
900 € = (( 100 - 25 ) / 100 ) x
4°) Calculs :
900 € = (75 /100) x
900 € = 0 ,75 x
900 € / 0, 75 = x
1 200 € = x
5° ) Conclusion :
Le prix
avant remise était de 1 200 €
Il n’y a
pas d ’autres
méthodes !
Troisième type
de calcul : rechercher le % de diminution :
soit l’égalité:
|
|
y = ( |
|
nous obtenons après transformations successives:
100y / x = 100 - a
(100y / x ) + a = 100
a = 100 - (100 y / x)
On conclut
que « le taux de réduction » est de : = 100 - (100 y / x)
Application : Un Objet est vendu 900 € après
« remise » ;Son prix avant remise était de 1200 €. Quelle est le pourcentage de remise ?
Résolution :
1°) On pose la relation y = ( ) x
2°) On identifie : « y » = 900 €
(prix à payer après
réduction)
« a »
= ? ; « x » = 1200 €
3°) On remplace dans
(1) :
900 € = ((
100 - a ) / 100 ) 1200 €
4°) Calculs :
900 € / 1200 € = (100 - a )
/100)
0 , 75 = (100 - a ) / 100
0, 75 100 = 100 - a
75 = 100 - a
a + 75 = 100
a =
100 - 75
a = 25
5° ) Conclusion :
si
« a » = 25 ; alors
« a% » = 25 %
Le taux
de la remise est de 25 %
Autre méthode :
On calcule la valeur de la
remise en « francs »
1200 € - 900 € = 300 €
On pose : y = (a /100 ) x ; avec
« y » = 300 € ; « a » = ? ;
« x » = 1200 €
( voir objectif
« a% »)
Ce qui donne : « a % »= 25 %
TRAVAUX FORMATIFS :
1°) Soit une grandeur
donnée (un prix ; une
masse ;....) ; on prévoie de la diminuer d’un
« certain » pourcentage ( a%).Traduire de
façon « mathématique » ce à quoi est
égale la nouvelle grandeur .
2° ) Mettre sous forme d’équation
mathématique :
Nouveau
Prix = (100 / 100) Ancien Prix - (a /
100) Ancien Prix
avec « y » = NP ; « x » = AP.
*+ + Montrer
que nous avons à faire une
application linéaire !
++ Donner la forme de la représentation
graphique ( prendre
« a %» = 15 % )
Exercices :
On diminue « A =
300 » de 3% ; exprimer en % ce
que devient « A » après diminution.
Si l’on appelle
« A » après diminution « A’ » ; quelle est la valeur
de « A’ » ?
(montrer
les deux méthodes (directe et indirecte )
Problèmes :
CORRIGE
CONTROLE :
1°) Soit une
grandeur donnée (un prix ; une
masse ;....) ; on prévoie de l ‘ augmenter d’un « certain » pourcentage
( a%).Traduire de façon
« mathématique » ce à quoi est
égale la nouvelle grandeur .
y = (
) x - () x
2° ) Mettre sous
forme d’équation mathématique :
Nouveau Prix = (100 / 100)
Ancien Prix - (a / 100) Ancien Prix
avec « y » = NP ; « x » = AP.
y = ( 
) x
*+ + Montrer
que nous avons à faire une
application linéaire !
++ Donner la forme de la représentation
graphique ( prendre
« a %» = 18,6 % )
EVALUATION :
Exercices :
On augmente
« A = 300 » de 3% ;
exprimer en % ce que devient « A » après augmentation.
Si l’on appelle
« A’ » ;« A » après
augmentation; quelle est la valeur de « A’ » ?
(montrer les deux méthodes (directe et indirecte )
vous ?
Résolution
Calcul direct :
1°) on pose : y
= ( ) x
2°) on identifie :
« y »= ? ; « x » = 300
F ; « a » = 3
3°)on remplace
dans (1) :
y = ( (100-3 ) /100 )300 F
4°)Calculs :
( (100-3 ) /100 )300 F = (( 97)/ 100) )300 F
= 0,97 300 F
=
201 F
5°)Conclusion :
le prix à payer après la diminution de 3
% est de 201F
Autre méthode :
On calcule la
valeur de la diminution en « francs »
On pose : y = (a /100
) x ; avec
« y » = ? ; « a » = 3 ;
« x » = 300 F
Donc : y = (3
/100 ) 300
y = 9
Ce qui donne : 300 - 9 = 201
francs
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