Pré requis:
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Info : liste des connaissances en algèbre
préparant au même concours. |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
AVANT :
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APRES :
liste des cours sur les
études de fonction. |
Complément d’Info :
·
Liste des
cours : prépa concours
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TITRE :PREPARATION CONCOURS
niveau VI ; V ; IV ; ETUDE de FONCTIONS - APPLICATIONS
12 : FONCTION
·
12.1
– Fonction – Définition.
·
Fonction
numérique – Définition
·
12 . 3
Application - définition
·
12 . 4 Applications
particulières : SURJECTION – INJECTION – BIJECTION
13 – ETUDE D’
UNE FONCTION NUMERIQUE .
·
1°)
Recherche du domaine de définition
·
2°) Recherche des
limites aux bornes du domaine de définition
………………Continuité
.en 1 point
…………….Continuité sur un intervalle…….
·
4°) Calcul
des extremums locaux .
·
5°) Graphique
Travaux ;
devoirs
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Corrigé du :
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Contrôle |
évaluation |
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COURS
12.1 – FONCTION
– DEFINITION .
On appelle fonction de A
vers B toute relation qui à chaque élément « x » de A ,
associe au plus un élément « y » de
B .
|
« x » s’appelle
« variable » ( ou antécédent de
« y ») « y » s’appelle
la valeur ( ou
l’image de « x » ) A est l’ensemble de départ . B est l’ensemble
d’arrivée Notation : f : A® B x a f (x) où y = f (x) |
|
12 .2 Fonction
numérique – Définition
C’est une fonction pour laquelle
les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R (réels)
12 . 3
Application - définition
Une
application de A vers B est une
fonction de A vers B telle qu’ à chaque « x » de A il corresponde un élément
unique « y » de B.
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Ensemble ou domaine de définition : c’est
l’ensemble des « x » qui ont une image ( D f ) L’ensemble de départ
correspond avec le domaine de définition . |
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Exemple : (dont les études de fonctions)
info plus sur la fonction dite homographique .
c'est-à-dire soit la fonction f qui a « x »
associe 
Ensemble de définition :
La fonction f est définie pour tout « x » différent
de 0 . car si x= 0 , on ne peut pas calculer
Df = R - 
ou R* ou ] - ¥ ; 0 [ U
] 0 ;
+¥ [
Notation : f : R *® R
x a
f
(x)=
12 . 4
Applications particulières : SURJECTION –
INJECTION – BIJECTION
12.4.1 : Surjection - définition :
|
Une application f de A
dans B est dite
« surjective » si chaque élément de « B » est l’image
d’un élément au moins de A . |
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A tout élément de B
aboutit au moins une flèche .
12.4 .2 : Injection - définition :
|
Une application f de A
dans B est dite
« injective » si chaque élément de « B » est l’image d’un
élément au plus de A . |
|
A tout élément de B
aboutit au plus une flèche .
12.4 .3 : Bijection - définition :
|
Une application f de A
dans B est dite
« bijective » si chaque élément de « B » est l’image d’un
élément unique de A . |
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13 – ETUDE D’UNE FONCTION NUMERIQUE .
Marche à suivre pour étudier une fonction :
1°) Recherche du domaine de définition
2°) Recherche des limites aux bornes du domaine de
définition
3°) Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de
variation de la fonction ( tableau de variation)
4°) Calcul des extremums locaux
5°) Graphique
Etudier la définition
d’une fonction numérique , c’est déterminer pour quelques
valeurs la variable ( x) il est possible de calculer la valeur numérique
correspondante de la fonction (y).
En étudiant la définition
d’une fonction , on définit le domaine de
définition de cette fonction.
Notation : D f
( si la fonction est notée f )
Il est nécessaire de
déterminer le domaine de définition
d’une fonction dans 4 cas ; ( dans les
autres cas le domaine sera R ) .
a) pour une fonction du type : f (x) = 
ou ( m est un polynôme ) ;
m doit être différent de 0 ,
donc toutes les valeurs de « x » qui annulent m doivent
être chassées.
Exemple : f(x) =
4x
+ 5 = 0 Û x = 
D f = ]
- ¥ ; [ U ] ; +¥ [
ou = R 
b) Pour une fonction du type
f (x) = 
; m doit être positif ,
donc ³ 0 ( car
une racine carrée ne peut être négative ) .
Exemple : f (x) = 
; 4x+5 ³ 0 Û x ³
Df
= [ ; +¥ [
c) Pour une fonction tangente ou cotangente ( voir trigonométrie )
d)
Exemple : f (x) = 
pour que cette fonction soit définie ,
il faut que :
(2-x) (x – 3) ³ 0 et
( x-1) (4-x) ³ 0
Pour trouver les valeurs de « x » qui rendent
positives ces polynômes , on utilisera un
tableau :
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2-x ³ 0 Û x £ 2 |
x-1>
0Û x > 1 |
|
x-3 ³ 0 Û x ³ 3 |
4-x >
0Û x < 4 |
Les zones hachurées correspondent aux valeurs de
« x » qui sont exclues du domaine de définition (
car elles rendent le polynôme
sous le radical « négatif »)
La dernière ligne hachurée ,
représente la superposition des 2 zones
précédentes et permet de déterminer dans quel intervalle , les valeurs de
« x » ne rendront jamais les 2 polynômes négatifs.
Solution : D
f =
[ 2 ; 3 ]
Tableau de
variation :
13 . 2 .- Limites
Exemple soit la
fonction 
D f =
R - ou R* ou ] - ¥ ; 0 [ U ] 0 ; +¥ [
Traçons la représentation graphique de cette fonction :
|
On remarque que : Quand « x » diminue ,
« y » tend vers 0 Þ lim f(x) = 0 ; Quand
« x » augmente
, y tend vers 0 lim f(x) =
0 ; x®+¥ Quand x tend vers 0 par valeur inférieure : y tend
vers -¥ , lim
f(x) = -¥ ;
x ®0- Quand x tend vers 0 par valeur supérieure : y tend
vers +¥ , lim
f(x) = +¥ ;
x ®0- |
|
Nous remarquons que l’étude
des limites se fait au voisinage des bornes de l’ensemble de définition.
Opérations sur les limites
Limite d’une somme .
- Lorsque x tend vers x0 ou vers ±¥
|
Si f(x) tend vers Et si g (x) tend
vers : |
a b |
a +¥ |
a -¥ |
+¥ +¥ |
-¥ -¥ |
+¥ -¥ |
|
f(x) + g(x) tend vers |
a+ b |
+¥ |
-¥ |
+¥ |
-¥ |
? |
Limite d’un produit .-
Nous supposons connu
le signe de chacun des facteurs f(x) et
g (x) et nous donnons seulement la valeur
absolue de ces facteurs ou de leur produit lorsque cette valeur absolue est infinie .
|
Si f (x) tend vers
Et si g (x) tend
vers : |
a b |
a ¹ 0 ¥ |
|
¥ ¥ |
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0 ¥ |
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f(x) |
a b |
¥ |
|
¥ |
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? |
Limite d’un quotient .
- En supposant connu le signe de chacun des termes f(x) et g(x) , nous ne donnons
que leur valeur absolue ou celle de leur quotient lorsque cette valeur absolue
est infinie . Lorsque « x » tend vers x0 ou vers ±¥
|
Si f (x) tend vers
Et si g (x) tend
vers : |
a b ¹ 0 |
±¥ b ¹ 0 |
a ¹ 0 0* |
a ¥ |
0 0 |
¥ ¥ |
|
|
|
¥ |
¥ |
0 |
? |
? |
·
Rechercher la
limite d’un polynôme lorsque « x » tend vers + ou - l’infini ,équivaut à
rechercher la limite du terme du plus haut degré lorsque x ®±¥
Exemples :
N°1 :
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lim. 2 x3 + 4 x² + 2x – 4 |
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lim 2 x3 = +¥ |
(à vérifier avec la calculatrice graphique) |
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x ®+¥ |
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x ®+¥ |
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N°2 :
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lim. 3 x5
+ 4 x4 + 2x – 4 |
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lim 3 x5 = - ¥ |
(à vérifier avec la calculatrice graphique) |
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x ® - ¥ |
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x ® - ¥ |
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·
La limite d’une fonction rationnelle,lorsque “x” devient infini ,est celle du quotient des
termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
Exemples :
La limite d’une fonction rationnelle,lorsque
“x” devient infini ,est celle du quotient des termes de plus haut degré de son
numérateur et de son dénominateur.
Exemples :
N°1 :
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lim. |
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lim |
(à vérifier avec la calculatrice graphique) |
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x ®+¥ |
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x ®+¥ |
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N°2 :
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lim. |
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(à vérifier avec la calculatrice graphique) |
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x ®-¥ |
x ®-¥ |
x ®-¥ |
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N°3 :
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lim. |
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lim |
(à vérifier avec la calculatrice graphique) |
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x ®+¥ |
x ®+¥ |
x ®+¥ |
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a) Continuité en 1
point.
Soient x0 ;
a ; b ; des réels tels que a < x0 < b. On considère une
fonction f définie sur un ensemble D contenant ]a ;
b [.
On dit que f est continue en x0 si et seulement
si :
- la limite quand x tend vers x0 existe
- lim f = f (x0 )
- x ® x0
cela équivaut à
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lim f = |
lim f = |
lim f (x0 ) |
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Exemple : soit f(x) = 2 x² + 4 x + 5 ; continuité en x0 = 1
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lim f = 2 (1)² + 4 x1+ 5 = 11 |
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lim f existe |
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x ® 1 |
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x ® 1 |
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f (x0) =
11 |
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lim f = f (x0) |
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x ® 1 |
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la
fonction est continue en x0 =
1 |
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b) Continuité sur un intervalle.
On dit que
f est continue sur ]a ;b[ si f est continue en tout x0
élément de ]a ;b[
D’où les théorèmes :
-
Toute fonction polynôme est continue sur R
-
Toute fonction rationnelle est continue sur son
domaine de définition.
A) Dérivée en un point .
·
Soit x0 , un
élément d’un intervalle ]a ;b[ . On considère une fonction
, f définie sur un ensemble D contenant ]a ;b[ . Soit . On appelle h un réel
, on appelle « dérivée « de f
pour x = x0 la limite (
si elle existe) du rapport : 
quand h tend vers 0 .
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lim |
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h ® 0 |
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Notation : y’0 ou f ’ (x0)
Interprétation
graphique :
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Pour qu’une fonction y = f(x) admette en x0 une
dérivée, il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point
d’abscisse x0 une tangent (non parallèle à y0.) Le coefficient directeur de cette tangente est égal à la dérivée de la fonction pour x
= x0 Equation de la tangente : y = f ’ (x0) . ( x – x0) + f (x0) Remarque : f ’ (x0) est
la dérivée…… |
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Exemple :Soit la fonction f(x) = 5 x² + 7 x + 4
Questions :
·
Trouver la dérivée au point xO
= 2
·
Déterminer l’équation de la tangente.
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Calcul de la dérivée au point xO
= 2 |
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Calcul de f (x O) pour
x O = 2 ; ·
f (2) = 5 (2 )² + 7 (2) + 4 ·
Soit 20 +
14 + 4 = 38 |
Calculatrice : taper : [ 5 (2 )² ] + [ + 7 (2)] + ( + 4) |
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Calcul de f (x O
+ h ) ;
avec x O = 2 ·
f (2 + h ) = 5 (2 + h )² +
7 (2 + h ) + 4 |
(2 + h
)² = (2 + h
) (2 + h ) = 4 + 2 h + 2 h + h² = 4 + 4 h + h² = 5 ( 4 + 4 h + h² ) = 20
+ 20 h + 5 h² |
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|
·
f (2 + h ) = 20 + 20 h + 5 h² + 14 + 7 h + 4
= 5 h² +27 h + 38 |
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Calcul de f (x O
+ h ) - f (x O)
= ·
= 5 h² +27 h + 38 - 38 ·
= 5 h²
+27 h |
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Calcul de |
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Ainsi :
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lim |
5 h + 27 |
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= 27 |
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h ® 0 |
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Lire :
la limite de 5 h + 27 quand
« h » tend vers 0 est
égale à « 27 »
|
l’équation de
la tangente. |
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y = 27 ( x – 2 ) +
38 = 27 x – 54
+38 y
= 27 x – 16 |
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Nota : « dérivée et continuité » Si la
fonction « f » admet une
dérivée en x O ( la réciproque
n’est pas vraie ) |
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13.4.2 –
Fonction dérivée d’une fonction. |
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Soit « f » une fonction admettant une dérivée
« f ’ (xO) » pour toute
valeur xO d’un intervalle ]
a , b [ ; la fonction qui a tout xO
de ] a , b [ associe le nombre dérivée « f’ (xO) »
s’appelle « fonction dérivée ». |
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Notation :
« f ’» Par abus de langage, on dit souvent « dérivée »
au lieu de « fonction dérivée » |
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Valeur
de la fonction « f ( x) » |
Valeur de la fonction dérivée « f ‘( x) » |
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C (constante) |
0 |
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x |
1 |
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x² |
2 x |
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x3 |
3 x² |
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x n ;
( n |
n x n-1
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fonction |
Dérivée |
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u +
v |
u ’ + v
‘ |
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k u ( k : constante) |
k u ’ |
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u +
v |
u ‘ v +
u v
‘ |
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u ² |
2 u . u’ |
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u 3 |
3 u ² . u’ |
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Autres
dérivées. |
Fonction ;
« f ( x) » |
Dérivée : « f ‘( x) » |
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Sin x |
Cos x |
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Cos x |
- sin x |
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Tan . x |
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Exemples : Calculer les dérivées
des fonctions suivantes : |
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N°1 |
«
f ( x) »
= 3 x 4 + 2 x² + 3 x + 4 |
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« f ‘( x) » = 4 fois 3 4-1
+ 2 fois 2 x 2-1 + 3 |
f ‘( x) = 12 x 3 +
x + 3 |
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N°2 |
«
f ( x) »
= ( x – 1 ) 3 ( x +
2 ) 4 ; |
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est de
la forme u . v = u ‘
v + u v ‘ |
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Calcul
de « u ‘ » |
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U = ( x – 1 ) 3 , ou U = Donc u’ = 3 |
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Calcul
de « v ‘ » |
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V = ( x + 2 ) 4 ;
ou V = v 4 avec v = x + 2 |
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Donc V ’ = 4 v3 v ’ =
4 ( x + 2 ) 3 ; car v ’ = 1
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On a alors :
y ‘ = f ‘( x) = U V’ + V U’ |
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U V’ + V U’ = ( x – 1 ) 3 fois 4 ( x + 2 ) 3 + ( x + 2 ) 4 fois 3 ( x – 1 ) ² |
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= ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) 3
[ 4 ( x – 1 ) + 3 ( x + 2 ) ] |
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y ‘ = ( x – 1 )
² ( x + 2 ) 3 ( 7 x + 2 ) |
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13 . 4 . 3. – Signe de la dérivée et sens de variation de la
fonction. |
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Suivant le signe de la dérivée, on peut déterminer le sens
de variation d’une fonction : -
Si la dérivée est nulle ,
la fonction est constante. -
Si la dérivée est positive dans un intervalle ] a , b [ , la
fonction est croissante dans cet intervalle. -
Si la dérivée est négative dans un intervalle ] a , b [ , la
fonction est décroissante dans cet intervalle. |
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Un extremum local
est un point qui va déterminer où la fonction va passer d’un accroissement à une
diminution ( ou
inversement : la fonction va
passer d une diminution à’un accroissement ) |
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-
Maximum
local : ( M
) Une fonction a un maximum local pour
x O si elle cesse de croître pour décroître quand « x » traverse
, en augmentant , la valeur x O
,donc si sa dérivée change de signe pour x = x O en passant du positif au négatif . |
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|
Tableau de
variation type |
Représentation
graphique de la fonction. |
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-
Minimum :
( m ) Une fonction a un minimum local pour x O
si elle cesse de décroître pour croître quand « x » traverse , en
augmentant , la valeur x O
,donc si sa dérivée change de signe pour x = x O en passant du négatif au positif. |
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|
|
Tableau de
variation type |
Représentation
graphique de la fonction. |
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Pour déterminer les extremums locaux, il faut rechercher
pour quelles valeurs de « x » la dérivée s’annule. |
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13 . 4 . 4. – Tableau de variation. |
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Procédure à suivre pour établir un tableau de
variation : |
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1° ) Calculer la ou (les) dérivée
de la fonction . 2°) Rechercher pour quelle valeurs de « x » cette
dérivée s’annule. 3°) Déterminer, par rapport à ces valeurs
, les zones où la dérivée est positive ou négative. 4°) Dresser le tableau. |
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Exemple 1 : Construire le tableau de variation de la
fonction f(x) = |
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Info : f(x) = |
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Calculs des
dérivées des termes u et v
:, u’ = 2 ; et
v ’ = -1 |
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Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = |
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5 >
0 et
( 1- x )² |
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Exemple 2 : Construire le tableau de variation de la
fonction f (x) = - x 3 + 3 x – 2 |
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Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = - 3
x² + 3 ; f ‘ (x)
est de la forme ax² + bx + c ; nous devons calculer le
discriminant ( |
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On pose : - 3 x² + 3 = 0 |
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Dans le cas d’une dérivée de la forme ax²
+ bx + c , elle admet 2 solutions pour f ‘ (x) = 0 , la
dérivée est : -
« négative » entre les racines si a > 0 -
« positive » entre les racines si a
< 0 |
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Soit le
tableau de variation : |
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NOTA : Le tableau de variation va nous
donner une représentation schématique du graphique de la fonction. On pourra , grâce à ces données ,
tracer une courbe de la fonction étudiée et la rendre plus précise avec quelques
points dont on aura calculé les coordonnées. |
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Reprenons l’exemple précédent : Dans le tableau de
variation de la fonction f (x) = - x 3 + 3 x – 2 Grâce au tableau , nous voyons
que : -
Sur l’intervalle ] - -
Sur l’intervalle ] –
1 ; + 1 [
la fonction décroissante f (x)
allant de ( - 4 ) à 0 -
Sur l’intervalle ]+1 ;
+ |
||||||||||||||
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La
courbe représentative de la fonction sera donc : ( à
vérifier avec une « graphique ») |
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13 . 4 . 6. – Représentations
graphiques de divers fonctions types . |
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Nota : Les représentations graphiques se feront dans
un repère orthonormé. |
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Cas particulier de la
fonction affine….. |
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FONCTION LINEAIRE : |
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-
type : y = a x -
« a » est appelé le coefficient directeur
ou coefficient de proportionnalité. -
La courbe d’une fonction linéaire ( droite) passe toujours
par le point O de coordonnée (
0 ; 0 ) -
Le domaine de définition : D f
= R |
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|||||||||||||
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LA FONCTION AFFINE ; |
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|
-
type : y = ax + b
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Sa représentation graphique est une parallèle à la
Courbe de la fonction y= ax. -
Elle passe toujours par le point ( 0 ; b ) -
Le domaine de définition : D f
= R |
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LA FONCTION
POLYNOMIALE. |
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type : y = ax² + bx + c -
La courbe de cette fonction est une parabole. -
Note :Les fonctions
du type f (x) = a x² ont la même forme de courbe. -
Le domaine
de définition :
D f = R |
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Exemple : a > 0 |
Exemple : a < 0 |
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y = |
y = x² - 4 x + 3 |
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LA FONCTION RATIONNELLE . |
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Type : -
Le domaine de définition : D f
est l’ensemble de tous les « x » n’annulant pas le
dénominateur. -
La courbe d’équation y = Elle est similaire à la courbe d’équation y = |
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REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS
CIRCULAIRES. |
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Les fonctions sinus ; cosinus ,
tangente et cotangente sont des
fonctions périodiques ( période 2 |
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS. |
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CONTROLE |
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EVALUATION : |
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Voir le cours. |
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Déterminer
l’ensemble de définition de : |
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1°) f (x) = 2
x² + 4 x – 5 |
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2°) f (x) = |
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3°) f (x) = |
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Traduire
et Calculer les limites suivantes : |
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1°) lim 5 x² - 2x+4 |
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x |
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2°) lim ( 3 x² - 2x – 1 ) |
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x |
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3°) lim ( 2 x 3 + x + 1 ) |
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x |
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4°) lim |
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x |
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5°) lim. |
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x |
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6°) lim. |
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Calculer
les fonctions dérivées des fonctions suivantes : |
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a) f (x) = |
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b) f (x) = |
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c) f (x) = |
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Faire le tableau de variation et tracer la courbe
représentative de la fonction : |
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f (x) = |
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