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DOSSIER : LES RACINES / objectif cours 11 |
CAP |
Pré requis:
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Racines : nomenclature |
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ENVIRONNEMENT
du dossier:
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1°) Les racines Nième |
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Index |
Série 2 : |
DOSSIER: RACINES "carrées" d ' opérations simples (RACINES Niveau 2)
Ce
cours traite
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(classe 3e ) |
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(classe 3e ) |
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à
maîtriser pour aborder Pythagore |
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à
maîtriser pour aborder Pythagore |
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VI)Résumé |
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COURS |
Interdisciplinarité |
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Ce cours débouche sur des FORMULES FONDAMENTALES:
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Les Racines N ièmes
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I ) Racine carré d’un produit :
Pré requis
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Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers |
Modèle mathématique:
=
Traduction littérale:
La
racine carrée d’une multiplication est
égale à la multiplication des racines carrées.
Applications:
N°1 :
Faire le calcul de 
D'après la relation ci dessus on peut écrire que : =
On
calcule : = 2
et = 5
On
remplace : = 2 5 = 10
On conclut
que : =10
N°
2 :
Exercice
en relation avec les décompositions du nombre en produit de facteurs premiers:
Cette forme de procédure
permet de "faire" la racine
carré d'un nombre entier naturel (exemple: 75) sans avoir recours à la
calculatrice:
Donner
la 
= ?
Réponses :
a
)
on décompose 75 : 75 =
3 5 5 = 3 5 2
b
)
on réécrit sous la racine la
décomposition : 
c
)
on transforme la racine d’un produit en
produit de racines 
d)on effectue les calculs possible
= 5
e
)
on modifie l’écriture pour ne pas avoir de signe « multiplier »
(risque de confusion avec la lettre x) =
5
f
)
On simplifie l ‘écriture =5
Cette
procédure est transférable à d’autres
types d exercices, contenant des inconnues .
exemples:
a
)
Faire la racine carrée de 
:
= 
= = 2 = 2
b
)
Faire la racine carrée de 
:
= 
=
= 2x
II) Racine carrée d’un quotient.
Pré requis:
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Fraction Nomenclature |
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Modèle
mathématique:
= 
Traduction
en langage littéral:
La
racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées
Application numérique:
= 
on sait que
9 égal à 3 2; que 16 est 42
on
peut écrire que = 
on
calcule 3 : 4 = 0.75
cas particulier : 
= 
=
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Prérequis : "inverse d'un nombre " |
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Les cas suivants ne peuvent pas se transformer:
Il faut faire le calcul afin de n’avoir qu’un
nombre « sous » la racine.
Le
cas suivant est utilisé , comme outil mathématique, pour traiter « Pythagore »
III) Racine carrée d’une addition. Ne se
transforme pas en addition de racines
carrées
Procédure de traitement
: il faut effectuer en priorité l’addition ,et faire ensuite la racine:
exemple
: 
= on est obligé de faire 9 + 16 =
25
on
réécrit : =
on
décompose 25 = 5 fois 5 = 5 2
On applique: = 5
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Rappel : on sait que : |
(Conclusion : = 5
Remarque: Si l’on effectue les calculs de la racine carrée d’une somme() et la somme des racines
carrées des nombres composant la somme (
+
); on trouve un résultat différent:
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et commentaire : nous avons deux calculs de racine différents à
effectuer |
on constate que le résultat de et bien différent de +
A
retenir : rappel
la racine carrée d’une
somme n’est jamais égale à la somme
des racines carrées des nombres composant l’addition.
et
bien différent de 
+
IV)
Racine carrée d’une soustraction .
la racine carrée d’une soustraction ne se transforme pas en soustraction de racines carrées.
Comme
pour l’addition ,il
en est de même pour la soustraction:
si vous faite
le calcul vous constaterez que le résultat de 
et bien différent de -
A retenir: la racine carrée d’une soustraction n’est jamais égale à la soustraction des
racines carrées des nombres
composant la soustraction.
et
bien différent de -
AUTRE
REMARQUE:
Attention ! on ne
peut pas faire la racine carrée d’un nombre négatif (parce que le carrée est un nombre positif) ;
donc on ne peut pas faire la racine carrée de 9 - 16 ( = -7); par contre je
peut faire la racine carrée de 16 - 9
La racine carrée d’un nombre négatif est impossible
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Rappel |
V ) Neutralisation d’une racine carrée d’un nombre dans
une égalité:
Pour neutraliser une racine carrée d’un nombre « x » ;
il faut élever cette racine carrée au
carrée.
ce
qui se traduit en écriture mathématique:
(
) 2 =
x et (
) 2 = x2
Application numérique
: (
) 2 =
81 ; explication :on
fait la racine carrée de 81 (=9) ;et on
fait 9 au carré. (=81)
Utilisation: en sciences , ou pour transformation
d’égalité.
Autre intérêt : Dans une
égalité ;pour neutraliser la racine carrée d’une addition ou soustraction contenant une
inconnue , sachant qu’il est impossible de transformer une racine carrée d’une
somme par une somme de racines carrés
Exemples
d’application:
Calculer la valeur de « x »:
1er
Enoncé : 7 =
Résolution :
Procédure
: on élève « au carré » les deux membres
de l’égalité:
7
2 = ()2
*
Si on pose que « X » vaut
« 30 + x »
on
remarque que ()2 est de
la forme (
) 2
puisque () 2 est égal à X ,alors on peut conclure que
()2 est égal à 30 + x
Nous pouvons donc remplacer 7 2 = ()2 par la nouvelle égalité: 7 2
= 30 + x
FIN de L ’EXERCICE:
49
= 30 + x
49
- 30 = x
19 = x
conclusion « x » vaut 19
2ème
Enoncé : 50 = 
;
(ce type de calcul est
à connaître pour savoir appliquer Pythagore dans tous les cas )
Procédure pour pouvoir obtenir
la valeur de « x »
a) on élève « au carré » les deux membres
de l’égalité:
50 2
= ()2
b) * Si l’ on pose que X vaut 1600+x 2;
on
remarque que ()2 peut se mettre sous la forme
() 2
nous
savons que () 2 est égal à X ,
alors
on peut conclure que ()2 est égal à
1600 + x2
Nous pouvons donc remplacer 50 2 = ()2 par la nouvelle égalité: 50 2
=1600+x2
ceci termine l’application de l’objectif , ce qui suit est à traiter
avec l’objectif sur les égalités.
FIN
de L’EXERCICE:
2500 = 1600 + x2 (nous savons que pour obtenir
« x » à partir de « x2 » il faut faire la
racine carrée de « x2 ».
Il faut donc isoler « x2 » ce qui donne :
2500 - 1600 = x2
Nous calculons 2500-1600 = 900
nous écrivons à nouveau 900= x2 ;
puisque = x ; on fait la racine carrée des deux
membres de l’égalité
ce
qui donne 
=
Nous cherchons à la calculatrice
,(ou à l’aide des carrés parfaits) ,
= 30
Nous posons
= x
nous
obtenons une nouvelle égalité: 30 =
x
on
conclut que « x » vaut 30
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EN RESUME : |
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( |
x |
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( |
x2 |
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Aucune transformation possible |
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Aucune transformation possible |
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Aucune transformation possible |
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Aucune transformation possible |
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TRANSFORMER
les égalités suivantes:
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( |
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( |
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I ) remplacer dans les lettres par
les nombres suivants et faire le calcul :
avec x= 16
et y = 9 (remarque : 16 et 9 sont des carrés
parfaits; nous connaissons la racine carrée de 16 (4) et de 9 (3) , ces valeurs
sont choisies pour faciliter la compréhension)
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( |
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( |
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=II
)
Transformer en vue de simplifier les calculs :
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( |
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III)
Résoudre :
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7 =
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50 = |
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CALCULS:
A
)
Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLmettre
une croix dans la case correspondante
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100 |
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101 |
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102 |
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103 |
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104 |
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105 |
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106 |
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10 7 |
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10 8 |
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B
)
soit un nombre « x » ; trouver
la racine carrée du nombre :
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x =0,25 |
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x = 7,29 |
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x = 33,64 |
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x = 81 |
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x = 291 600 |
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x = 2 744 000 |
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x = 1,5746 |
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C
)Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée d’un produit:
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D
)
Troisième série d’exercices en relation avec avec la
racine d’un quotient:
Ces exercices utilisent des carrés parfaits
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E
)
Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à
virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a
...........
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=
F ) Quatrième série d’exercices en
relation avec la racine carrée d’une addition
ou d’une soustraction , et les transformations
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=
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=
=
=
=G ) Cinquième série
d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre
1 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du dixième
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2 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du centième
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3 °) Calculer les expressions suivantes avec la précision du millième
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H
) ENCADREMENT
D’UN RESULTAT :
On donne le
résultat des exercices suivants :
=4,4647451
=21,111276
=4,3742992
=4,717694
=2,6754054
= -3
Donner le
résultat sous la forme: n
< 
< n +1
ou
n est un entier naturel et X un nombre (entier ou décimal )
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: n |
< |
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< |
n +1 |
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A) HYPOTHENUSE
: On dit que : Dans
un triangle rectangle le "carré" du grand coté (hypoténuse) est égal à la somme des "carrés" des longueurs
des cotés formant l’angle droit .
Ceci étant dit , calculer l’hypoténuse
d’un triangle rectangle dont les cotés de l’angle droit valent respectivement:
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1 °) |
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2°) |
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3°) |
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4°) 125m et32,7dam |
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B )
L’hypoténuse d’un triangle rectangle se calcule en utilisant la formule suivante:
a =
; dans laquelle b et
c sont les mesures des deux cotés
formant l’angle droit.
I ) Calculer la
longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les longueurs des cotés
de l’angle droit sont :
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c = 0,35
dm et b = 0,84 dm
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II ) Calculer la longueur du coté c ,
sachant que
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a = |
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III ) Calculer la longueur du coté b ,
sachant que
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c= 24 dm
et a= 400mm |
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AIRE:
A ) Carré: l ’ aire d’un carré
est de 2735,29 dm2
question
: donner la valeur de la mesure d’un
coté en dm puis mm
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B
)
Calcul d’aire d'un carré est de
Type
d’exercice : Rechercher la longueur
du coté d’un carré ( petit cé « c »)dont on connaît son aire
(« cé »
au carré s’écrit en langage mathématique: c 2
).
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Comme c 2=81 |
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. Cercle
et disque :
a) Calculer
le rayon d’un cercle dont l’aire est de
2826 cm2
On prendra
3,14 pour « pi »
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b) Calculer la valeur du diamètre d’un cercle dont
l’aire est de 14949,54 cm2
On prendra
3,14 pour « py »
Solution 1 (avec R )
Solution 2: (
avec D)
ELECTRICITE:
La puissance électrique consommée dans une résistance est donnée par la formule
P = R x I2 dans laquelle R est la mesure de la résistance et I
celle de l’ intensité.
A)transformer la formule
pour que nous puissions calculer
I ( I =
? )
Calculer l’intensité « I » si P = 4050
Watts et R = 8 ohms
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I = |
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Corrigé interdisciplinarité: |