Les fonctions - applications

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TITRE :PREPARATION CONCOURS niveau VI ; V ; IV ; ETUDE de FONCTIONS - APPLICATIONS

12 : FONCTION

· 12.1 – Fonction – Définition.

· Fonction numérique – Définition

· 12 . 3 Application - définition

· 12 . 4 Applications particulières : SURJECTION – INJECTION – BIJECTION

13 – ETUDE D’ UNE FONCTION NUMERIQUE .

· 1°) Recherche du domaine de définition

· 2°) Recherche des limites aux bornes du domaine de définition

………………Continuité .en 1 point

…………….Continuité sur un intervalle…….

· 3°) Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

· 4°) Calcul des extremums locaux .

· 5°) Graphique

Travaux ; devoirs			Corrigé du :
TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation


COURS

12.1 – FONCTION – DEFINITION . On appelle fonction de A vers B toute relation qui à chaque élément « x » de A , associe au plus un élément « y » de B .

« » s’appelle « variable » ( ou antécédent de « y ») « y » s’appelle la valeur ( ou l’image de « » ) A est l’ensemble de départ . B est l’ensemble d’arrivée Notation : f : A® B x a f (x) où y = f (x)

12 .2 Fonction numérique – Définition

C’est une fonction pour laquelle les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R (réels)

12 . 3 Application - définition

Une application de A vers B est une fonction de A vers B telle qu’ à chaque « x » de A il corresponde un élément unique « y » de B.

Ensemble ou domaine de définition : c’est l’ensemble des « x » qui ont une image ( D f )

L’ensemble de départ correspond avec le domaine de définition .

fonct_df_a003

Exemple : (dont les études de fonctions)

info plus sur la fonction dite homographique .

c'est-à-dire soit la fonction f qui a « x » associe

Ensemble de définition :

La fonction f est définie pour tout « x » différent de 0 . car si x= 0 , on ne peut pas calculer

Df = R - ou R* ou ] - ¥ ; 0 [ U ] 0 ; +¥ [

Notation : f : R *® R

x a

f (x)=

12 . 4 Applications particulières : SURJECTION – INJECTION – BIJECTION

12.4.1 : Surjection - définition :

Une application f de A dans B est dite « surjective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément au moins de A .

fonct_df_a003

A tout élément de B aboutit au moins une flèche .

12.4 .2 : Injection - définition :

Une application f de A dans B est dite « injective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément au plus de A .

fonct_df_a004

A tout élément de B aboutit au plus une flèche .

12.4 .3 : Bijection - définition :

Une application f de A dans B est dite « bijective » si chaque élément de « B » est l’image d’un élément unique de A .

fonct_df_a005

13 – ETUDE D’UNE FONCTION NUMERIQUE .

Marche à suivre pour étudier une fonction :

1°) Recherche du domaine de définition

2°) Recherche des limites aux bornes du domaine de définition

3°) Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

4°) Calcul des extremums locaux

5°) Graphique

13.1 Domaine de définition

Etudier la définition d’une fonction numérique , c’est déterminer pour quelques valeurs la variable ( x) il est possible de calculer la valeur numérique correspondante de la fonction (y).

En étudiant la définition d’une fonction , on définit le domaine de définition de cette fonction.

Notation : D f ( si la fonction est notée f )

Il est nécessaire de déterminer le domaine de définition d’une fonction dans 4 cas ; ( dans les autres cas le domaine sera R ) .

a) pour une fonction du type : f (x) = ou ( m est un polynôme ) ; m doit être différent de 0 , donc toutes les valeurs de « x » qui annulent m doivent être chassées.

Exemple : f(x) = 4x + 5 = 0 Û x =

D f = ] - ¥ ; [ U ] ; +¥ [ ou = R

b) Pour une fonction du type f (x) = ; m doit être positif , donc ³ 0 ( car une racine carrée ne peut être négative ) .

Exemple : f (x) = ; 4x+5 ³ 0 Û x ³

Df = [ ; +¥ [

c) Pour une fonction tangente ou cotangente ( voir trigonométrie )

d) Exemple : f (x) =

pour que cette fonction soit définie , il faut que :

(2-x) (x – 3) ³ 0 et ( x-1) (4-x) ³ 0

Pour trouver les valeurs de « x » qui rendent positives ces polynômes , on utilisera un tableau :

2-x ³ 0 Û x £ 2	x-1> 0Û x > 1
x-3 ³ 0 Û x ³ 3	4-x > 0Û x < 4

Les zones hachurées correspondent aux valeurs de « x » qui sont exclues du domaine de définition ( car elles rendent le polynôme sous le radical « négatif »)

La dernière ligne hachurée , représente la superposition des 2 zones précédentes et permet de déterminer dans quel intervalle , les valeurs de « x » ne rendront jamais les 2 polynômes négatifs.

Solution : D f = [ 2 ; 3 ]

Tableau de variation :

etud_fonct_tablo_var001

13 . 2 .- Limites

Exemple soit la fonction

D f = R - ou R* ou ] - ¥ ; 0 [ U ] 0 ; +¥ [

Traçons la représentation graphique de cette fonction :

On remarque que :

Quand « x » diminue , « y » tend vers 0 Þ lim f(x) = 0 ;

Quand « x » augmente , y tend vers 0 lim f(x) = 0 ; x®+¥

Quand x tend vers 0 par valeur inférieure :

y tend vers -¥ , lim f(x) = -¥ ; x ®0^-

Quand x tend vers 0 par valeur supérieure :

y tend vers +¥ , lim f(x) = +¥ ; x ®0^-

etud_fonct_tablo_var_revu

Nous remarquons que l’étude des limites se fait au voisinage des bornes de l’ensemble de définition.

Opérations sur les limites

Limite d’une somme .

- Lorsque x tend vers x₀ ou vers ±¥

Si f(x) tend vers

Et si g (x) tend vers :

+¥

-¥

+¥

-¥

+¥

-¥

f(x) + g(x) tend vers

a+ b

+¥

-¥

+¥

-¥

Limite d’un produit .-

Nous supposons connu le signe de chacun des facteurs f(x) et g (x) et nous donnons seulement la valeur absolue de ces facteurs ou de leur produit lorsque cette valeur absolue est infinie .

Si f (x) tend vers

Et si g (x) tend vers :

a ¹ 0

f(x) g(x) tend vers

a b

Limite d’un quotient .

- En supposant connu le signe de chacun des termes f(x) et g(x) , nous ne donnons que leur valeur absolue ou celle de leur quotient lorsque cette valeur absolue est infinie . Lorsque « x » tend vers x₀ ou vers ±¥

Si f (x) tend vers

Et si g (x) tend vers :

b ¹ 0

±¥

b ¹ 0

a ¹ 0

tend vers

· Rechercher la limite d’un polynôme lorsque « x » tend vers + ou - l’infini ,équivaut à rechercher la limite du terme du plus haut degré lorsque x ®±¥

Exemples :

N°1 :

	lim. 2 x³ + 4 x² + 2x – 4		lim 2 x³ = +¥	(à vérifier avec la calculatrice graphique)
	x ®+¥		x ®+¥

N°2 :

	lim. 3 x⁵ + 4 x⁴ + 2x – 4		lim 3 x⁵ = - ¥	(à vérifier avec la calculatrice graphique)
	x ® - ¥		x ® - ¥

· La limite d’une fonction rationnelle,lorsque “x” devient infini ,est celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemples :

La limite d’une fonction rationnelle,lorsque “x” devient infini ,est celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemples :

N°1 :

lim.

lim

(à vérifier avec la calculatrice graphique)

x ®+¥

N°2 :

	lim.	lim	lim = - ¥	(à vérifier avec la calculatrice graphique)
	x ®-¥	x ®-¥	x ®-¥

N°3 :

	lim.	lim.	lim	(à vérifier avec la calculatrice graphique)
	x ®+¥	x ®+¥	x ®+¥

13-3 Continuité.

(info plus)

a) Continuité en 1 point.

Soient x₀ ; a ; b ; des réels tels que a < x₀< b. On considère une fonction f définie sur un ensemble D contenant ]a ; b [.

On dit que f est continue en x₀ si et seulement si :

- la limite quand x tend vers x₀ existe

- lim f = f (x₀)

- x ® x₀

cela équivaut à

	lim f =	lim f =	lim f (x₀)

Exemple : soit f(x) = 2 x² + 4 x + 5 ; continuité en x₀ = 1

	lim f = 2 (1)² + 4 x1+ 5 = 11		lim f existe
	x ® 1		x ® 1
	f (x₀) = 11		lim f = f (x₀)
			x ® 1

			la fonction est continue en x₀= 1

b) Continuité sur un intervalle.

On dit que f est continue sur ]a ;b[ si f est continue en tout x₀ élément de ]a ;b[

D’où les théorèmes :

- Toute fonction polynôme est continue sur R

- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

info ++= : le nombre dérivé

La Dérivée.

Info complément cours de niveau IV : sur « la dérivée »

A) Dérivée en un point .

· Soit x₀ , un élément d’un intervalle ]a ;b[ . On considère une fonction , f définie sur un ensemble D contenant ]a ;b[ . Soit . On appelle h un réel , on appelle « dérivée « de f pour x = x₀ la limite ( si elle existe) du rapport : quand h tend vers 0 .

	lim
	h ® 0

Notation : y’₀ ou f ’ (x₀)

Interprétation graphique :

Pour qu’une fonction y = f(x) admette en x₀ une dérivée, il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse x₀ une tangent (non parallèle à y_0.)

Le coefficient directeur de cette tangente est égal à la dérivée de la fonction pour x = x₀

Equation de la tangente : y = f ’ (x₀) . ( x – x₀) + f (x₀)

Remarque : f ’ (x₀) est la dérivée……

etud_fonct_tablo_var005

Exemple :Soit la fonction f(x) = 5 x² + 7 x + 4

Questions :

· Trouver la dérivée au point x_O = 2

· Déterminer l’équation de la tangente.

Calcul de la dérivée au point x_O = 2
	Calcul de f (x _O) pour x _O = 2 ; · f (2) = 5 (2 )² + 7 (2) + 4 · Soit 20 + 14 + 4 = 38	Calculatrice : taper : [ 5 (2 )² ] + [ + 7 (2)] + ( + 4)

	Calcul de f (x _O + h ) ; avec x _O = 2 · f (2 + h ) = 5 (2 + h )² + 7 (2 + h ) + 4	(2 + h )² = (2 + h ) (2 + h ) = 4 + 2 h + 2 h + h² = 4 + 4 h + h² = 5 ( 4 + 4 h + h² ) = 20 + 20 h + 5 h²
	· f (2 + h ) = 20 + 20 h + 5 h² + 14 + 7 h + 4 = 5 h² +27 h + 38

	Calcul de f (x _O + h ) - f (x _O) = · = 5 h² +27 h + 38 - 38 · = 5 h² +27 h

	Calcul de

Ainsi :

	lim	5 h + 27		= 27
	h ® 0

Lire : la limite de 5 h + 27 quand « h » tend vers 0 est égale à « 27 »

l’équation de la tangente.

y = 27 ( x – 2 ) + 38

= 27 x – 54 +38

y = 27 x – 16

Nota : « dérivée et continuité » Si la fonction « f » admet une dérivée en x _O ( la réciproque n’est pas vraie )

13.4.2 – Fonction dérivée d’une fonction.

Soit « f » une fonction admettant une dérivée « f ’ (x_O) » pour toute valeur x_O d’un intervalle ] a , b [ ; la fonction qui a tout x_O de ] a , b [ associe le nombre dérivée « f’ (x_O) » s’appelle « fonction dérivée ».

Notation : « f ’»

Par abus de langage, on dit souvent « dérivée » au lieu de « fonction dérivée »

Valeur de la fonction « f ( x) »

Valeur de la fonction dérivée

« f ‘( x) »

C (constante)

x²

2 x

x³

3 x²

x ⁿ ; ( n N *)

n x ^n-1

( x 0 )

( x > 0 ; N* )

( x > 0 )

fonction

Dérivée

u + v

u ’ + v ‘

k u ( k : constante)

k u ’

u + v

u ‘ v + u v ‘

( v (x) 0 )

u ²

2 u . u’

u ³

3 u ² . u’

; ( u (x) 0 )

Autres dérivées.

Fonction ; « f ( x) »

Dérivée : « f ‘( x) »

Sin x

Cos x

- sin x

Tan . x

Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

N°1

« f ( x) » = 3 x ⁴ + 2 x² + 3 x + 4

« f ‘( x) » = 4 fois 3 ^4-1 + 2 fois 2 x ^2-1 + 3

f ‘( x) = 12 x ³ + x + 3

N°2

« f ( x) » = ( x – 1 ) ³ ( x + 2 ) ⁴ ;

est de la forme u . v = u ‘ v + u v ‘

Calcul de « u ‘ »

U = ( x – 1 ) ³ , ou U = ³ ; avec = ( x – 1 )

Donc u’ = 3 ² u’ = 3 ( x – 1 ) ² ; parce que ’ = 1

Calcul de « v ‘ »

V = ( x + 2 ) ⁴ ; ou V = v ⁴ avec v = x + 2

Donc V ’ = 4 v³ v ’ = 4 ( x + 2 ) ³ ; car v ’ = 1

On a alors : y ‘ = f ‘( x) = U V’ + V U’

U V’ + V U’ = ( x – 1 ) ³ fois 4 ( x + 2 ) ³ + ( x + 2 ) ⁴ fois 3 ( x – 1 ) ²

= ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) ³ [ 4 ( x – 1 ) + 3 ( x + 2 ) ]

y ‘ = ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) ³ ( 7 x + 2 )

13 . 4 . 3. – Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

Suivant le signe de la dérivée, on peut déterminer le sens de variation d’une fonction :

- Si la dérivée est nulle , la fonction est constante.

- Si la dérivée est positive dans un intervalle ] a , b [ , la fonction est croissante dans cet intervalle.

- Si la dérivée est négative dans un intervalle ] a , b [ , la fonction est décroissante dans cet intervalle.

13 . 4 . 4. – Extremums locaux.

Un extremum local est un point qui va déterminer où la fonction va passer d’un accroissement à une diminution ( ou inversement : la fonction va passer d une diminution à’un accroissement )

- Maximum local : ( M ) Une fonction a un maximum local pour x _O si elle cesse de croître pour décroître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur x _O ,donc si sa dérivée change de signe pour x = x _O en passant du positif au négatif .

Tableau de variation type

Représentation graphique de la fonction.

90001

90002

- Minimum : ( m ) Une fonction a un minimum local pour x _O si elle cesse de décroître pour croître quand « x » traverse , en augmentant , la valeur x _O ,donc si sa dérivée change de signe pour x = x _O en passant du négatif au positif.

Tableau de variation type

Représentation graphique de la fonction.

90003

90004

Pour déterminer les extremums locaux, il faut rechercher pour quelles valeurs de « x » la dérivée s’annule.

13 . 4 . 4. – Tableau de variation.

Procédure à suivre pour établir un tableau de variation :

1° ) Calculer la ou (les) dérivée de la fonction .

2°) Rechercher pour quelle valeurs de « x » cette dérivée s’annule.

3°) Déterminer, par rapport à ces valeurs , les zones où la dérivée est positive ou négative.

4°) Dresser le tableau.

Exemple 1 : Construire le tableau de variation de la fonction f(x) =

Info : f(x) = est de la forme ; donc la dérivée est de la forme : f ‘ (x) =

Calculs des dérivées des termes u et v :, u’ = 2 ; et v ’ = -1

Calcul de la dérivée de la fonction :

f ‘ (x) =

5 > 0 et ( 1- x )² 0 f ‘ (x) > 0

91001

Exemple 2 : Construire le tableau de variation de la fonction f (x) = - x ³ + 3 x – 2

Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = - 3 x² + 3 ; f ‘ (x) est de la forme ax² + bx + c ; nous devons calculer le discriminant ( ) rechercher les racines…….

On pose : - 3 x² + 3 = 0 = b² - 4 ac ; = 0² - 4 ( - 3) ( +3) ; d’où = 36

> 0 2 solutions.

Dans le cas d’une dérivée de la forme ax² + bx + c , elle admet 2 solutions pour f ‘ (x) = 0 , la dérivée est :

- « négative » entre les racines si a > 0

- « positive » entre les racines si a < 0

Soit le tableau de variation :

92001

NOTA : Le tableau de variation va nous donner une représentation schématique du graphique de la fonction.

On pourra , grâce à ces données , tracer une courbe de la fonction étudiée et la rendre plus précise avec quelques points dont on aura calculé les coordonnées.

Reprenons l’exemple précédent : Dans le tableau de variation de la fonction f (x) = - x ³ + 3 x – 2

Grâce au tableau , nous voyons que :

- Sur l’intervalle ] - ; - 1 [ la fonction décroissante f (x) allant de + à ( - 4 )

- Sur l’intervalle ] – 1 ; + 1 [ la fonction décroissante f (x) allant de ( - 4 ) à 0

- Sur l’intervalle ]+1 ; + [ la fonction décroissante f (x) allant de ( + 1 ) à +

La courbe représentative de la fonction sera donc : ( à vérifier avec une « graphique »)

92002

13 . 4 . 6. – Représentations graphiques de divers fonctions types .

Nota : Les représentations graphiques se feront dans un repère orthonormé.

Cas particulier de la fonction affine…..

Info ++

FONCTION LINEAIRE :

- type : y = a x

- « a » est appelé le coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité.

- La courbe d’une fonction linéaire ( droite) passe toujours par le point O de coordonnée ( 0 ; 0 )

- Le domaine de définition : D f = R

93001

93002

Info ++

LA FONCTION AFFINE ;

- type : y = ax + b

- Sa représentation graphique est une parallèle à la Courbe de la fonction y= ax.

- Elle passe toujours par le point ( 0 ; b )

- Le domaine de définition : D f = R

93003

Info ++

LA FONCTION POLYNOMIALE.

- type : y = ax² + bx + c

- La courbe de cette fonction est une parabole.

- Note :Les fonctions du type f (x) = a x² ont la même forme de courbe.

- Le domaine de définition : D f = R

Exemple : a > 0

Exemple : a < 0

93005

93004

y =

y = x² - 4 x + 3

Info ++

LA FONCTION RATIONNELLE .

- Type :

- Le domaine de définition : D f est l’ensemble de tous les « x » n’annulant pas le dénominateur.

- La courbe d’équation y = est une hyperbole.

Elle est similaire à la courbe d’équation y =

94001

Info ++

REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

Les fonctions sinus ; cosinus , tangente et cotangente sont des fonctions périodiques ( période 2 ) , leur courbe a une forme sinusoïdale.

94002

94003

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

EVALUATION :

Corrigé

Voir le cours.

Déterminer l’ensemble de définition de :

1°) f (x) = 2 x² + 4 x – 5

2°) f (x) =

3°) f (x) =

Traduire et Calculer les limites suivantes :

1°) lim 5 x² - 2x+4

x 2

2°) lim ( 3 x² - 2x – 1 )

3°) lim ( 2 x ³ + x + 1 )

4°) lim

x 2

5°) lim.

x -

6°) lim.

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

a) f (x) =

b) f (x) =

c) f (x) =

Faire le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction :

f (x) =

AVANT :

APRES :

Complément d’Info :

· Liste des cours : prépa concours

Travaux ; devoirs

Corrigé du :